2365

ηρ

y S r θ

Рис. 35. Связь декартовых и полярных координат точки на плоскости

Решение: Переход от декартовых координат к полярным

ρ = ξ2 +η2

определяется выражениями

θ = arctg (η / ξ )

а обратные функции, позволяющие вычислить значения {ξ,η}

входных СВ, необходимые для получения на выходе преобразователя значений {ρ,θ}, в соответствии с рис. 35 являются

ξ = ρ cos(θ)

однозначными и имеют вид

η = ρ sin(θ)

Переписывая эти же зависимости для значений, принимаемых СВ в отдельных опытах, получаем

Полученный результат соответствует тому факту, что при фиксированных изменениях угла и радиуса-вектора, определяющих положение точки на плоскости в полярных координатах, площадь S элементарной площадки, соответствующей этим изменениям является прямо пропорциональной r .

Итак, двумерная плотность вероятности системы {ρ,θ} связана с плотностью вероятности Wξη (x, y) соотношением

Wρθ (r,ϕ) =Wξη (r cosϕ, r sinϕ) | r | , r ≥ 0, –π≤φ≤+π, (6.47)

что при независимых, нормально распределенных декартовых координатах может быть записано в виде

Используя теперь соотношение (6.19), для компонент системы получим

Таким образом, удалённость ρ исследуемой точки от начала

координат подчиняется релеевскому закону распределения (см. п. 4.5.2), а угловое направление на точкуθ – равномерному закону распределения (см. п.4.5.1).

161

6.9. Преобразование системы СВ в новую случайную величину

Пусть задана некоторая функция f (x1, x2 ), используемая для преобразования системы СВ {ξ1 ,ξ2 } в новую случайную величину

и необходимо отыскать правило расчета закона распределения этой новой СВ по плотности вероятности системы {ξ1 ,ξ2 }. Для

использования ранее полученных соотношений (6.44)-(6.46) обозначим временно η =η1 и дополним эту СВ вспомогательной

случайной величиной η2 =ξ2 . Тогда одна из двух обратных функций для системы СВ {η1 ,η2 } оказывается для всех функ-

Из определяемой (6.44) плотности вероятности системы {η1 ,η2 } информацию об исходной величине η =η1 можно выделить с помощью правила (6.19), а именно

При однозначной обратной функции ϕ1i (...) суммировать ветви

обратного преобразования не требуется и правило расчета закона распределения функции от системы СВ приобретает вид

162

где аргумент y соответствует искомой величине η , а исчезающий при интегрировании аргумент u – вспомогательной СВ η2 .

Пример 3: Закон распределения суммы двух СВ η =ξ1 +ξ2 . Введём вспомогательную СВ η2 =ξ2 и из η =η2 +ξ1 получим обратную функцию ξ1 =ϕ1 (η,η2 )=η −η2 . Сопоставляя величине η аргумент y , а величине η2 аргумент u на основании (6.52) и

Пример 4: Закон распределения произведении СВ η =ξ1 ξ2 . Введём вспомогательную СВ η2 =ξ2 . Из η =η2 ξ1 получим обратную функцию ξ1 =ϕ1 (η,η2 )=η /η2 . Сопоставляя величине

По аналогии можно получить правила расчета законов распределения и для других арифметических функций. Отметим, что соотношения (6.53)-(6.54) могут использоваться, в том числе, и для зависимых аргументов ξ1 и ξ2 . Для независимых аргумен-

тов правила немного упрощаются; они представлены в таблице

163

мент ( y − x) оказывается отрицательным.

W1(x)

λ1

Рис. 36. ПРВ для подынтегральных сомножителей из (6.55)

Итак, областью аргументов x, в которой как верхний, так и нижний график принимают ненулевые значения, является диапазон x [0, y]. Таким образом, ограничение области допусти-

мых значений для показательного закона распределения при использовании свёртки (6.55) проявляется в использовании пределов

Дляслучая λ1 = λ2 законраспределениясуммыпоказаннарис. 37.

165

В полученной сумме первое слагаемое не зависит от переменной

где A – константа, сложным образом зависящая как от параметров распределений, так и от текущего значения аргумента z.

но в таком случае последний интеграл, как результат интегрирования вдоль всей оси аргументов нормальной плотности вероятности по свойству нормировки (3.22) будет равен единице (независимо от конкретных значений параметров (A*,σz ) . В

итоге, распределение суммы величин ξ и η принимает вид

т.е.оказывается нормальным распределением с параметрами

Полученный результат можно обобщить следующим образом:

Сумма произвольного числа независимых нормальных случайных величин ξi с параметрами (ai ,σi ) подчиняется

нормальному распределению с параметрами

6.10. Числовые характеристики функции системы СВ

При дальнейшем анализе свойств системы СВ могут оказаться полезными следующие свойства числовых характеристик: 1) при масштабировании случайной величины

а для дисперсии аналогично получаем (см. (4.4), (4.6))

168