Курс лекций по линейной алгебре и аналитической геометрии. Горбунов В.В., Соколова О.А

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Линейной комбинацией

n векторов a1 ,

a2 , …, an

называется

сумма вида

... n an ,

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

1.32 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 93 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

x 2 y 3z 64x y 4z 9 .

3x 5y 2 y 10

Решение. Найдем матрицу-столбец неизвестных

X A 1 B .

Определитель системы:

1	2	3	=1	1 4		2	4	4	3	4 1		=
1	2	3
4 1		4
3	5	2		5	2		3	2		3	5
3	5	2

=1(2 - 20) - 2(8 - 12) + 3(20 - 3) = -18 + 8 + 51 = 41≠0.

Алгебраические дополнения:

		1 1		1				4	18;						A		( 1)	2 1	2			3	11;
A ( 1)									18;						A		( 1)						11;
11				5				2								21			5			2
				5				2											5			2
A ( 1)			3 1					3		15;					A		1 2			4			4		4;
			3 1		2			3									1 2			4			4
																	( 1)
31					1			4								12				3		2
					1			4												3		2
A ( 1)2 2															A ( 1)3 2									1 3
A ( 1)2 2							1 3			7;					A ( 1)3 2									1 3	8;
22							3	2								32					4		4
							3	2													4		4
		1 3						1		17;					A		( 1)	2 3			1 2				1;
		1 3			4			1										2 3			1 2
A ( 1)
13					3			5								23					3		5
					3			5													3		5

A ( 1)3 3						1 2			7;
33						4		1
						4		1
		18				11 5						6				108 99 50
	1													1
X			4		7 8						9						24 63 80
X	41		4		7 8						9			41			24 63 80
	41		17				1 7							41			102 9 70
			17				1 7					10					102 9 70
													41			1
												1
												1	41		1 ;
												41	41		1 ;
												41
													41			1
x=1; y=1;			z=1.
														20

3.3. Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера

Другой метод решения системы уравнений (3.5) основан на теореме Крамера. Рассмотрим его на примере системы трех уравнений с тремя неизвестными.

a11x a12 y a13 z b1a21x a22 y a23 z b2 .

a31x a32 y a33 y b3

Составим определитель системы

a11

a12

a13

a21

a22

a23

(3.8)

a31

a32

a33

а также вспомогательные определители

a12

a13

a11

a13

a11

a12 b1

a22 a23

a21

a23

a21

a22 b2

a32 a33

a31

a33

a31

a32 b3

Теорема

3.3.

(теорема

Крамера).

Если

определитель

системы отличен от нуля, то система линейных уравнений (3.6) имеет единственное решение, определяемое по формулам Крамера

x	x	, y	y	, z	z	.	(3.9)

Если определитель системы равен нулю 0 , а хотя бы один из вспомогательных определителей отличен от нуля, то система уравнений несовместна.

Если определитель системы	0 , и все вспомогательные
определители равны нулю x	0 , 0 , 0 , то система

уравнений имеет бесчисленное множество решений.

Пример 3.2. Решить систему уравнений с помощью формул Крамера

							x 2 y 3z 6
									4z 9 .
							4x y		4z 9 .
							3x 5y 2 y 10

		Решение. Решим систему, применяя формулы Крамера.
Определитель системы: 41 отличен от нуля,												следовательно,
система имеет единственное решение.
		Вычисляем определители:							x ; y ;	z :
			2	3
		6	2	3
x		9	1	4			6 ( 18) 2 ( 22) 3 35 108 44 105 41;
		10 5		2
			6	3
		1	6	3
y		4	9		4		1 ( 22) 6 ( 4) 3 13 22 24 39 41;
		3	10	2
			2	6
	1		2	6
z	4		1	9		1 ( 35) 2 13 6 17 35 26 102 41.
	3		5 10
		Тогда: x x / 1,						y Y / 1,		z Z / 1.
							3.4. Метод Гаусса
		Суть метода Гаусса в том, чтобы с помощью элементарных
преобразований расширенную матрицу системы
								a	a ...	a	b
								a	a ...	a	b
								11	12	1n	1
							A / B	a21	a22 ...	a2n	b2
							A / B			...	...

