2529

регрессии. Рассчитанное значение F-критерия сравнивается с табличным значением, определяемым числами степеней свободы f и N (п—1). Если экспериментальная величина F- критерия не превышает табличного значения, гипотеза об адекватности модели не отвергается.

'6. Проведем проверку значимости коэффициентов регрессии. Поскольку план ортогонален, они определяются с одной и той-же дисперсией:

S2b S2y / N

Далее для коэффициентов регрессии рассчитывается доверительный интервал

bj ts b

с некоторой доверительной вероятностью. В этом выражении t-критерий (критерий Стьюдента) имеет то же число степеней свободы, что и дисперсия воспроизводимости

S2y

Коэффициент значим, если его абсолютная величина больше доверительного интервала.

7, Незначимые коэффициенты регрессии исключаются, и вновь проводится проверка адекватности модели со значимыми коэффициентами.

8. Статистический анализ завершается интерпретацией модели в терминах объекта исследования.

Продолжение примера. А теперь приведем численные результаты. В. табл. 4 даны значения дисперсий среднего арифметического для каждой строки плана эксперимента. Критерий Кохрена G=0,302/0,853=0,35. Ниже помещен фрагмент таблицы критерия Кохрена для уровня значимости

0,05:

20

Табличное значение для п—1 = 1 и N=8 равно 0,679. Экспериментальная величина G-критерия меньше этого значения, в силу чего гипотеза об однородности дисперсий не отвергается*. Это позволяет рассчитать усредненную оценку

дисперсии воспроизводимости S2y 0,853/8 0,107.

Число степеней свободы равно N(n-1)=8(2-1)=8

* Наш пример носит главным образом иллюстративный характер. На практике же делать выводы при наличии одной степени свободы рискованно.

21

Для получения коэффициентов регрессии составляется

ности, приведена в табл. 6. Например, для первого опыта yˆ1=1,406-0,656 (-1)-0,968 (-1) +0,156 (-1) -0,031 * (-1) -0,281 (- 1) (-1) +1,031 (-1) (-1) =3,593. Число степеней свободы дисперсии адекватности f=8—7=1 и сама дисперсия равна

Sàä2 0,195.

Критерий Фищера для проверки гипотезы адекватности модели F==0,195/0,107= 1,82. Приведем фрагмент таблицы F- критерия для уровня значимости 0,05.

22

Расчет дисперсии адекватности для модели со значимыми коэффициентами регрессии

В нашем случае f=8—7=1, N (п—1)=8, табличное значение F-критерия равно 5,3. Экспериментальная величина F-критерия не превышает табличного значения, поэтому гипотеза об адекватности выбранной модели не отвергается.

Число

степеней

t-

свободы

критерий

52,57

6-2,45

72,37

82,31

Далее найдем значимые коэффициенты регрессии.

Из фрагмента таблицы для t-критерия (уровень значимости 0,05) следует, что в нашем случае t=2,31. Доверительный интервал bj 2,31 0,115 0,256

23

Оставляя только значимые коэффициенты регрессии,

получим yˆ 1,406 0,656 x2—0,968 х2—0,281 x2х3+1,031 x2х3.

Предсказанные значения зависимой переменной и данные для расчета дисперсии адекватности приведены в табл. 7.

В этом случае

f=8-5=3;

Sàä2 0,3983 0,133; 3

F0,133 1,24 0,107

Табличное значение F-критерия при f=3, N (n-1)=8 равно 4,1 и гипотеза об адекватности модели не отвергается. Займемся теперь интерпретацией модели, Как интерпретировать?

Задача интерпретации весьма сложна. Ее решают в несколько этапов.

Первый этап состоит в следующем. Устанавливается, в какой мере каждый, из факторов влияет на параметр оптимизации. Величина коэффициента регрессии — количественная мера этого влияния. Чем больше коэффициент, тем сильнее влияет фактор. О характере влияния факторов говорят знаки коэффициентов. Линейные коэффициенты полинома являются частными производными функции отклика по соответствующим переменным. Их геометрический смысл — тангенсы углов наклона гиперплоскости к соответствующей оси. Больший по абсолютной величине коэффициент соответствует большему углу наклона и, следовательно, более существенному изменению параметра оптимизации при изменении данного фактора.

Продолжение примера. Вернемся к нашему примеру. Сразу видно, что априорные соображения экспериментатора в значительной степени подтвердились, поскольку значимыми оказались не только линейные эффекты факторов, но и некоторые парные взаимодействия. Из трех линейных

24

эффектов выделились два: эффект фактора х1 — концентрации сахарина и фактора х2 —плотности тока,

Судя по количественной, оценке коэффициентов, плотность тока влияет несколько сильнее концентрации сахарина. Характер их влияния одинаков. С увеличением концентрации и плотности тока внутренние напряжения уменьшаются, так как коэффициенты регрессии имеют отрицательный знак. Температура (x3) в выбранных интервалах варьированная не оказывает значимого влияния на внутреннее напряжение, поскольку линейный коэффициент b3 незначим. Но влияние этого фактора проявилось весьма сильным образом в парных взаимодействиях. Ведь эффект совместного влияния плотности тока и температуры (b23) превосходит по величине даже линейные эффекты. Смысл эффекта взаимодействия состоит в том, что влияние одного фактора зависит от того, на каком уровне находится другой фактор.

