2529

Границы существования факторов — это экстремальные значения, которые могут принимать факторы, не меняя своих физико-химических свойств и не искажая сути исследуемого процесса, Область определения факторов

(область L на рис. 1) — это интервал (Xmin Xmax).

Интервал варьирования факторов должен составлять часть области определения факторов, если решается задача оптимизации. Это необходимо для того, чтобы осуществить движение к оптимуму в областиопределения факторов. На рис. 4 область проведения эксперимента обозначена буквой М. В задачах же аппроксимации (или интерполяции) интервал варьирования охватывает всю описываемую область, т. е. для двухфакторной задачи верхними уровнями факторов Х1 и Х2 являются X1max , X2max , а нижними уровнями — X1min и X Тогда область L можно назвать интерполяционной, область М

— областью постановки экстремального эксперимента.

Из определений следует, что областей М может быть несколько (в общем случае конечное множество). Можно также предположить несколько областей оптимума. Область определения факторов для данной задачи исследования одна. Обозначение верхних и нижних уровней факторов символами «+1», «—1» фактически соответствует кодированию факторов

Для рассмотренного примера (табл. 7) кодированные значения факторов (верхние и нижние уровни) следующие:

x1B 80 70 1 10

x2B 1,5 1,25 1 0,25

x1H 60 70 1 10

30

x2H 1,0 1,25 1 0,25

Рис. 5. Геометрическая интерпретация плана 22 на плоскости а) в натуральных координатах, б) в кодированной форме

Рис. 6. Геометрическая интерпретация плана 32

31

Кодирование факторов, по сути, означает переход от системы координат в натуральных единицах (рис. 2, а) к системе координат в кодированной форме (рис. 2, б). Каждая точка факторного пространства — (+1, +1), (—1, +1), (+1, —1), (—1, —1) — это опыт в исследованиях.

В общем случае эксперимент, в котором реализуются все возможные сочетания уровней факторов, называется

полным факторным экспериментом (ПФЭ). Если каждый фактор варьируется на двух уровнях, то получается ПФЭ тина 2n. Для двух факторов (n = 2) число опытов N = 22 =4, что видно из табл. 7 и рис. 6.

Можно осуществлять планирование эксперимента на трех уровнях (верхний, средний, нижний), тогда ПФЭ будет типа 3n и для n = 2 общее число опытов будет N = 32 = 9 см. рис. 7.

Этот этап выделяют как этап принятия решений перед составлением плана эксперимента. Построение плана эксперимента начинают с выбора определяющих его характеристик. Обычно первой рассматривают область определения факторов. Область определения факторов фиксируется в предварительном эксперименте. Для этого используются результаты опытов и теоретические представления о процессе.

Далее из области определения факторов выбором нулевых уровней и интервалов варьирования факторов выделяется часть области для планирования эксперимента (область М, рис. 1). Правильный выбор нулевых уровней (центра эксперимента) и интервалов варьирования факторов имеет решающее значение для действенности математической модели.

Идеальным случаем при выборе нулевых уровней факторов является «попадание» центра эксперимента в область оптимальных значений переменной состояния. Но это возможно лишь при очень высоком уровне априорной информации.

32

Если имеется некоторый опыт управления объектом исследования, можно принять в качестве нулевых уровней те величины факторов, которые дали наилучшее значение переменной состояния.

Но это может привести к получению лишь локального оптимума при нескольких экстремумах функции отклика,

Основное требование к интервалу варьирования состоит в том, чтобы он превышал удвоенную квадратическую ошибку фактора:

определения фактора.

Это требование связано с тем, что интервал между двумя соседними уровнями должен значимо (неслучайно) влиять на переменную состояния. Обычно интервал варьирования выбирается на основании априорной информации (или интуитивно) и затем уточняется (если он выбран неудачно) после получения математической модели. Повторение эксперимента, резко увеличивает число опытов. Удачный выбор интервала варьирования факторов гарантирует получение достоверной математической модели объекта.

Определенные сведения о нулевых уровнях и интервалах варьирования получаются на этапе предварительного эксперимента.

Пример 1.

Рассмотрим процесс ионообменного разделения смесей группы редкоземельных элементов растворами иминодиуксусной кислоты. Переменная состояния— содержание (в %) неодима в выходном растворе.

Предварительный эксперимент выделил два фактора — концентрацию (в вес. %) входного раствора Х1 и рН раствора

33

Х2. Область определения фактора X1 находилась из следующих условий.

Известно, что при X1 > 3 работать нельзя, так как это предел растворимости данного вещества при нормальной температуре. Таким образом, X1max 3. При выборе нижней

границы области определения фактора учитывалось то, что чем ниже концентрация, тем дольше идет процесс. При X1min 0,5время протекания процесса находится еще в

допустимых пределах; дальнейшее снижение его уже нецелесообразно.

При выборе области определения Х2 исходили из теоретического положения, что ионообменное разделение происходит благодаря одновременному присутствию в системе двух соединений: моно- и ди-комплексов. Предварительный эксперимент показал, что при рН < 3 кислота находится в недиссоциированном состоянии, а при рН > 8 оба соединения разрушаются. Следовательно, X2max 8,

X2min 3.

