Курс лекций по линейной алгебре и аналитической геометрии. Горбунов В.В., Соколова О.А

соответственно.

Выбирая в уравнении прямой общего вида нормальный вектор единичной длины, получим нормальное уравнение прямой на

C( 1;1) . Составить уравнение высоты AD.

Решение. Так как высота AD перпендикулярна стороне BC , то

7.2. Каноническое уравнение прямой

Если ориентацию прямой на плоскости описывать с помощью

60

Если в качестве направляющего вектора взять вектор

Пример 7.2. Составить каноническое уравнение медианы АЕ треугольника c вершинами A(1;3); B( 2; 4);C(5;2).

Решение. Медиана АЕ делит сторону ВС пополам. Тогда, используя формулу для нахождения координат точки, делящей отрезок в заданном соотношении (4.8), найдем координаты точки Е.

C(13;6) . Составить уравнение биссектрисы угла А.

Решение. Пусть точка D – точка пересечения биссектрисы со стороной ВС. Из свойства биссектрисы внутреннего угла

Следовательно, DCBD 1513.

61

Так как известно отношение, в котором точка D делит отрезок ВС , то координаты точки D определятся по формулам

(школьное уравнение) является отражением того, что прямая является единственным геометрическим объектом на плоскости, описывающим линейную зависимость между переменными x и y .

Если же имеется точка M1 (x1 , y1 ) , принадлежащая прямой, и угловой коэффициент k tg , то можно заметить, что независимо от положения текущей точки прямой M (x, y) будет выполняться

7.5. Угол между двумя прямыми.

Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых

62

косинус угла между прямыми вычисляется по формуле:

а условия параллельности и перпендикулярности прямых принимают вид

63

у

0 1 2 x

Рис. 13

Условие параллельности прямых определяется как случай tg 0 , т.е.

Вопросы для самопроверки

1.Как записывается общее уравнение прямой на плоскости?

2.Как записываются параметрические уравнения прямой на плоскости?

64

3.Что называется угловым коэффициентом прямой на плоскости и каков его геометрический смысл в декартовой прямоугольной системе координат?

4.Как записывается уравнение прямой, проходящей через две точки на плоскости?

5.Как вычисляются углы между двумя прямыми на плоскости? Каковы условия параллельности и перпендикулярности двух прямых на плоскости?

8.КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Впрямоугольной системе координат, в плоскости Oxy уравнение второй степени

определяет кривую второго порядка, где А, В, С, D, E, F заданные действительные числа. При этом А,В,С одновременно не равны нулю.

Известный частный случай дает уравнение окружности:

8.1. Каноническое уравнение эллипса

Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых суммы расстояний до двух фиксированных

точек F1 ( с, о) и F2 (с, о) , называемых фокусами, есть величина постоянная 2a , большая, чем расстояние между фокусами .

65

r2 F2 M x c 2 y 2 , соответственно (рис. 18). Тогда уравнение эллипса имеет вид

F1M F2 M 2a или x c 2 y2 x c 2 y2 2a .

Преобразуем

- каноническое уравнение эллипса.

66

Если в уравнении заменить х на – х, у на – у, то уравнение не изменится. Это значит, что эллипс - кривая симметричная относительно осей Ох и Оу.

Величины а и b называются большой и малой полуосями

эллипса, т.к. а b . Эллипс проходит через точки (0, b ) и (а,0) или (0, - b ) и (- а,0), которые называются вершинами эллипса.. Эллипс - непрерывная замкнутая кривая, которая находится внутри

прямоугольника x а; у b .

Эксцентриситетом эллипса называется величина

Таким образом, эксцентриситет эллипса меньше 1, а эксцентриситет окружности равен 0 (т.к. b = а).

Эксцентриситет эллипса можно рассматривать как меру его

67

Таким образом получено уравнение эллипса с центром в точке О1 2;1 .

y Y

Рис. 15

8.2. Каноническое уравнение гиперболы

Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, для которых абсолютная величина разности расстояний

до двух фиксированных точек F1 ( с, о) и F2 (с, о) , называемых фокусами, есть величина постоянная 2a , меньшая, чем расстояние

Рис. 16

68

Согласно определению гиперболы можем записать для любой

- каноническое уравнение гиперболы.

Величины a и b называются соответственно действительной и мнимой полуосями гиперболы.

Так как x и y в уравнении в четных степенях, то график

гиперболы симметричен относительно координатных осей. Таким образом, гипербола обладает центром симметрии (как и эллипс).

Точки А(-а,0) и В(а, 0) называются вершины гиперболы и являются точками пересечения кривой с ось 0х . Фокусы гиперболы располагаются на действительной оси. Гипербола не пересекается с осью Oy .

Вводится основной прямоугольник гиперболы, образованный пересекающимися прямыми y b , y b , x a , x a . Диагонали основного прямоугольника гиперболы определяются

Таким образом, эксцентриситет гиперболы больше 1. Эксцентриситет гиперболы можно рассматривать как числовую характеристику величины раствора угла между её асимптотами: чем

69