2835

Рис. 4.2. Значения вероятностей для нормального закона распределения по диапазонам стандартных отклонений

Отсюда свойство нормального закона распределения случайных величин – рассеивание случайной величины в основном (с вероятностью P=0,997) укладывается на участке a±3σ, где a – математическое ожидание.

Следовательно, зная a и σ, можно приблизительно указать интервал ее практически возможных значений (размах). Такой способ оценки диапазона значений случайной величины называется правилом "трех сигм".

Замечание. В ряде случаев экспериментальные данные лучше описываются другими законами распределения случайных величин, например, законом Пуассона:

x!

70

4.3. Закон сложения случайных ошибок

Пусть измеряемая величина Z является суммой (или разностью) двух величин X и Y , результаты измерений

которых независимы. Тогда, если SX2 ,SY2 ,SZ2 – дисперсии величин X , Y и Z , то можно доказать, что

или

SZ2 SX2 SY2 .

Если Z является суммой не двух, а большего числа слагаемых, то закон сложения ошибок будет таким же, т. е. средняя квадратичная ошибка суммы или разности двух (или нескольких) независимых величин равна корню квадратному из суммы дисперсий отдельных слагаемых. Итак, для нахождения суммарной ошибки нужно складывать не сами ошибки, а их квадраты.

Из закона сложения ошибок следуют два чрезвычайно важных вывода.

Первый вывод: роль каждой из ошибок в общей ошибке результата. Значение отдельных ошибок очень быстро падает по мере их уменьшения. Поясним сказанное примером: пусть X и Y – два слагаемых, определенных со средними квадратичными ошибками SX и SY , причем, известно, что SY в два раза меньше, чем SX . Тогда ошибка суммы Z = X + Y будет

.

Отсюда

SZ ≈ 1,1SX .

Иначе говоря, если одна из ошибок в два раза меньше другой, то общая ошибка возросла за счет этой меньшей ошибки всего на 10 %, что обычно играет очень малую роль. Это означает, что если мы хотим повысить точность измерений величины Z , то нужно в первую очередь уменьшить ту ошибку измерения, которая больше, т. е. ошибку измерения величины X. Если мы оставим точность измерения X неизменной, то как бы мы ни повышали точность измерения слагаемого Y, нам не удастся уменьшить ошибку конечного результата измерений величины Z более чем на

10 %.

Этот вывод всегда нужно иметь в виду, и при повышении точности измерений в первую очередь уменьшать ошибку, имеющую наибольшую величину. Конечно, если слагаемых много, а не два, как в нашем примере, то и малые ошибки могут внести заметный вклад в суммарную ошибку.

Если нужная величина Z является разностью двух независимо измеряемых величин X и Y , то из выражения (4.1) следует, что ее относительная погрешность

будет тем больше, чем меньше X −Y, и относительная погрешность возрастает до бесконечности, если X →Y .

Это означает, что невозможно добиться хорошей точности измерений какой-либо величины, строя измерения так, что она находится как небольшая разность результатов независимых измерений двух величин, существенно превышающих

72

искомую. В противоположность этому относительная погрешность суммы

очевидно, не зависит от соотношения величин X и Y.

Второй вывод: средняя квадратическая погрешность среднего арифметического равна средней квадратической погрешности отдельного результата, деленная на корень квадратный из числа измерений:

где Sn – средняя квадратичная погрешность отдельного измерения.

Действительно, среднеарифметическое ряда измерений

согласно закону сложения случайных погрешностей

откуда получаем

73

Sx Sn . n

Это рассуждение относится лишь к измерениям, при которых точность результата полностью определяется случайной ошибкой. В этих условиях, выбрав n достаточно большим, можно существенно уменьшить ошибку результата.

При практической работе очень важно строго

средней квадратичной ошибки отдельного измерения Sn и средней квадратичной среднего арифметического Sx .

В тех случаях, когда требуется характеризовать точность применяемого способа измерений, следует характеризовать его ошибкой Sn .

Sx применяется всегда, когда нужно оценить погрешность того числа, которое получили в результате всех произведенных измерений.

Если описываем метод, которым производились измерения, то должны указать именно эту последнюю ошибку. Зная ее, можно выбрать нужное число измерений, чтобы, пользуясь формулой (4.13), получить желаемую случайную погрешность окончательного результата измерений.

При выборе нужного числа измерений предполагаем, что систематическая ошибка метода достаточно мала.

4.4. Доверительный интервал и доверительная вероятность

Обозначим истинное значение измеряемой величины через x, погрешность измерения этой величины – Δx . Среднее арифметическое значение, полученное в результате измерений,

74

будет x . Пусть α означает вероятность того, что результат измерений отличается от истинного значения на величину, не большую, чем Δx .

Это принято записывать в виде

или

Вероятность α называется доверительной вероятностью, или коэффициентом надежности. Интервал значений от x −Δx до x +Δx называется доверительным интервалом.

Выражение (4.15) означает, что с вероятностью, равной α, истинное значение измеряемой величины не выходит за пределы доверительного интервала от x +Δx до x −Δx. Разумеется, чем большей надежности мы требуем, тем большим получается соответствующий доверительный интервал, и, наоборот, чем больший доверительный интервал задаем, тем вероятнее, что результаты измерений не выйдут за его пределы.

Итак, для характеристики величины случайной ошибки необходимо задать два числа, а именно: величину самой ошибки (или доверительного интервала) и величину доверительной вероятности. Указание одной только величины ошибки без указания соответствующей ей доверительной вероятности в значительной мере лишено смысла, так как при этом не знаем, сколь надежны наши данные. Знание доверительной вероятности позволяет оценить степень надежности полученного результата. Необходимая степень его надежности опять-таки задается характером производимых измерений. Более высокая степень надежности, требуемая при ответственных измерениях, означает, что при их производстве

75