возможные значения расположены слева и справа от математического ожидания. В этом смысле математическое ожидание характеризует расположение распределения, и поэтому его час-

то называют центром распределения.

Рассмотрим свойства математического ожидания.

Свойство 1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:

Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

М (СХ) = СМ (X).

Замечание. Две случайные величины называют независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения приняла другая величина. В противном случае случайные величины зависимы. Несколько случайных величин называют взаимно независимыми, если законы распределения любого числа из них не зависят от того, какие возможные значения приняли остальные величины.

Свойство 3. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

М (XY) = М ( Х ) М (Y).

Свойство 4. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:

М (X+Y) = М ( Х ) + М (Y).

Пример 1.32. Пусть ежедневные расходы на обслуживание и рекламу автомобилей в автосалоне составляют в среднем 120 тыс. ден. ед., а число продаж X автомашин в течение дня подчиняется закону распределения

42

П=(150X-120).

Искомая характеристика М(П) находится с использованием указанных ранее свойств математического ожидания:

М(П) = М(150X-120) = 150М(X) – 120 = 150 2,675-120 =281,25.

Определим математическое ожидание числа появлений события в независимых испытаниях.

Пусть производится п независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна и равна р.

Теорема. Математическое ожидание М(Х) числа появлений события А в п независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытании:

М ( Х ) = п р

Замечание. Так как величина X распределена по биномиальному закону, то доказанную теорему можно сформулировать и так: математическое ожидание биномиального распределения с параметрами п и р равно произведению пр.

Пример 1.33. Вероятность попадания в цель при стрельбе из орудия р=0,6. Найти математическое ожидание общего числа попаданий, если будет произведено 10 выстрелов.

43

Решение. Попадание при каждом выстреле не зависит от исходов других выстрелов, поэтому рассматриваемые события независимы и, следовательно, искомое математическое ожидание

М ( Х ) = пр = 10 0,6 = 6 (попаданий).

1.22.5. Дисперсия дискретной случайной величины

На практике часто требуется оценить рассеяние возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения. Например, в артиллерии важно знать, насколько кучно лягут снаряды вблизи цели, которая должна быть поражена. Зная лишь математическое ожидание случайной величины, еще нельзя судить ни о том, какие возможные значения она может принимать, ни о том, как они рассеяны вокруг математического ожидания. Другими словами, математическое ожидание полностью случайную величину не характеризует.

По этой причине наряду с математическим ожиданием вводят и другие числовые характеристики. Так, например, для того чтобы оценить, как рассеяны возможные значения случайной величины вокруг ее математического ожидания, пользуются, в частности, числовой характеристикой, которую называют дисперсией.

Введем понятие отклонения случайной величины от ее математического ожидания. Пусть X — случайная величина и М(Х)—ее математическое ожидание. Рассмотрим в качестве новой случайной величины разность X - М(Х).

Отклонением называют разность между случайной величиной и ее математическим ожиданиям.

Приведем важное свойство отклонения.

Теорема. Математическое ожидание отклонения равно

44

нулю:

М [X - М(Х)]=0.

Дисперсией (рассеянием) дискретной случайной величины

называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

D(X)=M[Х-M(X)]2.

Для вычисления дисперсии часто бывает удобно пользоваться следующей теоремой.

Теорема. Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины Х и квадратом ее математического ожидания:

D(X)=M(X2)-[M(X)]2. (1.7)

Формула (1.7) – формула вычисления дисперсии.

Пример 1.34. Найти дисперсию случайной величины X, которая задана следующим законом распределения:

р0,1 0,6 0,3

Решение. Найдем математическое ожидание М (X):

М (X) = 2 0,1 3 0,6 5 0,3 3,5 .

Найдем математические ожидания М (X2):

М (X2) = 4 0,1 9 0,6 25 0,3 13,3.

Искомая дисперсия

D(X)=M(X2)-[M(X)]2=13,3-(3,5)2=1,05.

45