2232

УДК 510.6 + 519.17 + 519.713 + 512.0

Шаруда В.А. Дискретная математика: Курс лекций. Воронеж: Воронеж. гос. техн. ун-т, 2003. 74 с.

Курс лекций охватывает такие разделы дискретной математики как математическая логики, теория графов, теория конечных автоматов и сетей, теория алгоритмов. Содержание соответствует рабочей программе дисциплины “Дискретная математика”.

Курс лекций предназначен для студентов третьего курса специальности 652000 “Мехатроника и робототехника” дневной формы обучения

Курс лекций подготовлен в электронном виде в текстовом редакторе MS WORD 97, содержатся в файле diskrmat.doc.

Табл.: 20. Ил.: 17. Библиогр.: 4 назв.

Научный редактор д-р физ.-мат. наук В.Д. Репников

Рецензенты: кафедра дифференциальных уравнений Воронежского государственного университета (зав. кафедрой д-р физ.-мат. наук А.И. Шашкин); д-р тех. наук М.Г. Матвеев

Издается по решению редакционно-издательского совета Воронежского государственного технического университета

©Шаруда В.А., 2003

©Воронежский государственный технический университет, 2003

2

ВВЕДЕНИЕ

Предлагаемый курс лекций ставит своей целью знакомство читателя с современными средствами математического моделирования – универсальными моделями и методами формализованного описания систем, процессов, явлений, такими, как теоретикомножественные, графические, логические. При огромном разнообразии таких методов, общим в них является дискретность описания объектов анализа.

Методы дискретной математики широко используются в практике моделирования в управлении, в случае когда появляется необходимость в систематизации сведений о системе, ее структуризации, представлении информации о системе в виде, удобном для ее анализа как «вручную», так и с использованием вычислительной техники. Методы дискретной математики оказываются пригодными для описания и анализа многих проблем, которые не поддаются, ввиду их сложности, описанию традиционными средствами классической математики.

Важность освоения методов дискретной математики заключается еще и в том, что современная информационно-компьютерная техника базируется на дискретных представлениях.

3

1.АЛГЕБРА ЛОГИКИ

1.1.Функции алгебры логики

Будем рассматривать функции f(ui1, ui2, …, uin) (uik≠uim при k≠m), аргументы которых определены на множестве E2={0; 1} и такие, что f(α1, α2, …, αn)εE2, если αiεE2. Эти функции называются

функциями алгебры логики или булевыми функциями.

Чтобы избежать двойной индексации, будем употреблять символы x, y, z, … с индексами или без них, т.е. f(x1, x 2, …, x n). Из определения функции f(x1, …, x n) следует, что для ее задания достаточно указать, какое значение функции соответствует каждому из наборов значений аргументов, т.е. выписать таблицу.

Таблица 1

Нетрудно видеть, что n переменных принимают 2n значений. Для удобства употребляется стандартное расположение наборов: если набор рассматривается как запись числа в двоичной системе исчисления, то расположение наборов соответствует порядку следования чисел 0, 1, …, 2n-1.

Обозначим через Р2 систему всех функций алгебры логики над алфавитом U={ u1, u2, …, um, …}, содержащую также константы

0 и 1.

Если фиксировать n переменных x1, x 2, …, x n, то различные таблицы будут различаться только значениями правого столбца.

Имеет место следующая теорема.

Теорема. Число p2(n) всех функций из P2 , зависящих от n пе-

ременных x1, x 2, …, x n, равно 22n .

Замечание I. Число функций алгебры логики, зависящих от n аргументов конечно, поэтому изучить их в принципе можно перебо-

4

ром, однако p2(1)=4; p2(2)=16; p2(3)=256; p2(4)=65536; …, следова-

тельно при больших n (n≥6) перебор становится практически невозможным даже с использованием вычислительной техники.

Замечание II. С ростом n таблица, задающая функцию, сильно усложняется, так при n=10 в ней уже 1024 стоки, а при n=20 она практически необозрима.

Введенное выше определение функции имеет существенный недостаток: оно не позволяет рассматривать функции от меньшего числа аргументов. Для устранения этого недостатка введем следующее определение.

