Интегральное исчисление: практикум. Пантелеев И.Н

Решение.

а)

Воспользуемся

подстановкой x +

1

= t,

x

x2 -1

dx = dt.

x2

x2

Выведем

некоторые

н уж н ы е

соотношения

+1

= t,

x

x4 +1 = (t 2 - 2)x2 ,

x2

=

1

,

тогда

интеграл

примет

(

x

2

)

2

t

2

- 4

-1

вид

I = ò

(x2 +1)

dx

= ò

tdt

.

(x2 -1)

x4 +1

(t 2 - 4)

t 2 - 2

Сделаем

еще

одну

2

2

, tdt = zdz

и

заменуt - 2 = z

представим интеграл в виде

I = ò

dz

=

1

ln

z -

2

+ C.

z

2

- 2

2

2

z +

2

Переходя к переменной t,

а затем к x,

будем иметь

1

( t2 - 2 - 2 )2

1

x

4 +1 - x 2

I =

ln

+ C =

ln

+ C.

t2 - 4

2 2

x2 -1

2 2

б) Воспользуемся подстановкой x -

1

= t,

x2 +1

dx = dt.

x

x2

Введем

некоторые

дополнительные

соотношения

x2 -1

= t,

x4 + 3x2 +1 = x

t2 + 5,

x2 +1

=

t2 + 2. Интеграл в

x

x

этом случае примет вид

(

x2 -1 dx

tdt

I = ò

)

= ò

.

x x

4

2

+1

t

2

+ 2 t

2

+ 5

+ 3x

Сделаем еще

одну

2

+ 2 = z

2

, tdt

= zdz, тогда

заменуt

интеграл преобразуется к виду

I = ò

dz

= ln

z + z2 + 3

+ C.

2

z + 3

а затем к x,

Переходя к переменной t,

получим

t 2 + 2 + t2 + 5

x2 +1+ x4 + 3x2 +1

I = ln

+ C = ln

+ C.

x

sin2 x =

1

(1 - cos 2x),

cos2 x =

1

(1 + cos 2 x ).

(1)

2

2

2°.

Интеграл

от

нечетной степениsin x, cos x

можно

найти путем отделения от нее одного множителя и замены его

произведения на дифференциал новой переменной.

3°.

Интегралы

видаòsinm x cosn xdx

можно

найти по

правилу (1°), если m и n оба четные неотрицательные числа,

или по правилу (2°), если m или n (или иm и n) нечетно. Если

m + n = -2k,

т.

е.

четное

отрицательное

число, то

целесообразно использовать подстановку tg x = t или ctg x = t,

откуда dx =

dt

или dx = -

dt

. В общем случае интегралы

1+ t2

1+ t 2

данного вида, где m и n целые числа, находятся с помощью

рекуррентных

формул, которые

выводятся

интегрированием

по частям.

4°. Если

подынтегральная

функция

зависит только от

tg x или ctg x,

то применяют замену tg x = t или ctg x = t.

5°. Если интеграл имеет вид òR (sin x, cos x )dx, где sin x,

cos x

входят

только

в

четных

степенях, то

применяется

подстановка

tg x = t, dx =

dt

,

поскольку sin2 x и cos2 x

1+ t2

выражаются

через tg x

рационально

sin

2

x =

t2

и cos

2

x =

1

.

1+ t2

+ t2

1

вид: òsin ax cos bxdx;

6°.

Если

и н т е г р а л ы

и м е ю т

òsin ax sin bxdx; òcos ax cos bxdx,

то

их

можно

найти путем

cos ax cos bx =

1

(cos (a -b )x + cos (a +b )x ).

(2)

2

7°. И н т е г р а л ы

о т

р а ц и о н а л ь н о й

ф у н к ц и и вида

òR (sin x, cos x )dx

с

помощью

подстановкиtg

x

= t

всегда

2

сводятся

к интегралам

от

рациональной

функции, т. к.

sin x, cos x и dx выражаются через t рационально

sin x =

2t

,

cos x =

1- t 2

,

+ t 2

1

+ t2

1

2dt

dx =

.

