3008

65

4.3. Дискретно-стохастические модели

Рассмотрим особенности построения математических схем при дис- кретно-стохастическом подходе к формализации процесса функционирования исследуемой системы S. Так как сущность дискретизации времени при этом подходе остается аналогичной рассмотренным конечным автоматам, то влияние фактора стохастичности проследим также на разновидности таких автоматов, а именно на вероятностных (стохастических) автоматах.

Основные соотношения. В общем виде вероятностный автомат

можно определить как дискретный по-тактный преобразователь информации с памятью, функционирование которого в каждом такте зависит только от состояния памяти в нем и может быть описано статистически.

Применение схем вероятностных автоматов (Р-схем) имеет важное значение для разработки методов проектирования дискретных систем, проявляющих статистически закономерное случайное поведение, для выяснения алгоритмических возможностей таких систем и обоснования границ целесообразности их использования, а также для решения задач синтеза по выбранному критерию дискретных стохастических систем, удовлетворяющих заданным ограничениям. :

Введем математическое понятие Р-автомата, используя понятия, введенные для F-автомата. Рассмотрим множество G, элементами которого являются всевозможные пары (xi,zs), где xi и zs, — элементы входного подмножества Х и подмножества состояний Z соответственно. Если существуют две такие функции и , то с их помощью осуществляются отображения G Z и G У, то говорят, что F= <Z, X, Y, , > определяет автомат детермини-

рованного типа.

Пусть bkj= 1, где bkj — вероятности перехода автомата в состояние zk и появления на выходе сигнала yj если он был в состоянии zs, и на его вход в этот момент времени поступил сигнал хi. Число таких распределений, представленных в виде таблиц, равно числу элементов множества G. Обозначим множество этих таблиц через В. Тогда четверка элементов P=(Z, X, Y, B) на-

зывается вероятностным автоматом (Р - автоматом).

Если справедливы следующие соотношения:

zk=1 , qk=1, qkzi=bkj

где zk и qk – вероятности перехода Р-автомата в состояние zk и появлении выходного сигнала yk при условии, что Р-автомат находился в состоянии zs и на его вход поступил входной сигнал xi , то такой Р –автомат называется

66

автоматом Мили. Это требование означает выполнения условия независимости распределений для нового состояния Р-автомата и его выходного сигнала.

4.4. Непрерывно-стохастические модели

Особенности непрерывно-стохастического подхода рассмотрим на примере использования в качестве типовых математических схем систем массового обслуживания, которые будем называть Q-схемами. Системы массового обслуживания | представляют собой класс математических схем, разработанных в теории массового обслуживания и различных приложениях для формализации процессов функционирования систем, которые по своей сути являются процессами обслуживания.

В качестве процесса обслуживания могут быть представлены различные по своей физической природе процессы функционирования экономических, информационных, технических и других систем, например потоки поставок продукции некоторому предприятию, заявки на обработку информации ЭВМ от удаленных терминалов и т. д. При этом характерным для работы таких объектов является случайное появление заявок (требований) на обслуживание и завершение обслуживания в случайные моменты времени, т. е. Стохастический характер процесса их функционирования. Остановимся на основных понятиях массового обслуживания, необходимых для использования Q-схем, как при аналитическом, так и при имитационном.

В любом элементарном акте обслуживания можно выделить две основные составляющие: ожидание обслуживания заявкой и собственно обслуживание заявки. Это можно изобразить в виде некоторого i-го прибора обслуживания Пi (рис.2.2), состоящего из накопителя заявок Нi, в котором может одновременно находиться li, = О, LiH заявок, где LiH — емкость i-го накопителя, и канала обслуживания заявок (или просто канала) Кi. На каждый элемент прибора обслуживания Пi поступают потоки событий: в накопитель Нi — поток заявок wi, на канал Кi, — поток обслуживаний ui.

67

Рис.4.2. Прибор обслуживания заявок

Потоком событий называется последовательность событий, проис-

ходящих одно за другим в какие-то случайные моменты времени. Раз-

личают потоки однородных и неоднородных событий. Поток событий на-

зывается однородным, если он характеризуется только моментами поступления этих событий (вызывающими моментами) и задается последовательностью {tn}, где tn—момент наступления n-го события — неотрицательное вещественное число.

Потоком неоднородных событий называется последовательность {tn, fn}, где tn – вызывающие моменты, а fn – набор признаков события. Например, применительно к процессу обслуживания для неоднородного потока заявок могут быть заданы принадлежность к тому или иному источнику заявок, наличие приоритета, возможность обслуживания тем или иным типом канала и т. п.

Обычно в приложениях при моделировании различных систем применительно к элементарному каналу обслуживания К, можно считать, что поток заявок wi W, т. е. Интервалы времени между моментами появления заявок (вызывающие моменты) на входе Кi, образует подмножество неуправляемых переменных, а поток обслуживания ui U, т. е. Интервалы времени между началом и окончанием обслуживания заявки, образует под-

множество управляемых переменных.

Заявки, обслуженные каналом Кi, и заявки, покинувшие прибор Пi, по различным причинам необслуженными (например, из-за переполнения накопителя Нi), образуют выходной поток уi Y, т. е. Интервалы времени между моментами выхода заявок образуют подмножество выходных переменных.

Процесс функционирования прибора обслуживания Пi можно представить как процесс изменения состояний его элементов во времени zi(t).