Определение. Функция f(x1, …, x i-1, x i, x i+1, …, x n) из P2 зависит существенным образом от аргумента xi, если найдутся такие значе-

ния α1, …, α i-1, α i, α i+1, …, α n переменных x1, …, x i-1, x i, x i+1, …, x n,

что f(α1, …, α i-1, 0, α i+1, …, α n)≠ f(α1, …, α i-1, 1, α i+1, …, α n).

В этом случае переменная xi называется существенной. Если переменная xi не является существенной, то она называется несуще-

ственной или фиктивной.

Пусть xi является фиктивной переменной. Возьмем таблицу для функции f(x1, …, x n) и по ней построим новую таблицу, вычер-

кивая все строки вида α1, …, α i-1, 1, α i+1, …, α n и столбец xi. Полученная таблица будет определять некоторую функцию g(x1, …, x i-1,

xi+1, …, x n).

Будем говорить, что g(x1, …, x i-1, x i+1, …, x n) получена из f(x1, …, x n) путем удаления фиктивной переменной xi, а f получена из g

путем введения фиктивной переменной xi.

Определение. Функции f1 и f2 будем называть равными, если функцию f2 можно получить из f1 путем изъятия или добавления фиктивных аргументов.

Существуют 2 типа функций, не имеющих существенных переменных. Это 0 и 1. Ввиду этого целесообразно включить в рассмотрение константы 0 и 1, рассматривая их как функции от пустого множества переменных.

Рассмотрим примеры «элементарных» функций алгебры логи-

ки:

1)f1(x)=0 – константа 0;

2)f2(x)=1 – константа 1;

3)f3(x)=x – тождественная функция;

4)f4(x)= x – отрицание х (читается «не х»);

5

5)f5(x1, x2)= (x1Λx2) – конъюнкция x1 и x2 (читается «х1 и x2»). Вместо знака Λ употребляется знак “·”. Эту операцию называ-

ют логическим умножением.

6)f6(x1, x2)= (x1Vx2) – дизъюнкция x1 и x2 (читается «х1 или x2»). Эту операцию называют логическим сложением.

7)f7(x1, x2)= (x1→x2) – импликация x1 и x2 (читается «из х1 следует x2»). Эту операцию называют логическим следованием.

8)f8(x1, x2)= (x1+x2) – сложение х1 и x2 по mod2.

9)f9(x1, x2)= (x1/x2) – функция Шеффера (понимается как отрицание конъюнкции).

Функции f1- f4 – монарные функции, f5- f9 – бинарные функ-

ции.

Выпишем таблицы значений этих функций.

Заметим, что

(x1Λx2)= (x1·x2)= min(x1, x2); (x1Vx2)= max(x1, x2).

1.2. Формулы. Реализация функций формулами

Как и в элементарной алгебре, исходя из «элементарных» функций, можно строить формулы.

Приведем индуктивное определение формул. Определение.

Пусть В – некоторое подмножество функций из Р2.

6

Базис индукции. Каждая функция f(x1, …, xm) из В называется формулой над В.

Индуктивный переход. Пусть f(x1, …, xm) – функция из В и А1,

…, Аm – выражения, являющиеся либо формулами над В, либо символами переменных из U. Тогда выражение f(А1, …, Аm) называется формулой над В.

Пример 1.1: Пусть В – множество «элементарных» функций. Следующие выражения являются формулами над В:

Пусть M[f1, …, fn] – произвольная формула над В, тогда формулы, используемые для ее построения будем называть подформу-

лами М.

Пусть формула М= M[f1, …, fs] – формула над множеством

В={ f1(x1, …, xn), …, fs(x1, …, xn) }.

Возьмем множество функций

G={g1(x1, …, xn), …, gs(x1, …, xn)},

где gi имеют те же переменные, что и fi (i=1…s).

Определение. Рассмотрим формулу N[g1, …, gs], которая получается из М путем замены (f1, …, fs) на (g1, …, gs). Говорят, что формула N имеет то же строение, что и формула М.

Пример 1.2.

Очевидно, что М и N имеют одинаковое строение. Функцию f, соответствующую формуле М, будем называть суперпозицией функций из В, а процесс получения функции f из В будем называть опе-

рацией суперпозиции.

Пример 1.3. Пусть функции f1(x1, x2, x3), f2(x1, x2, x3), f3(x1, x2, x3)

–функции, соответствующие формулам из примера 1.1.