В качестве нулевых уровней были приняты значения X10 = 1,5, Х20 = 7. В точке факторного пространства с такими координатами был получен наилучший результат предварительного эксперимента. Важно также то, что она лежит внутри области определения факторов.

Результаты предварительных опытов, явилось следующее:

1.точность фиксирования факторов средняя (по результатам ряда опытов);

2.поверхность отклика линейная (по однофакторным экспериментам);

3.диапазон изменения переменной состояния небольшой.

После предварительного эксперимента пришлось выбрать широкий (до 20% от области определения) интервал варьирования, чтобы его изменение было заметно по изменению переменной состояния: X1 0,5, X2 1.

34

4. ПОСТРОЕНИЕ МАТРИЦЫ ПЛАНИРОВАНИЯ

План, содержащий запись всех комбинаций факторов или их части в кодированной форме, называется матрицей планирования. Табл. 8, например, является матрицей планирования для двух факторов на двух уровнях.

Для построения матрицы планирования с большим числом факторов можно использовать следующий прием.

Элементарное сочетание первого фактора (+1, —1) повторяется для каждого следующего фактора на верхнем и нижнем уровнях. Этот прием распространяется на построение матриц любой размерности. Столбец х0 — это столбец значений фиктивной переменной.

Этот прием построения матриц планирования можно трактовать как прием чередования знаков. Действительно, в первом столбце знаки не меняются, во втором — меняются поочередно, в третьем — они чередуются через два, в четвертом — через 4 и т. д. (по показателям степеней двойки).

Свойства матрицы планирования. Рассмотренные матрицы планирования обладают такими свойствами, которые позволяют считать, что их построение выполнялось оптимально с точки зрения получаемой но результатам реализации матрицы планирования математической модели. Если мы ищем модель в виде уравнения регрессии, то коэффициенты должны быть наилучшими и точность предсказания значений переменной состояния одинакова в любом направлении факторного пространства. Эти требования формулируются как условия ортогональности и рототабельности.

35

Таблица 8

Матрица планирования

36

Симметричность относительного центра эксперимента

— алгебраическая сумма элементов в вектор-столбце для каждого фактора равна 0

Условие нормировки –сумма квадратов элементов каждого столбцаравна числу опытов.

u 1

где n — число факторов; N —- число опытов (или строк матрицы планирования).

Условие ортогональности предполагает равенство нулю суммы почленных произведении любых двух столбцов матрицы:

Эти условия легко проверить по табл. 8. Действительно, полный факторный эксперимент типа 2" является ортогональным.

Ортогональные планы ПФЭ (для линейных моделей) имеют также еще одно свойство — рототабельность.

Рототабельность — предполагает равенство и минимальность дисперсии предсказанных значений переменной состояния для всех точек факторного пространства.

По закону накопления ошибок можно записать для дисперсии предсказанных уравнением регрессии значений переменной состояния:

где sb2 — дисперсия коэффициентов модели bi.

i

Из условия (6) вытекает, что дисперсии коэффициентов регрессии равны между собой. Тогда можно записать:

37

n

Учитывая, что xi2 2 где радиус сферы:

i 1

Отсюда ясно, что дисперсия предсказанного значения выходной переменной зависит только от радиуса сферы. Это свойство рототабельностн эквивалентно независимости дисперсии выходной переменной от вращения координат в центре плана и оправдано при поиске оптимума градиентными методами.

Основное преимущество факторного эксперимента Основное преимущество факторного эксперимента

заключается в том, что в эксперименте варьируются одновременно все факторы. Это приводит к тому, что дисперсия в оценке коэффициентов регрессии оказывается в N раз меньше ошибки опыта.

При классическом подходе эксперименты ставятся в определенной последовательности: все факторы фиксируются на некотором уровне, а один фактор переводят на другой уровень. Затем это повторяют для другого фактора. В оценке каждого из коэффициентов уравнения участвует только какаято часть опытов.

Рассмотрим пример двух факторов и классический подход в экспериментировании.

Результаты эксперимента представлены в табл. 9.

Таблица 9 Неоптимальная схема эксперимента для двух факторов

При использовании факторного эксперимента следует поставить четыре опыта, т. е. реализовать ПФЭ 22. Коэффициенты уравнения определяют по результатам четырех опытов и дисперсия будет равна:

Точность проведения эксперимента в этом случае вдвое выше. Для достижения такой точности при классическом подходе необходимо 3 2 6 опытов. Еще более показательна эта особенность факторного эксперимента при большом количестве факторов. Так, при числе факторов n = 7 воспользуемся частью (1/16) ПФЭ 27, поставив всего 8 опытов, как и при классическом подходе. Однако дисперсия в оценке коэффициентов уравнения в этом случае будет

высокой точности при классическом подходе следует поставить 8x4 = 32 опыта.

Достоинства ПФЭ:

1. независимость дисперсии переменной состояния от вращения системы координат в центре плана;

39