3008

45

Для исследования характеристик процесса функционирования любой системы математическими методами, включая и машинные, должна быть проведена формализация этого процесса, то есть построена математическая модель. При имитационном моделировании реализующий модель алгоритм воспроизводит процесс функционирования системы во времени, причем имитируются элементарные явления, составляющие процесс, с сохранением их логической структуры и последовательности протекания во времени.

Основным преимуществом имитационного моделирования по сравнению с аналитическим является возможность решения более сложных задач. Имитационные модели позволяют достаточно просто учитывать такие факторы, как наличие дискретных и непрерывных элементов, нелинейные характеристики элементов системы, многочисленные случайные воздействия и др. Имитационное моделирование – наиболее эффективный метод исследования больших систем, а часто и единственный практически доступный метод получения информации о поведении системы на этапе ее проектирования.

Первоначально был разработан метод статистических испытаний , представляющий собой численный метод, который применялся для моделирования случайных величин и функций, вероятностные характеристики которых совпадали с решениями аналитических задач (метод Монте-Карло). Затем этот прием стал применяться и для машинной имитации с целью исследования характеристик процессов функционирования систем, подверженных случайным воздействиям, то есть появился метод статистического моделирования.

Метод имитационного моделирования позволяет решать задачи анализа больших систем, включая задачи оценки: вариантов структуры системы, эффективности различных алгоритмов управления системой, влияния изменения различных параметров системы. Имитационное моделирование положено также в основу структурного, алгоритмического и параметрического синтеза больших систем, когда требуется создать систему с заданными характеристиками при определенных ограничениях, оптимальную по некоторым критериям оценки эффективности.

При решении задач машинного синтеза на основе их имитационных моделей помимо разработки моделирующих алгоритмов для анализа фиксированной системы необходимо также разработать алгоритмы поиска оптимального варианта системы. Далее в методологии машинного моделирования различаются два основных раздела: статика и динамика – основное содержа-

46

ние которых это вопросы анализа и синтеза систем, заданных моделирующими алгоритмами.

Обычно модель строится по иерархическому принципу, когда последовательно анализируются отдельные стороны функционирования объекта и при перемещении центра внимания исследователя рассмотренные ранее подсистемы переходят во внешнюю среду. Иерархическая структура моделей может раскрывать и ту последовательность, в которой изучается реальный объект, а именно последовательность перехода от структурного (топологического) уровня к функциональному (алгоритмическому) и от функционального к параметрическому.

Результат моделирования в значительной степени зависит от адекватности исходной концептуальной (описательной) модели, от полученной степени подобия описания реального объекта, числа реализации модели и многих других факторов.

Имитационная система реализуется на ЭВМ и позволяет исследовать имитационную модель М, задаваемую в виде определенной совокупности отдельных блочных моделей и связей между ними в их взаимодействии в пространстве и времени при реализации какого-либо процесса. Можно выделить три основные группы блоков: блоки, характеризующие моделируемый процесс функционирования системы S, блоки, отображающие внешнюю среду Е и ее воздействие на реализуемый процесс; блоки, играющие служебную вспомогательную роль, обеспечивая взаимодействие первых двух, а также выполняющие дополнительные функции по получению и обработке результатов моделирования. Кроме того, имитационная система характеризуется набором переменных, с помощью которых удается управлять изучаемым процессом, и набором начальных условий, когда можно изменять условия проведения машинного эксперимента.

Таким образом, имитационная система есть средство проведения машинного эксперимента, причем эксперимент может ставиться многократно, заранее планироваться, могут определяться условия его проведения. Необходимо при этом выбрать методику оценки адекватности получаемых результатов и автоматизировать как процессы получения, так и процессы обработки результатов в ходе машинного эксперимента.

47

3.1. Обеспечение имитационного моделирования

Эксперимент с имитационной моделью требует серьезной подготовки, поэтому имитационная система характеризуется наличием математического, программного, информационного, технического, эргономического и других видов обеспечения.

Математическое обеспечение имитационной системы включает в себя совокупность математических соотношений, описывающих поведение реального объекта, совокупность алгоритмов, обеспечивающих как подготовку, так и работу с моделью. Сюда могут быть отнесены алгоритмы: ввода исходных данных, имитации, вывода, обработки.

Программное обеспечение по своему содержанию включает в себя совокупность программ: планирования эксперимента, имитационной модели, проведения эксперимента, обработки и интерпретации результатов. Кроме того, программное обеспечение имитационной системы должно обеспечивать синхронизацию процессов в модели, т. е. необходим блок, организующий псевдопараллельное

Машинные эксперименты с имитационными моделями не могут проходить без хорошо разработанного и реализованного информационного обеспечения.

