2748
.pdf
картовы координаты. Решить первую внутреннюю краевую задачу для уравнения Лапласа при условии, что задано гра-
ничное условие: u |
a Acos, где |
A |
– постоянная. |
16. Пусть имеется с радиусом |
a |
и центром в начале ко- |
|
ординат. Обозначим |
, |
– полярные, а |
x, y |
– декартовы |
координаты. Решить первую внутреннюю краевую задачу для уравнения Лапласа при условии, что задано граничное усло-
вие: u 
a A By, где
A
и
B
– постоянные.
17. Пусть имеется круг с радиусом a и центром в начале координат. Обозначим , – полярные, а x, y – де-
картовы координаты. Решить первую внутреннюю краевую задачу для уравнения Лапласа при условии, что задано гра-
ничное условие: u |
a Axy, где A |
– постоянная. |
|
|
18. Пусть имеется круг с радиусом a и центром в нача- |
||||
ле координат. Обозначим , |
– полярные, а |
x, y |
– де- |
|
картовы координаты. Решить первую внутреннюю краевую задачу для уравнения Лапласа при условии, что задано гра-
ничное условие:
u |
a |
|
A B sin,
где
A
и
B
– постоянные.
19. Пусть имеется круг с радиусом |
a |
и центром в нача- |
ле координат. Обозначим , – полярные, а x, y – де-
картовы координаты. Решить первую внутреннюю краевую задачу для уравнения Лапласа при условии, что задано гра-
ничное условие: u a Asin |
2 |
B cos |
2 |
, где |
A и B |
– посто- |
|
|
янные.
111
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Внастоящем учебном пособии были рассмотрены методы уравнений математической физики, изучаемые студентами второго и третьего курсов факультета радиотехники и электроники в дисциплинах «Математика» и «Спецглавы математики», а также рассмотрено применение этих методов к решению соответствующих физических и технических задач. Рассмотрены гиперболические, параболические и эллипические уравнения.
Впособии введены и подробно рассмотрены такие важнейшие математические понятия, как канонические формы уравнений в частных производных, задача Коши и краевые задачи. Большое количество теоретического материала в пособии и задач, подкрепляющих его, поможет студентам наиболее полно овладеть материалом и подготовиться к дальнейшему изучению дисциплин, использующих математический аппарат.
Данное пособие может использоваться студентами при подготовке к практическим занятиям, при выполнении типовых расчѐтов, а также в качестве справочника при изучении специальных предметов.
Пособие может быть рекомендовано начинающим преподавателям при подготовке курса лекций по математическим дисциплинам.
112
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1.Высшая математика. Специальные разделы [Текст] / В. И. Афанасьев, О. В. Зимина, А. И. Кириллов [и др.]. – М.:
ФИЗМАТЛИТ, 2001. – 400 с.
2.Баврин И. И. Высшая математика [Текст]: учеб. для студ. естественнонаучных специальностей педагогических вузов / И. И. Баврин. – М.: Академия, Высшая школа, 2000. – 616 с.
3.Будак Б. М. Сборник задач по математической физике [Текст] / Б. М. Будак, А. А. Самарский, А. Н. Тихонов. – 4-е изд., испр. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. – 688 с.
4.Бугров Я. С. Высшая математика. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного [Текст]: учебник для вузов / Я. С. Бугров, С. М. Никольский. – 4-е изд. – Ростов н/Д: Феникс, 1998. – 512 с.
5.Владимиров В. С. Уравнения математической физики [Текст]: учебник для вузов / В. С. Владимиров, В. В. Жаринов.
–М.: Физико-математическая литература, 2000. – 400 с.
6.Владимирский Б. М. Математика. Общий курс [Текст] / Б. М. Владимирский, А. Б. Горстко, Я. М. Ерусалимский. –
СПб.: Лань, 2002. – 960 с.
7.Власова Е. А. Приближѐнные методы математической физики [Текст]: учеб. для вузов / Е. А. Власова, В. С. Зарубин, Г. Н. Кувыркин. – М.: МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2001. – 700 с.
8.Гусак А. А. Высшая математика [Текст]: учеб. для втузов: в 2-х т. / А. А. Гусак. – 2-е изд., испр. – Мн.:
ТетраСистемс, 2000. – Т. 2. – 448 с.
9.Данко П. Е. Высшая математика в упражнениях и
задачах [Текст]: учеб. |
пособие для втузов: в |
2-х ч. / |
П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова. |
– 2-е изд., |
|
перераб. и доп. – М.: Высш. шк., 1996. – Ч. II. – 416 с. |
||
10. Демидович Б. |
П. Дифференциальные |
уравнения |
[Текст]: учеб. пособие / Б. П. Демидович, В. П. Моденов. – СПб.: Иван Фѐдоров, 2003. – 280 с.