								... ... ...

								am1	am2 ...	amn	bm
								am1	am2 ...	amn	bm

привести к ступенчатому виду.

Предположим, что a11 0 . Тогда, умножая первую строку на ( a21 / a11 ) и прибавляя ко второй строке, умножая первую строку на ( a31 / a11 ) и прибавляя к третьей строке, и т.д., получим нулевые

элементы в первом столбце под элементом a11 . Далее, подобные операции проводим со второй строкой для получения нулей во втором столбце ниже элемента a22 , который, напоминаем, был

пересчитан на первом этапе. После производим аналогичные операции с третьим столбцом и т.д.

результате,

получаем

расширенную

матрицу,

соответствующую системе уравнений

x l x

c ,

11 1 12

1,r 1

r 1

l22 x2 l2r xr l2,r 1 xr 1 l2n xn c2 ,

lrr xr lr ,r 1 xr 1

lrn xn cr

(3.10)

cr 1 ,

cr 2 ,

Присутствие хотя бы одного из неверных числовых равенств в нижней части системы говорит о несовместности системы.

Если же все сr 1 , … cm равны нулю, то система уравнений совместна. Тогда эти верные числовые равенства можно опустить.

Переносим в (3.12) все члены, содержащие

xr 1 ,...xn в правую

часть, тогда

l x l x

с l

11 1

1,r 1

r 1

l22 x2

l2r xr

l2,r 1 xr 1

l2n xn , (3.11)

lrr xr cr lr ,r 1 xr 1 lrn xn ,

Здесь ( xr 1 ,...xn ) – свободные переменные, им можно придавать произвольные значения. Неизвестные x1 ,..., xn называются базисными и определяются по значениям свободных неизвестных. Из последнего уравнения находим xr , далее найденное xr подставляем в предпоследнее уравнение, находим

xr 1 и т.д..

Пример 3.3. Решить систему уравнений:

x 2 y 3z 63x 5 y 3z 1.2x 7 y z 8

Решение. Расширенная матрица системы имеет вид

1		2	3	6

	3	- 5	3	1
					.
	2	7	-1	8

Умножаем каждый элемент 1-й строки на(-3) и складываем со 2-й строкой. Умножаем каждый элемент 1-й строки на(-2) и складываем с 3-й строкой. Получаем:

1		2	3	6

	0	-11	- 6	-17
					.
	0	3	- 7	- 4

Умножаем каждый элемент 2-й строки на( 113 ) и складываем с

3-й строкой. Получаем


1		2		3	6
	0	-11		- 6	-17		.
				95		95
		0	-	95	-	95
0		0	-		-
				11		11
				11		11

Тогда r(A) = r(A/B)	=3	– система совместна. Полученной
матрице соответствует система

x 2 y 3z 6
	-11y 6z -17 ,
	-11y 6z -17 ,
			95		95
	-		95	z -	95
	-			z -
		11			11

откуда обратным ходом получаем z = 1; y=1; x=1.

Пример 3.4. Решить систему уравнений:

x y z 1

2x y z 2 .3x 2 y 2z 3

Решение. Преобразуем расширенную матрицу системы:

1		1	1
	2	1	1

	3	2	2

r(A)=2; r(A/B)= 2

1	1 1			1 1		1 1			1	1

2	~	0	-1	-1	0 ~		0	-1 -1		0 ,
		0	-1	-1			0	0	0
3					0					0

=> система совместна. Тогда
x y z 1					x y z 1
	- y - z 0							,
						y -z

где z – свободная переменная, z = t, тогда x =1, y = -t, z = t.

Вопросы для самопроверки

1.Что называется матрицей и расширенной матрицей системы линейных уравнений?

2.Что называется решением системы линейных уравнений? Какие системы называются совместными, а какие – несовместными?

3.Сформулируйте теорему Кронекера-Капелли.

4.Напишите формулы Крамера. В каком случае они применимы?

5.При каком условии система линейных уравнений имеет единственное решение?

6.Что можно сказать о системе линейных уравнений, если

ееопределитель равен нулю?

