2835

X2

Рис. 2.2. Опыты полного двухфакторного эксперимента

Из этих таблиц видны основные принципы построения матрицы планирования ПФЭ:

уровни варьирования первого фактора чередуются от опыта копыту;

частота смены уровней варьирования каждого последующего фактора вдвое меньше, чем в предыдущем.

Матрица планирования полного факторного эксперимента

обладает следующими свойствами:

где l m,N – число опытов; j – номер опыта;

i, l, m – номера факторов.

Свойство, выраженное уравнением (2.12), называется ортогональностью. Поэтому говорят, что матрица полного факторного эксперимента ортогональна. Это свойство позволяет вычислять коэффициенты регрессии по простым формулам независимо друг от друга.

Общее количество опытов в матрице планирования

21

где n – число факторов.

На основании ПФЭ вычисляют коэффициенты регрессии, пользуясь следующими формулами:

Благодаря кодированию факторов расчет коэффициентов превратился в простую арифметическую процедуру (для расчетов используются соответствующие вектор-столбцы).

Так, для полного двухфакторного эксперимента уравнение регрессии имеет вид

y b0 b1X1 b2 X2 b12 X1X2 .

По табл. 2.2 находим коэффициенты:

b0 y1э y2э y3э y4э,

b1 ( 1)y1э ( 1)y2э ( 1)y3э ( 1)y4э, b2 ( 1)y1э ( 1)y2э ( 1)y3э ( 1)y4э,

b12 ( 1)( 1)y1э ( 1)( 1)y2э ( 1)( 1)y3э ( 1)( 1)y4э.

Значения коэффициентов указывают на силу влияния факторов на функцию цели.

Некоторые из коэффициентов регрессии могут оказаться пренебрежимо малыми – незначимыми. Для установления

22

где Sад2 — оценка дисперсии адекватности,

yэj , yjp — экспериментальные и расчетные значения

функции отклика в j-ом опыте; N — число опытов ПФЭ; n — число факторов;

k— число параллельных опытов.

Сдисперсией адекватности (2.19) связывают число степеней свободы:

По таблицам для критерия Фишера [3], зная fвоспр и fад , определяют табличное значения FT.

Уравнение регрессии считается адекватным, если выполняется условие

Функция цели у найдена для кодированных факторов; чтобы перейти к реальным факторам, достаточно сделать подстановку

Xi xi xi0 , xi

где xi , xi0, xi — значения соответствующего реального фактора.

24

2.6. Метод дробных реплик

С увеличением количества факторов резко возрастает количество опытов полного факторного эксперимента. Это видно из уравнения N=2n. Однако для нахождения коэффициентов регрессии не всегда требуется много опытов. В таких случаях можно уменьшить объем экспериментальных работ, воспользовавшись методом дробных реплик.

Рассматриваемый метод заключается в том, что для нахождения математического описания процесса используется определенная часть полного факторного эксперимента: 1/2, 1/4 и т. д. Эти системы опытов называются дробными репликами

(табл. 2.4).

Таблица 2.4

Полный трехфакторный эксперимент и его дробные реплики

Расчет коэффициентов регрессии, проверка значимости коэффициентов и адекватности математического описания в данном случае производятся так же, как и при полном факторном эксперименте.

25

Пусть, например, требуется найти коэффициенты уравнения регрессии

y b0 b1X1 b2 X2 b3 X3

Здесь четыре неизвестных коэффициента.

Если для их определения воспользоваться полным трехфакторным экспериментом, то необходимо провести 8 опытов. Однако эту задачу можно решить и с помощью меньшего количества опытов.

Например, возьмем матрицу полного двухфакторного эксперимента (табл. 2.5) и приравняем произведение X1X2 к фактору X3.

Пользуясь формулой (2.14), вычислим:

Отметим, что в табл. 2.5 столбцы для произведения X1X2 и фактора X3 полностью совпадают. Поэтому коэффициенты b12 и b3 не могут быть определены раздельно. С помощью формулы (2.14) может быть найдена только их сумма:

1

b12 b3 4 (y1 y2 y3 y4 ).

Этот недостаток рассматриваемого плана является своеобразной «платой» за уменьшение общего количества опытов с восьми до четырех.

Такое планирование эксперимента, когда некоторые из факторов приравнивают к произведениям нескольких факторов, называется планированием со смешиванием. Его обозначают символом 2n p , где n – общее число факторов, а р – число факторов, приравненных к произведениям. С этой точки зрения в табл. 2.5 приведена матрица планирования типа

23 1.

Существует правило, позволяющее определить, какие коэффициенты регрессии определяются совместно при планировании со смешиванием. Рассмотрим это правило на конкретном примере.

Пример. Методом дробных реплик будем искать математическое описание процесса в виде уравнения регрессии:

y b0 b1X1 b2 X2 B3 X3 b4 X4 b5 X5 .

Воспользуемся планированием типа 25 2 и примем:

X4 X1X2;

X5 X1X2 X3.

27

Такие равенства в методе дробных реплик называют

генерирующими соотношениями.

Следует отметить, что выбор генерирующих соотношений в общем случае произволен. Однако он существенно влияет на характер совместных оценок коэффициентов регрессии.

Правило определения совместных оценок коэффициентов состоит в следующем.

1.Примем во внимание, что

Xi2 1;

Xi 1 Xi.

2. Умножив обе части генерирующих соотношений соответственно на X4 и X5, получим:

1 X1X2 X4; 1 X1X2 X3 X5.

Эти равенства называют определяющими контрастами. Перемножив их почленно, получим новые определяющие контрасты. В данном случае это

1 X3 X4 X5.

3. Составим алгебраическую сумму из единицы и правых частей всех полученных определяющих контрастов:

S1 X1X2 X4 X1X2 X3 X5 X3 X4 X5

4.Умножив каждый из факторов на S и заменив факторы соответствующими коэффициентами разложения в ряд Тейлора (2.5), получим

28

b1 1 24 235 1345 ; b2 2 14 135 2345 ; b3 3 1234 125 45 ;

b4 4 12 12345 35; b5 5 1245 123 34.

2.7. Метод ортогонального центрального композиционного планирования

В том случае, когда поверхность отклика не может быть описана многочленом вида (2.9), для адекватного математического описания используется многочлен более высокой степени, например, отрезок ряда Тейлора (2.5), содержащий члены с квадратами переменных. С этой целью используют центральное композиционное планирование эксперимента (ЦКП). Различают два вида ЦКП: ортогональное и ротатабельное.

Количество опытов при ортогональном ЦКП определяется по формуле

где 2n – количество опытов, образующих полный факторный эксперимент;

2n – число так называемых «звездных» точек в факторном пространстве, имеющих координаты (±α, 0, 0, ..., 0); (0, ±α, 0,

..., 0), ..., (0, 0, ..., ±α). Здесь величина α называется «звездным» плечом;

1 – опыт в центре планирования, т. е. в точке факторного пространства с координатами (0, 0, ..., 0).

Если с помощью полного факторного эксперимента не удается получить адекватного математического описания в форме (2.9), то к нему добавляют опыты в «звездных» точках и

29