2406

a

n

cosnx

b sin nx

c

n

einx

c

n

e inx

n

a0

N

N

N

(a cosnx

b sin nx)

c

(c einx

c

e inx )

c einx.

n

2

n

n

0

n

n

n 1

n 1

N

N

lim

c

n

einx

c einx ,

N

n

N

получим:

a0

N

N

f (x) lim

(a cosnx

b sin nx)

lim c einx

c einx ,

N

2

n

n

N

n

n

n 1

N

то есть

f (x)

c

n

einx .

cn

an ibn

1

1

f (x) cosnxdx i

1

f (x) sin nxdx

2

2

1

f (x)(cosnx i sin nx)dx

1

f (x)e inx dx,

2

2

то есть

c

1

f (x)e

inx dx,

(n

1,2,...),

n

2

c0

a0

1

f (x)dx,

2

2

c

an ibn

1

1

f (x) cosnxdx

i

1

f (x) sin nxdx

n

2

2

1

f (x)(cosnx

i sin nx)dx

1

f (x)einx dx, (n 1,2,...).

2

2

c

1

f (x)e

inx dx, (n 0, 1, 2,...),

n

2

Пример 3. Записать ряд Фурье в комплексной форме

для периодической функции f(x) периода T 2

, опреде-

ленной при 0 x

2

равенством f (x) e x .

От комплексной формы перейти к действительной

форме ряда Фурье функции f(x).

Решение.

1)

По формулам (3.1), (3.2)

запишем

f (x)

с

einx , при этом

n

1

2

f (x)e inx dx

1

2

e x

e inx dx

1

2

in) x dx

cn

e(1

2

2

2

0

0

0

1

1

e(1

in)

2

1

1

(e2

1),

(n

0,

1, 2,...)

2

1

in

2

1

0

in

или, иначе,

cn

e2

1 1

in

(n

0,

1,

2,...).

2

1

n2

Подставляя cn (n

0, 1, 2,...) в ряд для f(x), полу-

чим ряд Фурье этой функции

f (x)

e2

1

1

in

einx ,

0

x

2 .

2

1

n2

2) Если учесть, что

a

2 Re(cn ), n

0,1,2K ,

bn

2 Im(cn ),

n

1,2K ,

то найдем:

an

e2

1

1

,

n

0,1,2K,

1

n2

bn

e2

1

1

,

n

1,2K

1

n2

f (x)

e2

1 1

cosnx

n sin nx

при 0 x 2 .

2

n 1 1 n2

1 n2

e x

e2

1 1

cosnx

n sin nx

при 0 x 2 .

2

n 1 1 n2

1 n2

становка x

l

t приводит к функции f

lt

с периодом

f

lt

cn eint , где cn

1

f

lt

e inx dt.

2

i

n

x

f (x)

c

e

l

,

n

при этом

1

l

i

n

x

c

n

f x e

dx

l

2

l

l

или окончательно

1

l

i

n

x

c

n

f

x e

l

dx.

2l

l

i

n

x

Выражение

c

n

e

l

называется комплексной

нала f(t) и частичных сумм S1 (t),

S2 (t) ряда Фурье.

1.

f (t)

t

1 на [

1;1], f (t

2) f (t) .

2.

f (t)

2

| t | на [

1;1],

f (t

2)

f (t) .

3.

f (t)

| 1

t | на [

2;2],

f (t

4)

f (t) .

4.

f (t)

1

| t | на [

1;1],

f (t

2)

f (t) .

t

, если

t

0

2

5.

f (t)

, f (t

2 ) f (t) .

,

если 0

t

4

6.

f (t)

t 2

t на [

1;1],

f (t

2)

f (t) .

t, если

2

t

0

7.

f (t)

0, если

0

t

2

,

f (t

4)

f (t) .

2, если

2

t

4

8.

f (t)

(t

1)2

на [

2;2],

f (t

4)

f (t) .

9.

f (t)

2

t,

если

1

t

0,

f (t

2) f (t) .

1,

если

0

t

1

10.

f (t)

et

на [

;

],

f (t

2

)

f (t) .

11.

1,

если

1

t

0

f (t) .

f (t)

1,

если

0

t

1

,

f (t

2)

t, если

0

t

1

12.

f (t)

2, если

1

t

2

,

f (t

3)

f (t) .

3

t, если

2

t

3

13.

f (t)

t 2 ,

если

1

e

0

f (t

2)

f (t)

,

1,

если

0

t

1

.

14.

f (t)

e t

на [ 1;1],

f (t

2)

f (t) .

18.

t,

если

1

t

0

f (t) .

f (t)

t 2 , если

0

t

1,

f (t

2)

19.

f (t)

t

2,

если

2

t

0, f (t

4)

f (t) .

2,

если

0

t

2

20.

f (t)

t

t 2

на [

1;1], f (t

2)

f (t) .

21.

f (t)

1

t 2 ,

если

1

t

0

f (t

4)

f (t)

1,

если

0

t

1

,

.

1, если

2

t

1

22.

f (t)

t 2 , если

1

t

1

,

f (t

4)

f (t) .

1, если

1

t

2

23.

f (t)

t 2

2t

2 на [

2;2],

f (t

4)

f (t) .

t,

если

1

t

0

24.

f (t)

1

, если

0

t

1,

f (t

2)

f (t) .

2

1

, если

2

t

1

4

25.

f (t)

1, если

1

t

2

,

f (t

4)

f (t) .

2

t, если

1

t

2

1.

f (t)

t 2

t на [

1;0] .

1, если 0

t

2.

f (t)

2

.

t, если

t

2

3.

f (t)

(t

2)2 ,

если 0

t

2 .

4.

f (t)

2, если 0

t

1 .

2

t, если 1

t

2

5.

f (t)

t 2 , если 0

t

1

.

2, если 1

t

2

1, если

2

t

1

6.

f (t)

1

t 2 , если

1

t

0 .

7.

f (t)

t 2 ,

если 0

t

2 .

8.

f (t)

1, если 0

t

1

2 .

t 2 2t, если 1

t

f (t)

1, если 0

t

1

9.

t 2 , если 1

t

2 .

10.

f (t)

t 3

t,

если 1

t

2 .

1

t, если 0

t

1

11.

f (t)

t 2

t, если 1

t

2 .

12.

f (t)

t 2

t

2, если 0

t 1.

13.

f (t)

2, если 0

t

1.

t, если 1

t

2

14.

f (t)

2, если 0

t

1

2 .

1

t 2 , если 1

t

2, если 0

t

15.

f (t)

2

.

t, если

t

2

16.

f (t)

t 2

t, если

1

t

0 .

17.

f (t)

2, если 0

t

1 .

2

t, если 1

t

2

18.

f (t)

(t

1)2 , если 0

t

1.

19.

f (t)

t 2 , если 0

t

1

.

1, если 1

t

2