2365

Аналогично рассмотренному, каждому прочему разрешенному (наблюдаемому) значению xi на графике ФРВ соответствует ступенька, координата которой по оси x равна xi, а высота – вероятности наблюдения этого значения P{ ξ = xi }.

Итоговый вид графика функции распределения для СВ ξ представлен на рис. 10.

Рис. 10. Функция распределения модуля разности значений на половинках кости домино

Так как сумма вероятностей, составляющих нижнюю строку любого ряда распределения, равна 1, то и совокупность «ступенек», из которых состоит график ФРВ любой дискретной случайной величины, обязательно «поднимает» этот график с нулевого уровня, наблюдаемого слева (при больших отрицательных x), строго до уровня Fξ (x) =1, наблюдаемого правее

наибольшего возможного значения СВ ξ.

Если ввести в рассмотрение функцию единичного скачка

то функцию распределения любой дискретной случайной величины (ДСВ) можно будет представить в виде суммы скачков

i

70

Для непрерывных случайных величин (НСВ), напротив, функция распределения представляет собой не имеющую разрывов зависимость, горизонтальную на участках, значения из которых наблюдаться в опытах не могут, и плавно нарастающую на участках, содержащих наблюдаемые значения СВ.

3.6. Плотность вероятности случайной величины

Непрерывность функции распределения любой НСВ в соответствии с соотношением (3.15) означает, что вероятность наблюдения любого конкретного значения случайной величины P{ ξ = c } = 0. Этот результат не следует рассматривать как признак физической невозможности наступления события “ξ = c”; более корректно говорить о бесконечно малой вероятности данного события. И действительно, рассмотрим произвольный интервал ( a, b ), содержащий допустимые значения СВ ξ. Не зависимо от того, сколь малым по протяженности является этот интервал, число заключенных на нём возможных значений СВ ξ бесконечно велико, а значит на долю каждого значения приходится бесконечно малая вероятность его получения в опыте. По указанной причине, сопоставлять вероятности наблюдения разных значений случайной величины с использованием ФРВ не слишком удобно.

Отметим, что пока интервал (a, b) допустимых значений СВ сохраняет ненулевую протяженность (b > a), вероятность наблюдения значений из этого интервала также остается неотрицательной P{ a ≤ ξ < b } ≥ 0, а для малых интервалов стремление b → a вызывает пропорциональное снижение вероятности. Если применительно к бесконечно малой окрестности точки ξ = x определить коэффициент пропорциональности между шириной интервала x и вероятностью наблюдения значений x ≤ ξ < (x+ x), то такой коэффициент, очевидно, будет служить объективным показателем возможности наступления события “ξ = x”. С другой стороны, в соответствии с (3.13)

71

что объясняет появление следующего определения…

Плотность вероятности случайной величины характеризует возможность наблюдения значений СВ ξ из бесконечно малой окрестности аргумента x и равна

Рассмотрим наиболее важные свойства плотности вероятности:

1. Плотность вероятности имеет размерность обратную к размерности самой случайной величины (для напряжений измеряется в “1/В”, для временных интервалов – в “1/с”, а для расстояний (декартовых координат) – в “1/м”) и принимает лишь неотрицательные значения

Действительно, в числителе (3.18) стоит безразмерная вероятность, а аргумент x, как и его приращение x, совпадают по размерности

ссамой случайной величиной.

2.Вероятность попадания значений СВ ξ в интервал от a до b может быть рассчитана при помощи интеграла

ные участки, являются несовместными. Как следствие,

3. По известной плотности вероятности функция распределения вероятностей СВ может быть рассчитана из соотношения

−∞

Примечание: Обратите внимание, что целью соотношения (3.21) является получение именно функции, т.е. некоторого вы- ражения, содержащего символьный аргумент x0 , на место ко- торого при последующих расчетах будет подставляться реаль- ное значение аргумента функции распределения.

4. Если границы a…b из свойства 2 расширить до “–∞” и “+∞”, то выражение (3.20) будет соответствовать вероятности выполнения неравенства «–∞ ≤ ξ < +∞». Но указанное событие гарантированно выполняется для любой случайной величины: P{−∞≤ξ <+∞} =1. Как следствие, для любой СВ справедливо

Соотношение (3.22) называют свойством нормировки НСВ. С геометрических позиций интеграл в (3.22) определяет площадь фигуры, заключенной между графиком плотности вероятности и осью абсцисс, поэтому означает, что для всех СВ фигуры, заключенные под кривой Wξ (x) , имеют одинаковую площадь

строго равную единице.

73

3.7. Типовые законы распределения непрерывных случайных величин

Рассмотрим несколько часто встречающихся на практике законов распределения непрерывных случайных величин.

3.7.1. Равномерное распределение НСВ

Равномерным называется распределение непрерывной случайной величины, равновероятно принимающей любые вещественные значения из некоторого диапазона с границами a и b. Плотность вероятности подобной СВ имеет вид, показанный на рис. 12(а), и определяется выражением

Обратите внимание на следующие особенности рис. 12(а):

1)на участках оси x, соответствующих неравенствам x<a и x>b, значение плотности вероятности равно нулю, указывая невозможность наблюдения в опыте подобных значений;

2)для значений x, лежащих между a и b, плотность вероятности сохраняет фиксированное значение, указывая на равную вероятность наблюдения любых значений из этого диапазона;

3)график плотности вероятности имеет прямоугольную форму и

при ширине (b – a) и высоте 1/(b – a) имеет единичную площадь, что успешно согласуется со свойством нормировки (3.22).

Отметим также, что, записывая аналитические выражения для плотностей вероятности аналогичные (3.23), обычно ограничиваются лишь строками с ненулевыми значениями, т.е. вместо всей формулы (3.23) приводят лишь верхнюю строку. При этом подразумевается, что на не указанных интервалах изменения аргумента (при прочих x) значение Wξ (x) равно нулю.

74

Расчет вероятности попадания значений нормальной СВ в некоторый диапазон оказывается, к сожалению, несколько проблематичным в связи с тем, что плотность вероятности (3.24) является неинтегрируемой функцией, т.е. не имеет аналитического выражения для первообразной. Интегралы от (3.24) вычисляются путём их сведения к известным (и представленным практически во всех математических справочниках) специальным функциям, таким как интеграл вероятности Ф(x), определяющий функцию распределения Fст(x) стандартной нормаль-

Действительно, используя подстановку (x − a) /σ = z , функцию

распределения произвольной нормальной СВ можно представить в виде

а из таблицы значений Fст(x), приведенной в прил. 1, следует, что и для нормального распределения выполняется свойство нормировки (3.22), т.е. справедливо

3.7.3. Распределение Релея

Распределение Релея описывает вариацию длины случайного вектора, горизонтальная и вертикальная координаты которого имеют нормальное распределение (при a = 0), характеризует интенсивность отклика амплитудного детектора на шумовое воздействие, описывает поведение отсчетов спектроанализатора, приходящихся на шумовой участок частотного диапазона и т.д.

Плотность вероятности релеевского распределения имеет вид

где σ – параметр, принимающий положительные значения. Производная плотности вероятности (3.29) имеет вид

откуда следует (см. последний сомножитель), что параметр σ определяет наиболее вероятное значение величины ξ – так называемую моду распределения (см. подробнее п. 4.3).

Рис. 14. Характеристики закона распределения Релея

78