Информационное обеспечение включает в себя средства и технологию организации и реорганизации базы данных моделирования, методы логической и физической организации массивов, формы документов, описывающих процесс моделирования и его результаты. Информационное обеспечение имитационной системы является наименее разработанной частью, поскольку только в настоящее время наблюдается переход к созданию сложных имитационных моделей и разрабатывается методология их использования

при анализе и синтезе сложных систем с использованием концепции базы данных и знаний.

Техническое обеспечение имитационной системы включает в себя прежде всего средства вычислительной техники, связи и обмена между оператором и сетью ЭВМ, ввода и вывода информации, управления проведением эксперимента. К техническому обеспечению предъявляются весьма серьезные требования по надежности функционирования, так как сбои и отказы технических средств, ошибки оператора ЭВМ могут резко увеличить время

48

работы с имитационной моделью и даже привести к неверным конечным результатам.

Эргономическое обеспечение имитационной системы представляет собой совокупность научных и прикладных методик и методов, а также норма- тивно-технических и организационно-методических документов, используемых на всех этапах взаимодействия человека-экспериментатора с инструментальными средствами (ЭВМ, гибридными комплексами и т. д.). Эти документы, используемые на всех стадиях разработки и эксплуатации имитационных систем и их элементов, предназначены для формирования и поддержания эргономического качества путем обоснования и выбора организационнопроектных решений, которые создают оптимальные условия для высокоэффективной деятельности человека во взаимодействии с моделирующим комплексом.

Таким образом, имитационная система может рассматриваться как машинный аналог сложного реального процесса. Позволяет заменить эксперимент с реальным процессом функционирования системы экспериментом с математической моделью этого процесса в ЭВМ. В настоящее время имитационные эксперименты широко используют в практике проектирования сложных систем, когда реальный эксперимент невозможен.

Возможности машинного моделирования. Несмотря на то что ими-

тационное моделирование на ЭВМ является мощным инструментом исследования систем, его применение рационально не во всех случаях. Известно множество задач, решаемых более эффективно другими методами.

Вместе с тем для большого класса задач исследования и проектирования систем метод имитационного моделирования наиболее приемлем. Правильное его употребление возможно лишь в случае четкого понимания сущности метода имитационного моделирования и условий его использования в практике исследования реальных систем при учете особенностей конкретных систем и возможностей их исследования различными методами.

В качестве основных критериев целесообразности применения метода имитационного моделирования на ЭВМ можно указать следующие: отсутствие или неприемлемость аналитических, численных и качественных методов решения поставленной задачи; наличие достаточного количества исходной информации о моделируемой системе S для обеспечения возможности построения адекватной имитационной модели; необходимость проведения на базе других возможных методов решения очень большого количества вычис-

49

лений, трудно реализуемых даже с использованием ЭВМ; возможность поиска оптимального варианта системы при ее моделировании на ЭВМ.

Имитационное моделирование на ЭВМ, как и любой метод исследований, имеет достоинства и недостатки, проявляющиеся в конкретных приложениях . К числу основных достоинств метода имитационного моделирования при исследовании сложных систем можно отнести следующие: машинный эксперимент с имитационной моделью дает возможность исследовать особенности процесса функционирования системы S в любых условиях; применение ЭВМ в имитационном эксперименте существенно сокращает продолжительность испытаний по сравнению с натурным экспериментом; имитационная модель позволяет включать результаты натурных испытаний реальной системы или ее частей для проведения дальнейших исследований; имитационная модель обладает известной гибкостью варьирования структуры, алгоритмов и параметров моделируемой системы, что важно с точки зрения поиска оптимального варианта системы; имитационное моделирование сложных систем часто является единственным практически реализуемым методом исследования процесса функционирования таких систем на этапе их проектирования.

Основным недостатком, проявляющимся при машинной реализации метода имитационного моделирования, является то, что решение, полученное при анализе имитационной модели М, всегда носит частный характер, так как оно соответствует фиксированным элементам структуры, алгоритмам поведения и значениям параметров системы S, начальных условий и воздействий внешней среды Е. Поэтому для полного анализа характеристик процесса функционирования систем, а не получения только отдельной точки приходится многократно воспроизводить имитационный эксперимент, варьируя исходные данные задачи. При этом, как следствие, возникает увеличение затрат машинного времени на проведение эксперимента с имитационной моделью процесса функционирования исследуемой системы S.

3.2. Организация статистического моделирования

На этапе исследования и проектирования систем при построении и реализации машинных моделей широко используется метод статистических испытаний (Монте-Карло), который базируется на использовании случайных чисел. Сущность метода статистического моделирования сводится к построению для процесса функционирования исследуемой системы некоторого

50

моделирующего алгоритма, имитирующего поведение и взаимодействие элементов системы с учетом случайных входных воздействий и воздействий внешней среды, и реализации этого алгоритма с использованием программ- но-технических средств ЭВМ.

