Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2406

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

1.55 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 104 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

19.		1 n	(n			3)!					.				20.		1 n		n		1	.
19.		1 n									.				20.		1 n					.
	n 1			2nn												n 1				n3
		1 n							n								(		1)n
21.					tg									.	22.								.
							4									n 0 22n 1 (2n					1)
	n 1	5n 1					4					n				n 0 22n 1 (2n					1)
																		1 n 1
23.		1 n	sin n							n			.		24.			1 n 1

	n 1															n 1	n4 2n 3
	n 1				n n											n 1	n4 2n 3
25.		1 n sin				n		.
25.		1 n sin						.
	n 1					2n

Задача 8. Найти область сходимости ряда.

n 2 3

x 3 2n .

1 n

x 3 n .

2n 3

(n 1)5n

n 1

x 1 2n

1 n (n 1)

x 7 n .

n9n

(n 3)2 2n 1

n 1

1 n 1

5 2n

n 1

1 n

x 6

6 n

(n 3) ln(n

2)3

n 1

n 1 (n


					x	5 2n 1
9.							.
9.	n 1 (2n					1)4n	.
					x	2 n
11.								.
11.		n	1		(3n	1)2n		.
13.					x	5 n
13.		n 1			3n
		n 1			3n
15.						1 n			x 6 n .
15.		n		1 (3n		1)3n			x 6 n .
		n		1 (3n		1)3n

x6 n

17.n 1 (n 3)2n .

19.	3n	2		x	3 n .
	(n	1) 2 2n
n 1
21.		1 n		x	4 n .
	(4n	1)3n
n 1
23.	(	1)n		x	3	n	.
	(3n	1)2n
n 1
	n 3				2n 1
25.			x	4			.

n 1	(n	3)!

10.		x		7 2n 1								.
10.	n 1 (2n2				5n)4n							.
12.		3n								x	2 3n .
12.	n 1	(5n		8)						x	2 3n .
	n 1	(5n		8)

14.			n			x				2 n .
14.	n 1	n 2		1		x				2 n .
	n 1	n 2		1
16.		n		1						x			4 2n .
16.	n 1	(3n		1)3						x			4 2n .
	n 1	(3n		1)3
18.		n 5					x				5		2n	1	.
18.							x				5				.
	n 1	(n 1)!
20.				x				5 n						.
20.	n 1 (n			4) ln(n									4)	.
22.		n 2							x		1		2n	1	.
22.	n 1	(n		2)!					x		1				.
	n 1	(n		2)!
24.			2n							x			1 3n .
24.	n 1	(3n		1) 2						x			1 3n .
	n 1	(3n		1) 2

Задача 9. Найти радиус сходимости и интервал сходимости степенного ряда, исследовать ряд на сходимость на концах интервала сходимости.

3n x 1 n .

1 x

2 n

xn .

. 3.

4n 2

n 0

n 5

n 0

n .

3ln2 n x 3 n .

x n .

n 1

n .

n 1 2

x5n .

n 1

arctg e n

1 n .

n 1

10.

( x

11.

arctg

n 1

12.

xn .

13.

1 n .

ln cos

sin

n 1

14.

sin

x 3

15.

arc sin

n 1

x n

16.

17.

arctg

n n

n 1

3 1

n 1

18.

1 n

( x

2)n .

19.

n .

3 n

n 1

20.

2 n .

21.

4n2

1 n2 .

n 1

22.

1 2

23.

2 x 1 2n .

n 1

n 0

24.

25.

xn .

n 0

Задача 10. Найти множество E всех значений xпри которых определена функция f(x), и исследовать ее на непрерывность на E.

1. f ( x)	arctgx	.


n 1 3	n4 x

3.	f (x)	(		1)n		.


	n 1	x2		3 n4
5.	f ( x)	ln4		x	.
5.	f ( x)	n2			.
	n 1	n2
			5
7.	f (x)	n 4 cos x .
	n 1

2.f ( x)

4.f ( x)

6.f (x)

8.f (x)

n 1 arcsin n2 x4 .

xe n2 x .

n 1

2n ln(1	sin		1		) .

		n
n 1	3			x

ne nx .

n 1

9. f (x)								1				.		10.		f ( x)

		n 1 n2 (n						1)2		x2
11.	f ( x)				e n2 x2 cosnx .									12.		f (x)
		n	1
13.	f (x)							1		.				14.		f (x)

		n 1 (1						x2 )n
15.	f (x)			e n2 x2 1						x2 .
		n 1
16.							3	n						1	) .
	f ( x)							ln(1 sin
	f ( x)	n	1				2	ln(1 sin					4n	x
	f ( x)		(				1)n
17.									.					18.		f ( x)
17.		n	1 n					x2	.					18.		f ( x)
19.	f ( x)					cos(n2				1)x	.			20.		f ( x)
19.	f ( x)							5			.			20.		f ( x)
								5
		n 1
		n 1						n 2
								n 2
								sin nx								f ( x)
21.	f ( x)										.			22.
21.	f ( x)	n		1 n2 ln2 (n						1)	.			22.

n2 x . n 1 n(n 1)

	x	1	n

n 1		n
n 1		n
	lnn (x2		1)	.
		4		.
		4

n 1	x 3

x3e nx .

n 1

n 1 n2 x2 .

	ln(	x	1)	.

n 1 (n			x)2

23. f ( x)	e (n x )	2	.	24. f (x)	arctg3	1	.


						x 3 n2
	n 1				n 1	x 3 n2

25. f (x)	1		arcsin2	1		.
				(x4

n 1		n			n)

Задача 11. Найти сумму ряда.

