Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2835

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

2.39 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 154 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

в центре плана, а полученную при этом композицию используют для получения математического описания процесса в виде многочлена второй степени. Отсюда и произошло название метода: центральное композиционное планирование.

Значения «звездного» плеча α для ЦКП с различным числом факторов n следующие:

n	2	3	4	5
n	2	3	4	5

	1,000	1,215	1,414	1,547

Эти значения α выбраны из условия ортогональности матрицы планирования. Уравнение регрессии при ортогональном ЦКП ищут в следующем виде:

y b* b X

... b

0 1

b12 X1X2

... b(n 1)n Xn 1 Xn

(2.23)

X* ... b

X *.

Переменные величины

		1	N
X*ji	X 2ji		X 2ji
		N		(2.24)
			j 1

(j -номеропыта;i-номерфактора)

введены для того, чтобы матрица планирования была ортогональна и коэффициенты регрессии определялись независимо друг от друга по результатам опытов.

Для того, чтобы получить уравнение регрессии в обычной форме

y b0 b1X1 b2X2 ... bnXn

b12X1X2 ... b(n 1)nXn 1Xn
	(2.25)

b11X12 b22X22 ... bnn X2n ,

находят величину

	b	N		b	N
b0 b0*	11	j 1	X2ji ...	nn	j 1	X 2jn.	(2.26)
	N			N

В табл. 2.6. приведена в качестве примера матрица ортогонального ЦКП для двух факторов, а на рис. 2.3 изображена схема этих опытов.

Таблица 2.6

Ортогональное ЦКП для двух факторов

Система	Номер	X1	X2	X1X2	X1*	X2*
опытов	опыта
Полный	1	1	1	+1	+0,33	+0,33
факторный	2	1	1	1	+0,33	+0,33
эксперимент	3	1	+1	1	+0,33	+0,33
Опыты	4	1	+1	+1	+0,33	+0,33
Опыты	5	+1	0	0	+0,33	-0,67
в звездных	6	1	0	0	+0,33	-0,67
точках	6	1	0	0	+0,33	-0,67
точках	7	0	+1	0	0,67	+0,33
	7	0	+1	0	0,67	+0,33
Опыт в	8	0	1	0	0,67	+0,33
центре плана	9	0	0	0	0,67	0,67

	X2
	*+1
–1*		*+1 X 1


	–1*

Рис. 2.3. Схема опытов ортогонального ЦКП для двух факторов:

— опыты полного факторного эксперимента; * – опыты в звездныхточках; — опыт в центре плана

Коэффициенты регрессии при ортогональном ЦКП рассчитываются по следующим формулам:

		*	1	N
	b			j 1	y	,	(2.27)
	b		N		y	,	(2.27)
	0		N		j
	N
	X ji yj
bi	j 1			(гдеi 0),			(2.28)
bi	N			(гдеi 0),			(2.28)
	(X ji )2

j 1

	N
	X ji X jk yj
bik	j 1	(гдеi k),	(2.29)
bik	N	(гдеi k),	(2.29)

(X ji X jk )2 j 1

X*ji yj

bii	j 1	.	(2.30)
	N

(X*ji )2

j 1

Для расчета оценок дисперсий в определении коэффициентов регрессии используют следующие выражения:

S2*

Sb2 Sb2*

nSb0

X 2ji ,

j 1

Sb2

(гдеi 0),

(X ji )2

j 1

(гдеi k),

bjk

(X ji X jk )2

j 1

Sb2

*ji )2

j 1

(2.31)

(2.32)

(2.33)

(2.34)

(2.35)

Коэффициент bi, считается значимым, если	bi	Sb t ,n .
		i

Аналогично проверяется значимость остальных коэффициентов регрессии. Проверка адекватности уравнения регрессии осуществляется с помощью критерия Фишера (2.18).

2.8. Метод ротатабельного планирования

Метод ротатабельного планирования эксперимента позволяет получать более точное математическое описание поверхности отклика по сравнению с ортогональным ЦКП, что достигается благодаря увеличению числа опытов в центре плана и специальному выбору величины «звездного» плеча α. В табл. 2.7 приведены основные характеристики матриц ротатабельного планирования.

При ротатабельном ЦКП для вычисления коэффициентов регрессии и соответствующих оценок дисперсий находят следующие константы:

A	1	,
	2B (n 2)B n
B	nN	,

(n 2)(N N0 )

C N ,

N N0

где n – число факторов;

N – общее число опытов ротатабельного ЦКП; N0 – число опытов в центре плана.

(2.36)

(2.37)

(2.38)

Таблица 2.7

Характеристики ротатабельного ЦКП

	Число опытов	Число	Число	Общее
Число	Число опытов	опытов	опытов в	Общее	α
Число	факторного	опытов	опытов в	число	α
факторов	планирования	в звездных	центре	опытов
	планирования	точках	плана	опытов

2	4	4	5	13	1,414
3	8	6	6	20	1,680
4	16	8	7	31	2,000
5*	32	10	10	52	2,378
5**	16	10	6	32	2,000

*Полный факторный эксперимент.