Различают две области применения метода статистического моделирования: 1) для изучения стохастических систем; 2) для решения детерминированных задач. Для решения детерминированной задач производится ее замена эквивалентной схемой некоторой стохастической системы, выходные характеристики которой совпадают с результатами решения детерминированной задачи. При такой замене вместо точного получается приближенное решение, погрешность уменьшается с увеличением числа испытаний.

В результате статистического моделирования системы получается серия частных значений искомых величин или функций, статистическая обработка которых позволяет получить сведения о поведении реального объекта или процесса в произвольные моменты времени. Если количество реализаций достаточно велико, о полученные результаты моделирования системы приобретают статистическую устойчивость и с достаточной точностью могут быть приняты в качестве оценок искомых характеристик процесса функционирования системы.

Теоретической основой метода статистического моделирования систем являются предельные теоремы теории вероятностей.

Статистическое моделирование систем на ЭВМ требует формирования случайных величин, что реализуется с помощью генераторов случайных чисел. На практике используются три основных способа генерации случайных чисел: аппаратный, табличный и алгоритмический.

При аппаратном способе генерации случайные числа вырабатываются специальной электронной приставкой. В качестве физического эффекта, заложенного в основу таких генераторов чисел, чаще всего используются шумы в электронных и полупроводниковых приборах или явления распада радиоактивных элементов.

При табличном способе случайные числа заранее определены и оформлены в виде таблицы.

При алгоритмическом способе получение последовательностей случайных чисел производится с помощью специальных алгоритмов и реализующих их программ.

Наибольшее применение в практике моделирования на ЭВМ для генерации последовательностей псевдослучайных чисел находят алгоритмы вида

51

xi 1 Ф( xi) ,

представляющие собой рекуррентные соотношения первого порядка, для которых начальное число x0 и постоянные параметры заданы.

Одна из исторически первых процедур - метод серединных квадратов. Первоначально задается 2n разрядное число, меньшее 1. Число возводится в квадрат, а затем отбираются средние 2n разрядов, которые и являются очередным числом псевдослучайной последовательности. (x0=0,2152, x02=0/04631104, x1=0,6311, x12=0,39828721, x2=0,8287). Недостатком метода является наличие корреляции между числами последовательности.

Широкое применение получили конгруэнтные методы генерации псевдослучайных последовательностей, представляющие собой арифметические операции, в основе которых лежит фундаментальное понятие конгруэнтности. Два целых числа a и b конгруэнтны (сравнимы) по модулю m, где m - целое число, тогда и только тогда, когда существует такое целое число k, что a-b=km, т.е. разность a-b далится на m и если числа a и b дают одинаковые остатки от деления на абсолютную величину числа m. Например,

1984 4(mod 10), 5008 8(mod 103) и т.д.

Конгруэнтные процедуры являются чисто детерминированными, так как описываются в виде рекуррентного соотношения

Если задано начальное значение X0, множитель и аддитивная константа , то представленное выражение однозначно определяет последова-

{Xi}можно построить последовательность {xi}={Xi/N} рациональных чисел из единичного интервала (0,1).

Конгруэнтная процедура получения последовательности псевдослучайных чисел может быть реализована мультипликативным либо смешанным методом.

Мультипликативный метод задает последовательность неотрицательных целых чисел {Xi}, не превосходящих M по формуле

52

X i 1 X i (mod M )

т.е. это частный случай соотношения (7) при =0.

Для машинной реализации наиболее удобна версия M=28=256, тогда вычисление остатка от деления на M сводится к выделению 8 младших разрядов делимого, а преобразование целого числа Xi в рациональную дробь из

т.е. в отличие от мультипликативного метода 0. С вычислительной точки зрения смешанный метод генерации сложнее на одну операцию сложения, но при этом возможность выбора дополнительного параметра позволяет уменьшить возможную корреляцию получаемых чисел.

Моделирование случайной величины с заданным законом распределения

Большинство случайных величин можно смоделировать при помощи равномерно распределенной на отрезке [0,1] случайной величины.

Теорема 1.

Пусть СВ равномерно распределена на отрезке [0,1], G(x) - заданная функция распределения. Тогда СВ =G-1( ) имеет совпадающую с G(x) функцию распределения F (x)=G(x) (рис. 3.1).

y=G(x)

y=G(x)

Рис. 3.1. Графическое представление теоремы 1.

Если функция G «проскакивает» значение , то полагаем =G-1( ) равным точке разрыва.

53

Моделирование равномерно распределенных на отрезке [a,b] случайных чисел

Статистические характеристики случайной величины , равномерно распределенной на интервале [a,b]:

плотность распределения имеет вид:

Вероятность попадания значений СВ в любую область длины из отрезка [a,b] равна /(b-a) и, следовательно, не зависит от размещения этой области в пределах отрезка [a,b].

Функция распределения СВ

Графическое решение задачи, согласно теореме 1 показано на рисун-

ке3.2.

у

1

Рис. 3.2. Функция распределения для равномерно распределенной СВ.