В практике моделирования систем, имеющих более сложные структурные связи и алгоритмы поведения, для формализации используются не отдельные приборы обслуживания, а Q-схемы, образуемые композицией многих элементарных приборов обслуживания Пi, (сети массового обслуживания). Если каналы Кi различных приборов обслуживания соединены параллельно, то имеет место многоканальное обслуживание (многоканальная Q-схема), а если приборы Пi, и их параллельные композиции соединены последовательно, то имеет место многофазное обслуживание (многофазная Q- схема). Таким образом, для задания Q-схемы необходимо использовать опе-

70

Системами массового обслуживания называются математические модели систем, которые предназначены для обслуживания требований (заявок), поступающих через случайные промежутки времени, причем длительность обслуживания в общем случае также случайна. Обобщенная структурная схема СМО приведена на рис 5.1.

Рис. 5.1. Обобщенная структурная схема СМО

Первопричина заявок, какова бы ни была ее физическая природа, называется источником заявок, совокупность заявок всех типов - входящим потоком СМО.

Источник заявок на Прибор1

обслуживание

Поток необслуженных заявок Узел

обслуживания

Узел обслуживания содержит одно или несколько обслуживающих устройств, называемых приборами или каналами обслуживания. Если в момент поступления заявки в систему все приборы заняты, то заявка попадает в накопитель (очередь), где ожидает, пока не освободится какой-либо прибор. Если в накопителе нет свободного места или ожидание оказывается слишком долгим, а заявка имеет ограничение на время ожидания, то заявка покидает систему необслуженной (получает отказ).

Если обслуженные заявки возвращаются в источник заявок и через некоторое время могут вновь появиться во входящем потоке, то СМО называется замкнутой. В разомкнутых СМО поведение источника заявок не связано

71

с состоянием СМО ни в данный, ни в какой-либо из предшествующих моментов времени.

Примеры СМО:

Предмет теории СМО: построение математических моделей, связывающих заданные условия работы СМО (число каналов, их производительность, правила работы, характеристики потока заявок) с характеристиками СМО, описывающими ее способность справляться с потоком заявок.

Простейший входящий поток заявок

Пусть t1, t2, ..., tn - моменты поступления заявок в систему, 1, 2, ..., n - промежутки времени между моментами поступления заявок , т.е. i=ti-ti-1.

Поток заявок называется простейшим (пуассоновским), если СВ 1, 2,

..., n независимы и одинаково распределены по показательному закону с па-

ср

единицу времени (интенсивность входящего потока). Основные свойства простейшего потока:

1. Стационарность: закон распределения числа заявок, поступивших в промежуток [a, a+t], не зависит от a (начало промежутка), а зависит только от t (длина промежутка).

т.е. вероятность поступления за время t более одной заявки есть бесконечно малая более высокого порядка, чем t (одновременное или за малое время поступление нескольких заявок маловероятно, заявки приходят по одной).

3. Отсутствие последействия: СВ а1(t1) и a2(t2) независимых для любых непересекающихся отрезков [a1, a1+t1] и [a2, a2+t2].

73

и начальным условиям Pi(0)=Piнач, где Piнач, i=1,...,n - вероятности состояний в начальный момент времени.

Для приведенного примера система дифференциальных уравнений имеет вид

Если процесс определенно в начальный момент находится в состоянии

S1, то P1(0)=1, P2(0)=P3(0)=P4(0)=0 - начальные условия.

Замечание. Первая группа слагаемых в формуле (5.1) соответствует стрелкам, направленным к кругу, изображающему состояние Si, а вторая группа - стрелкам, выходящим из этого круга.

Простейший поток как пример марковского процесса

Пусть (t) - число заявок, поступивших за время [0,t] в простейшем потоке с интенсивностью .

Случайный процесс (t) является марковским, поскольку простейший поток обладает свойством отсутствия последействия. Его возможные значения 0, 1, 2, ... обозначим через S0, S1, S2, ... . В данном случае вероятность перехода Pij(t,t+ ) равна нулю при i>j и совпадает с вероятностью поступления k=j-i заявок за промежуток длины при i j.

По формуле Пуассона

Отсюда из формулы, определяющей ij, следует, что i,i+k=0 при k>1, i,i+1= . Таким образом, граф состояний простейшего потока имеет вид

74

Соответствующая система дифференциальных уравнений А.Н. Колмогорова

Характеристики накопителя заявок и узла обслуживания

1. Предельно допустимая длина очереди m.

Если m = 0, то говорят, что СМО с потерями (отказами), m = , то СМО с ожиданием,

0 < m < , то СМО с ограничением на длину очереди.

2.Дисциплина ожидания в очереди определяет правила управления очередью. Возможны следующие бесприоритетные дисциплины ожидания:

а) Заявки принимаются в очередь в порядке их поступлений Если в момент прихода очередной заявки очередь заполнена, то заявка получает отказ, т.е. теряется системой.

б) То же, что и в предыдущем случае, только при переполнении очереди последняя заявка вытесняет из очереди самую «старую» заявку, т.е. дольше всех находящуюся в очереди.

Если по каким-либо причинам заявки некоторых типов должны обслуживаться СМО быстрее, то заявкам приписывается некоторое положительное число, называемое приоритетом. Одна из возможных приоритетных дисциплин ожидания:

в) Заявки принимаются в очередь в порядке их поступления, при переполнении очереди вновь поступившая заявка выталкивает из очереди заявку

оболее низким приоритетом (самую старую из самых низкоприоритетных). Если очередь заполнена более приоритетными заявками, то вновь поступившая заявки получает отказ.

3.Число каналов обслуживания n.