**Эксперимент по методу дробных реплик.

На основании результатов эксперимента вычисляют следующие суммы:

		N
	S0	yj ,		(2.39)
		j 1
	N
Si	X ji yj	(гдеi 1,2,...,n),		(2.40)
	j 1
	N
Sik X ji X jk yj			(гдеi k),	(2.41)
	j 1
	N
Sii	X 2ji yj	(гдеi 1,2,...,n).		(2.42)

j 1

Формулы для расчета коэффициентов регрессии имеют следующий вид:

2AB

S0B(n 2) C Sii ,

(2.43)

i 1

CSi

(2.44)

(гдеi k),

(2.45)

C B(n 2) n

(2.46)

C(1 B) Sii

2BS0 .

i 1

Оценки дисперсий в определении коэффициентов

регрессии вычисляют по следующим формулам:

Sb2

2AB(n 2)

Sвоспр2 ,

(2.47)

(2.48)

Sb2

Sвоспр

(гдеi 1,2,...,n),

N N0

(2.49)

Sb2

Sвоспр

(гдеi k),

(2.50)

Sb2

AC S

воспр

B(n 1) (n 1) .

В ротатабельном ЦКП принято считать, что коэффициент

bi значим, если

t ,n . Аналогичные условия значимости

справедливы и для других коэффициентов регрессии.

Оценку дисперсии адекватности рассчитывают по

формуле


		N
		(yэj yjp )2 Sвоспр2				(N0 1)		(2.51)
Sад2		j 1					.

		N		(n 2)(n 1)	(N0 1)

	2
С ней связано число степеней свободы:
fад	N		(n 2)(n 1)		(N0 1).			(2.52)

	2
Проверку		адекватности			уравнения			регрессии
осуществляют с помощью критерия Фишера [3, 4, 5].

Пример. Рассмотрим ротатабельное ЦКП для двух факторов. Матрица планирования и результаты эксперимента приведены в табл. 2.8.

Таблица 2.8 Матрица планирования и результаты эксперимента

Система	Номер	X1	X 2	X3	X12	X22	yэj	yjp
опытов	опыта

Полный	1	1	1	+1	+1	+1	66,8	67,4
факторн	2	+1	1	1	+1	+1	66,2	66,8
ый	3	1	+1	1	+1	+1	74,8	75,4
экспери-	4	+1	+1	+1	+1	+1	67,8	68,4
мент	5	+1,41	0	0	2	0	62,1	62,8
	6	1,41	0	0	2	0	67,5	68,1
Опыты в	7	0	+1,41	0	0	2	76,4	76,8
"звездны	8	0	1,41	0	0	2	69,6	70,2
х" точках	9	0	0	0	0	0	66,3	66,7
	10	0	0	0	0	0	67,2	66,7
Опыты в	11	0	0	0	0	0	67,0	66,7
центре	12	0	0	0	0	0	66,2	66,7
плана	13	0	0	0	0	0	67,2	66,7

			37

Для нахождения коэффициентов регрессии вычислим следующие вспомогательные коэффициенты:

	2 13
B		0.81;

	(2 2)(13 5)

A 2 0.81(2 2) 0.81 2 0.5;

C 13 1.63. 8

На основании результатов опытов вычислим вспомогательные суммы:

S0 yэj 885.1;

j 1

S1 Xj1yэj 15.2;

j 1

S2 Xj2 yэj 19.2;

j 1

S12 Xj1Xj2yэj 6.4;

j 1

S11 X2j1yэj 535.6;

j 1

S22 X 2j2 yэj 567.6.

j 1

Коэффициенты регрессии рассчитываем по формулам

(2.43) — (2.46):

2AB

B(n 2) C(S

)

2 0.5 0.81

[885.1 0.81

(2 2) 1.63(535.6 567.6)] 66.7;

CS1

1.63( 15.2)

1.89;

CS2

1.63 19.2

2.41;

C2S

(1.63)2 ( 6.4)

1.61;

0.81 13

C B(n 2) n C(1 B)(S

) 2BS

0.5 1.63

{535.6 1.63[0.81(2 2) 2] 1.63(1 0.81)

(535.6 567.6) 2 0.81 885.1} 0.6;

C B(n 2) n C(1 B)(S

) 2BS

0.5 1.63{567.6 1.63[0.81(2 2) 2] 1.63(1 0.81) 13

(535.6 567.6) 2 0.81 885.1} 3.4.

Оценку дисперсии воспроизводимости можно найти на основании результатов опытов, проведенных в центре плана.

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 154 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.20222.37 Mб02825.pdf
#
15.11.20222.37 Mб02827.pdf
#
15.11.20222.38 Mб42831.pdf
#
15.11.20222.38 Mб22832.pdf
#
15.11.20222.39 Mб1382833.pdf
#
15.11.20222.39 Mб82835.pdf
#
15.11.20222.4 Mб42837.pdf
#
15.11.20222.4 Mб22838.pdf
#
15.11.20222.4 Mб02839.pdf
#
15.11.20222.41 Mб02841.pdf
#
15.11.20222.42 Mб22848.pdf