7.При каком условии система n линейных уравнений с n неизвестными имеет ненулевое решение?

8.Опишите метод Гаусса решения систем линейных уравнений.

9.В чем состоит матричный способ решения систем линейных уравнений?

4. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

4.1. Понятие вектора

Во многих математических и прикладных задачах

рассматривается направленный	отрезок, называемый вектором,

обозначаемый либо a , либо AB с указанием начальной точки A
(точки приложения) и конечной точки B .
	В
А	AB

Рис. 2

Длина (модуль) вектора AB обозначается | AB | .

Вектор 0 называется нулевым, если имеет длину, равную нулю. Нулевой вектор не имеет определенного направления.

Векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на

одной прямой, либо на параллельных прямых.

				b

	b	b

			a		a

	a
	b		b		b
a	b	a	b	a	b
		Рис. 3

Ортом	произвольного	ненулевого		вектора	c называется

единичный вектор, коллинеарный c и имеющий одинаковое с c направление.

Два вектора называются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и одинаковые направления.

В декартовой системе координат радиус-вектор, вектор, выходящий из начала координат, характеризуется координатами

OA {x, y, z}, совпадающими с координатами точки A(x, y, z) .

Если известны координаты точек начала

и конца

вектора

A(x1, y1, z1 ) ;

B(x2 , y2 , z2 ) ,

то AB {x2 x1, y2 y1, z2 z1} то

координаты вектора

AB равны разностям координат конца и начала

вектора.

Длина

вектора

равна

| AB | (x

x )2

( y

y )2 (z

z )2 .

Обычно рассматриваются свободные векторы, которые могут быть перенесены в любую точку пространства параллельно самим себе. Три вектора называют компланарными, если они лежат в одной плоскости.

4.2.Линейные операции над векторами

4.2.1.Операция сложения векторов


Правило треугольника:		Суммой двух векторов		a и	b

называется вектор a	b , идущий из начала вектора a		в конец

вектора b при условии, что вектор b приложен к концу вектора a .

Рис. 4

Свойства операции сложения векторов

1.a b b a (переместительное свойство);

2.(a b ) c a ( b c ) (сочетательное свойство);


3. a	O a , где O - ноль-вектор.

4.Наличие для каждого вектора a противоположного ему


вектор a такого, что a a 0 (противоположный вектор – вектор

коллинеарный вектору		a , но	имеющий		противоположное
направление).

Операция вычитания векторов			a b сводится к сложению

вектора a с противоположным вектором ( b) .

Разность a	b приведенных к общему началу векторов a и

b представляет	собой	вектор, идущий		из	конца вычитаемого

вектора b в конец уменьшаемого вектора a .

Рис. 5

4.2.2. Операция умножения вектора на вещественное число


Произведением a		(или a	) вектора a	на вещественное

число называется вектор b , коллинеарный вектору a , имеющий

длину, равную \|	\| \| a \| , и		направление,	совпадающее с
			0 или противоположное – в
направлением вектора	a	в случае	0 или противоположное – в

случае 0 .

Геометрический смысл: при умножении вектора a на число


, вектор a «растягивается» в раз (при 1 ) или «сжимается»

(при 0 1). При 0 вектор a еще и меняет направление.
Свойства:

1.	(a	b )	a b (распределительное свойство ).

2.	( ) a		a	a (распределительное свойство ).

3.( a ) ( ) a (сочетательное свойство ).


Теорема: Если вектор b	коллинеарен		вектору a , то
существует вещественное число
существует вещественное число	, такое, что b	a .

4.3. Линейная зависимость и независимость векторов на плоскости и в пространстве

где 1, 2 , ... n - любые вещественные числа.

Векторы a1 , a2 , …, an называются линейно зависимыми, если найдутся такие отличные от нуля вещественные числа1, 2 , ... n , что линейная комбинация указанных векторов обращается в нуль, т.е.

если равенство нулю их линейной комбинации (1) возможно лишь в случае, когда все числа 1, 2 , ... n равны нулю.

<<< < Предыдущая 1 23 / 93 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]