1.	4n2	9n 5 xn 1 .
n 0
3.	n2	5n	3 x n .
n 0
5.	2n2	7n 5 xn 1 .
n 0
7.	2n2	n	1 x n .
n 0
9.	2n2	2n		1 x n .
n 0
11.	n2	5n		4 xn 2 .
n	0
13.	2n2	5n		3 xn 1 .
n	0
15.	3n2	5n		4 xn .
n	0

2.	n2	n	x n 2 .
n 0
4.	3n2	8n 5 x n 1 .
n 0
6.	n 2n2	1 xn 2 .
n 0
8.	n2	7n		4 xn .
n 0
10.	n2	2n		2 xn 2 .
n	0
12.	3n2	7n		4 xn .
n	0
14.	2n2	8n		5 xn .
n	0
16.	n2	n	1 xn .
n	0

17.	3n2	5n	4 xn 1 .		18.	2n2 n		2 xn 1 .
n 0						n 0
19.	n2	2n	1 x n 1 .		20.	n2	4n	3 xn 1 .
n 0						n 0
21.	2n2	2n	1 x n .	22.	n2	6n	5 xn 1 .
n 0					n 0
23.	2n2	n	1 xn 1 .	24.	n2	9n	5 xn	1 .
n 0					n 0
25.	4n2	6n	5 xn .
n 0

ГЛАВА II ПРИМЕНЕНИЕ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ

2.1.Разложение некоторых элементарных функций в ряд Тейлора (Маклорена)

Приведем таблицу, содержащую разложения в ряд Маклорена некоторых элементарных функций:

	ex	1		x			x2							xn	,			x		(	,	)			(2.1)
	ex	1	1!					2!						n!	,			x		(	,	)			(2.1)
			1!					2!						n!
	sin x		x			x3					x5		(		1)n			x2n 1			,		x	(	, )
	sin x		x		3!					5!			(		1)n		(2n		1)!		,		x	(	, )
					3!					5!							(2n		1)!
																									(2.2)
cos x			1		x 2					x 4		(			1)n		x 2n			,		x	(	,	) (2.3)
cos x			1		2!					4!		(			1)n	(2n)!				,		x	(	,	) (2.3)
					2!					4!						(2n)!
(1 x)			1						x			( 1)			x2					(	1) (			n 1)		xn
(1 x)			1						x						x2											xn
					1!								2!									n!
																		1,1	,	если				0,
														x			1,1 , если					1		0,	(2.4)
																1,1			,	если				1,
1			1		x				x2			xn			,			x		(	1,1)				(2.5)

1 x
1 x

ln(1

(

1)n

xn 1

1,1

(2.6)

arctgx

(

1)n

x2n 1

1,1

(2.7)

arcsinx

1 x3

1 3 x5

1 3 5 x7

2 3

4 5

2 4 6 7

1 3 5 (2n 1) x 2n 1

, x

1,1

(2.8)

4 6 (2n)

sh x

x 2n

(

) (2.9)

(2n

1)!

x 2

x 4

x 2n

ch x

(

, )

(2.10)

(2n)!

Пример 1. Разложить в ряд Маклорена функцию

f (x) 3x .

Решение: Так как 3x

eln 3x

e x ln 3 ,

то,

заменяя x на

x ln3 в разложении (2.1), получим:

ln 3

ln2 3

ln3 3

lnn 3

x ( , ) .

Пример 2. Разложить в ряд Маклорена функцию f (x) ln(4 x) .

Решение. Так как

f (x) ln(4 x) ln 4 1	x	ln 4 ln 1	x	,

	4		4

то, воспользовавшись формулой (2.6), в которой заменим

x на		x		, получим:
x на		4		, получим:
		4
																		x	2			x			3
												x
	ln(4				x)			ln 4				x					4				4					,

												4					2				3
												4					2				3
или
ln(4			x)			ln 4				1	x		1			x2					1			xn 1			,
ln(4			x)			ln 4			4		x	42			2						4n 1			n 1			,
									4			42			2						4n 1			n 1
если	1				x	1	, т.е.				4			x	4 .

				4
				4
	Пример 3. Разложить в ряд Маклорена функцию
f (x)		2			.

	3		x
	Решение. Воспользуемся формулой (2.5). Так как
					f (x)				2						2					2	1				,

									3		x	3			1		x			3	1		x
																							x


																	3				3
то заменив				x		на		x	в формуле (2.5), получим:
то заменив				x		на	3		в формуле (2.5), получим:
							3

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 104 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.20221.53 Mб02397.pdf
#
15.11.20221.53 Mб02398.pdf
#
15.11.20221.54 Mб22402.pdf
#
15.11.20221.54 Mб02403.pdf
#
15.11.20221.55 Mб02405.pdf
#
15.11.20221.55 Mб02406.pdf
#
15.11.20221.55 Mб02409.pdf
#
15.11.20221.56 Mб02413.pdf
#
15.11.20221.56 Mб02414.pdf
#
15.11.20221.57 Mб02418.pdf
#
15.11.20221.57 Mб12419.pdf