(3)

1+ t 2

Рассмотренная

подстановка

позволяет

проинтегрировать

любую

функцию

видаR (sin x, cos x),

поэтому

ее

иногда

называют

«универсальной

тригонометрической

=

1 æ sin (a + b + c)x

+

sin (b + c - a )x

+

sin (a + c - b )x

+

sin (a + b - c )x ö

+ C,

ç

÷

4

a + b + c

b

+ c - a

a + c - b

a + b - c

è

ø

òcos ax sin bx sin cxdx =

1 æ sin (a + b - c) x

sin (a + c - b)x

sin (a + b + c )x

sin (b + c - a )x ö

+ C,

=

ç

+

-

-

÷

4

a + b - c

a

+ c - b

a + b + c

b + c - a

è

ø

òsin ax cos bx cos cxdx =

1 æ cos (a + b + c )x cos (b + c - a )x

cos

(a + b - c)x

cos (a + c - b )x ö

+ C,

= -

ç

-

+

+

÷

4

a + b + c

b + c - a

a + b - c

a + c - b

è

ø

òsin ax sin bx sin cxdx =

=

1 æ cos (a + b + c)x

-

cos (a - b + c )x

-

cos (b + c - a )x

-

cos (a + b - c )x ö

+ C.

ç

÷

4

a + b + c

a - b + c

b + c - a

a + b - c

è

ø

8.1.

Найти

интегралы:

а) òsin 4 xdx; б) òcos3 xdx;

2

4

5

sin3 x

3

в) òcos

x sin

xdx; г) òsin x cos

xdx; д) ò

dx; е) òtg

5xdx.

cos4 x

Решение. а) Пользуемся формулами тригонометрии для

половинного угла

1

òsin4 xdx = ò(sin 2 x )2 dx =

ò(1 - cos 2x )2 dx =

1

1

4

1

=

ò(1- 2 cos 2 x + cos2 2x )dx =

(x -sin 2x )+

òcos 2 2xdx =

4

4

4

1

(x -sin 2x)

1

ò

(1+ cos 4x)dx =

1

(x - sin 2x )+

1

æ

1

ö

=

+

ç x +

sin 4x

÷

+ C.

4

8

4

8

4

è

ø

б) Отделяем от нечетной степени один множитель первой

степени и вносим его под знак дифференциала

1

òcos3 xdx = òcos2 x cos xdx = ò

(1-sin2 x )d sin x = sin x -

sin3 x + C.

3

=

1

æ x -

1

sin 2x

ö

-

1

ò

(1+ cos 4x )dx +

1

1- sin 2

2x

)

d sin 2x =

÷

8

ç

2

16

16

ò(

è

ø

1

æ

1

ö

1

æ

1

ö

1

æ

1

3

ö

=

ç x -

sin 2x

÷

-

ç x +

sin 4x ÷

+

çsin 2x -

sin

2x ÷

+ C.

8

2

16

4

16

3

è

ø

è

ø

è

ø

ò

sin3 x

dx

= -ò

1 -cos2 x

d cos x = -ò

d cos x

+ ò

d cos x

=

cos

4

x

cos

4

x

cos

4

x

cos

2

x

= -òcos-4 xd cos x + òcos-2 xd cos x =

1

cos -3 x -

1

+ C.

3

cos x

e)

Делаем

з а м е н у

tg5x = t,

тогда x =

1

arctg t и

5

dt

dx =

.

Переходим

под знаком

интеграла

к новой

(

2

)

5 1+ t

переменной

tg

3

5xdx =

1

t3dt

.

ò

5

ò t2

+1

Выделяем, деля числитель на знаменатель, целую часть

1 t3dt

1 æ

t ö