1)Формула (((x1Λx2)+x1)+x2) строится за три шага: (x1Λx2); ((x1Λx2)+x1); ((x1Λx2)+x1)+x2. Составим таблицу этой функции.

7

тогда, когда, по крайней мере одна из формул (x2→x3) или (x3→x2) обращается в 0, что имеет место при x2=1, x3=0 или при x2=0, x3=1. Таким образом f3(x1, x2, x3) равна 1 на наборах (0, 0, 1) и (0, 1, 0).

8

Таблица 6

Отметим, что f2(x1, x2, x3)= f3(x1, x2, x3).

Введенный таким образом язык формул удобен для записи функций алгебры логики, описывающих различные условия или высказывания.

Рассмотрим два примера. В них используются высказывания вида «имеет место х» или просто «х», а это означает, что при данных условиях х истинно, или равно 1.

Пример 1.4. Сложение n-разрядных чисел.

Исходим из обычного алгоритма сложения столбиком

xn … x2 x1

+

yn … y2 y1

____________

zn+1zn … z2 z1

Требуется выразить значения разрядов суммы через значения разрядов слагаемых. Для решения этого вопроса рассмотрим вспомогательные величины wn, wn-1, …, w1, где wi означает результат переноса из i-го разряда в (i+1) разряд.

Ясно, что

zi=((xi+yi)+wi-1)

(w0=0, xn+1= yn+1=0, i=1, …, n+1).

Величина wi определяется уровнем переноса из i-го разряда в (i+1)-й: «перенос в (i+1)-й разряд имеет место тогда и только тогда, когда по крайней мере две из трех величин xi, yi, wi-1 равны 1». Это высказывание можно cформулировать так: «xi и yi» или «xi и wi-1» или «yi и wi-1» или формально

wi=(((xiΛyi)V(xiΛwi-1))V(yiΛwi-1)) i=1, …, n.

9

Пример 1.5. Задача о вызове свободного лифта.

В подъезде имеется три лифта, обслуживающих n этажей. На каждом этаже имеется устройство, позволяющее при нажатии кнопки вызвать ближайший свободный лифт. Вопрос: как можно на логическом языке записать условие вызова i-го лифта (i=1, 2, 3)?

Рассмотрим задачу для случая вызова лифта на первом этаже. Для описания исходной информации введем 3n аргументов

x1, y1, z1, x2, y2, z2, …, xn, yn, zn,

где xi=1, тогда и только тогда, когда 1-й лифт находится на i-м этаже и свободен. yi и zi – аналогично для второго и третьего лифтов.

Обозначим через

fI(x1, y1, z1, …, xn, yn, zn); fII(x1, …, zn); fIII(x1, …, zn)

функции равные 1 тогда и только тогда, когда вызывается лифт с номерами 1, 2,3 соответственно.

Условие вызова 1 лифта, или функция fI, характеризуется тем, что «1 лифт свободен или нет свободных лифтов, расположенных на более низком этаже, чем 1-й лифт. Это высказывание более подробно можно выразить следующим образом:

«1-й лифт вызывается тогда и только тогда, когда 1-й лифт находится на 1-м этаже и свободен, или на 1-м этаже нет свободных лифтов с номерами 2 и 3, и в этом случае 1-й лифт находится на 2-м этаже и свободен, или на 2-м этаже нет свободных лифтов с номерами 2 и 3 и лифт №1 находится на 3-м этаже и свободен и т.д….».

Запишем это высказывание через высказывания

x1, y1, z1, x2, y2, z2, …, xn, yn, zn:

«1-й лифт вызывается тогда и только тогда, когда x1 или «не y1», «не z1», и в том случае x2 или «не y2 и не z2» и в этом случае …».

Таким образом

fI(x1, y1, z1, …, xn, yn, zn)=(x1V(( y1 Λ z1 ) Λ(x2V(( y2 Λ z2 ) Λ(…))..).

Аналогично

fII(x1, …, zn)=(y1V(( x1 Λ z1 ) Λ(y2V(( x2 Λ z2 ) Λ(…))..).

fIII(x1, …, zn)=(z1V(( x1 Λ y1 ) Λ(z2V(( x2 Λ y2 ) Λ(…))..).

10