К росту отклика будет вести одновременное увеличение х2 и х3 или их одновременное уменьшение. Задача же экспериментатора состоит в уменьшении отклика. Поэтому надо либо уменьшать х3 и увеличивать х3, либо наоборот. Коэффициент взаимодействия b13 имеет отрицательный знак. Это означает, что уменьшение внутреннего напряжения связано с действием концентрации сахарина и температуры в одном направлении: либо надо одновременно увеличивать концентрацию и температуру, либо уменьшать. Этот эффект взаимодействия по величине заметно уступает всем остальным значимым эффектам.

Воспользуемся полученным ранее уравнением для отыскания оптимальных условий осаждения. Особый интерес представлял поиск условий проведения процесса при концентрации сахарина 0.6 1,06 г/л (x1=-0,33 1,2), плотности тока 60 80 А/дм2 (x2=0,2 l,0), температуре 50 60 °C (x3=0,33 1,0). При этом получались качественные покрытия заданного состава. В практических целях достаточно иметь уравнения для температур 50, 55 и 60 °С, что было сделано

25

подстановкой в уравнение регрессии кодированных значений

х3 (0,33; 0,66 и 1,0). Принимая у=0, получим

0,749 x1+0,625 x2=1,406;

0,841 x1+0,286 х2= 1,406;

0,937 x1-0,063 х2=1;406.

Из последних двух уравнений следует, что даже при х2= 1, х1>1,3, т. е. концентрация сахарина выходит за заданный интервал. Поэтому для определения значений факторов, обеспечивающих минимальные внутренние напряжения, необходимо пользоваться только первым уравнением. Полагая x2=1,0, согласно уравнению получим x1=1,04. Натуральные значения факторов: концентрация сахарина 1,01 г/л, плотность тока 80 А/дм2, температура электролита 50 °С. Несколько опытов, проведенных в данных условиях, подтвердили, что внутренние напряжения покрытий действительно близки к нулю.

26

3. ОСНОВНОЙ ЭКСПЕРИМЕНТ, ПЛАНЫ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

Задача основного эксперимента — получение математической модели исследуемого объекта, которая используется для оптимизации объекта исследования или для целей аппроксимации. Для получения математической модели, используется факторный эксперимент:

Все факторы объекта исследования вирируются по определенному плану.

Рассмотрим пример построения

Матрица планирования эксперимента для двух факторов на двух уровнях

Таблица 7

План эксперимента

Предположим, что объектом исследования является реактор, в котором выход продукта у зависит от температуры х1 и давления х2 в реакторе. Дополнительно известно, что изменение температуры от 60 до 80° С и давления от 1 до 1,5 атм изменяет выход продукта. Обозначим максимальные и минимальные значения факторов х1 и х2 символами + 1 и -1. Тогда все возможные комбинации факторов при варьировании на двух уровнях (минимальном и максимальном) будут определены четырьмя опытами. Такой план эксперимента принято записывать в виде матрицы планирования (табл. 7).

Во второй графе таблицы приведены значения фиктивной переменной х0 (тождественно равной -1 +1), которая понадобится при вычислении свободного члена

27

полинома. В первой строке таблицы спланирован первый опыт, когда факторам х1 и х2 придают максимальные значения; во второй строке — когда фактору х1 придают минимальное значение, а фактору — максимальное, и т. д. Оказывается подобное планирование имеет ряд достоинств и поэтому широко применяется для получения моделей. Например, пользуясь планом — табл. 1, можно после проведения эксперимента определить коэффициенты линейного уравнения регрессии

Сущность факторного эксперимента первого порядка состоит в одновременном варьировании всех факторов при его проведении по определенному плану, представлении математической модели (функции отклика) в виде линейного полинома и исследовании этой зависимости методами математической статистики.

Уровнем фактора называют определенное значение фактора, которое будет фиксироваться при проведении эксперимента. В предыдущем примере уровнями факторов будут 60 и 80° С для фактора «температура», а также 1 и 1,5 атм— для фактора «давление». Уровнем факторов можно назвать и средние значения рассматриваемых интервалов, т. е. 70° С и 1,25 атм.

28

Рис. 4. Геометрическая интерпретация области определения факторов L и области проведения эксперимента М

Эти значения факторов называются нулевыми уровнями, они определяют некоторую точку факторного пространства, которая в предварительном эксперименте была оценена наилучшей по максимуму (или по минимуму) переменной состояния. Обозначим нулевой уровень i-го фактора, выраженного в натуральных единицах (в данном примере в °С и атм), через Xi0 .

Интервал варьирования. Это такое значение фактора в натуральных единицах, прибавление которого к нулевому уровню дает верхний, а вычитание — нижний уровень фактора. Обозначим его Xi

29