113
11.Ильин В. А. Высшая математика [Текст]: учебник / В. А. Ильин, А. В. Куркина. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: ТК Велби; Проспект, 2004. – 600 с.
12.Мартинсон Л. К. Дифференциальные уравнения
математической |
физики |
[Текст]: учеб. для |
вузов |
/ |
Л. К. Мартинсон, Ю. И. Малов. – 2-е изд. – М.: МГТУ |
им. |
|||
Н. Э. Баумана, 2002. – 368 |
с. |
|
|
|
13. Мизохата |
С. Теория уравнений с |
частными |
||
производными [Текст] / |
С. Мизохата; пер. с |
японского |
||
Ю. Егорова. – М.: Мир, 1977. – 504 с. |
|
|
||
14.Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления [Текст]: учеб. для втузов: в 2-х т. / Н. С. Пискунов.
–М.: Интеграл-Пресс, 2001. – Т. 2. – 544 с.
15.Романко В. К. Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления [Текст] / В. К. Романко. – М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2000. – 344 с.
16.Сборник задач по дифференциальным уравнениям и вариационному исчислению [Текст] / В. К. Романко, Н. Х. Агаханов, В. В. Власов, Л. И. Коваленко. – М.: ЮНИМЕДИАСТАЙЛ, 2002. – 256 с.
17.Сабитов К. Б. Уравнения математической физики [Текст]: учеб. пособие для вузов / К. Б. Сабитов. – М.: Высш.
шк., 2003. – 255 с.
18.Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений [Текст] / В. В. Степанов. – 8-е изд. – М.: Едиториал УРСС, 2004. – 472 с.
19.Тихонов А. Н. Дифференциальные уравнения [Текст]:
учеб. для вузов / А. Н. Тихонов, А. Б. Васильева, А. Г. Свешников. – 3-е изд. – М.: Наука. Физматлит, 1998. –
232с.
20.Тихонов А. Н. Уравнения математической физики [Текст]: учеб. пособие / А. Н. Тихонов, А. А. Самарский. – 6-е изд., испр. и доп. – М.: Изд-во МГУ, 1999. – 798 с.
114
21.Треногин В. А. Методы математической физики [Текст] / В. А. Треногин. – Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. – 164 с.
22.Филиппов А. Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям [Текст] / А. Ф. Филиппов. – Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000. – 176 с.
23.Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление [Текст] / Л. Э. Эльсгольц. – 4-е изд.
–М.: Эдиториал УРСС, 2000. – 320 с.
115
|
ОГЛАВЛЕНИЕ |
|
ВВЕДЕНИЕ |
3 |
|
ГЛАВА 1. ПРИМЕРЫ ОСНОВНЫХ |
|
|
УРАВНЕНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ |
4 |
|
1.1. |
Уравнение колебаний |
4 |
1.2. Уравнение диффузии |
12 |
|
1.3. Уравнение безвихревого течения жидкости |
13 |
|
ГЛАВА 2. КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ |
|
|
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ |
16 |
|
2.1. Классификация уравнений в частных |
|
|
производных второго порядка |
16 |
|
2.2. Классификация уравнений второго порядка со |
|
|
многими переменными в точке |
26 |
|
2.3. Характеристические поверхности |
29 |
|
ГЛАВА 3. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ |
|
|
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ |
34 |
|
3.1. Постановка краевых задач для уравнений |
|
|
математической физики |
34 |
|
3.2. Задачи на бесконечной прямой. Задача Коши. |
|
|
Уравнение колебаний струны и его решение |
|
|
методом Даламбера |
36 |
|
3.3. Метод Фурье на примере уравнения колебаний |
|
|
струны |
48 |
|
3.4. Одномерное уравнение теплопроводности |
66 |
|
3.5. Уравнения эллиптического типа |
97 |
|
3.6. Конечно-разностные уравнения. Понятие о |
|
|
сеточных методах численного интегрирования |
|
|
уравнений в частных производных |
106 |
|
ЗАКЛЮЧЕНИЕ |
112 |
|
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК |
113 |
|
116
Учебное издание
Пашуева Ирина Михайловна Ускова Наталья Борисовна Шелковой Александр Николаевич
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Учебное пособие
В авторской редакции
Подписано к изданию 20.10.2020. Объѐм данных 2,1 Мб.
ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический университет»
394026 Воронеж, Московский просп., 14
117