2117

1. ОБРАБОТКА ДАННЫХ С ПОМОЩЬЮ МЕТОДОВ ОПИСАТЕЛЬНОЙ СТАТИСТИКИ

1.1. Основные понятия и задачи математической статистики

При исследовании различных технических и экономических процессов часто приходится сталкиваться с событиями, имеющими случайную природу. Как известно, для описания случайных величин с заданными вероятностными характеристиками (например, законом распределения, математическим ожиданием и дисперсией) эффективно используется аппарат теории вероятности, однако, если статистические характеристики исследуемого объекта неизвестны, а есть только результаты наблюдений над ним, то для их обработки используются методы математической статистики.

Математическая статистика – наука, изучающая методы исследования закономерностей в массовых случайных явлениях и процессах по данным, полученным из конечного числа наблюдений за ними.

Основными задачами математической статистики являются:

–оценка неизвестных характеристик случайной

величины;

–проверка статистических гипотез, т.е. предположений

ораспределении вероятностей наблюдаемой случайной величины;

–установление формы и степени связи между случайными величинами.

Приведем основные определения, необходимые для дальнейшего изучения методов обработки данных наблюдений за исследуемым объектом.

В зависимости от характера принимаемых значений случайная величина может быть дискретной, т.е. принимать

4

только значения из определенного набора, или непрерывной, т.е. принимать любые значения.

Генеральная совокупность – все множество возможных значений исследуемой случайной величины X.

Случайная выборка из генеральной совокупности X

– совокупность случайных величин x1, x2 ,..., xn , полученных

в результате n наблюдений за случайной величиной X, при этом число n – объем случайной выборки.

Целью изучения любой выборки является получение информации о генеральной совокупности, поэтому выборка должна быть репрезентативной (представительной), т.е.

правильно отражать пропорции генеральной совокупности. Это достигается с помощью выполнения следующих требований:

–каждый элемент xi , i 1,...,n , выбирается случайно и независимо от других;

–все элементы xi имеют одинаковую вероятность

попасть в случайную выборку;

– объем выборки n должен быть настолько велик, чтобы позволять решать задачу с требуемой точностью.

Характеристики случайных величин, полученные по генеральной совокупности, называются теоретическими (генеральными); характеристики, полученные по выборке из генеральной совокупности – эмпирическими (выборочными)

Статистические показатели, характеризующие случайную выборку, могут быть абсолютными и относительными.

Абсолютные показатели представляют собой суммарные значения тех или иных признаков, вычисленных по выборке (или генеральной совокупности) в целом или по ее части.

Относительные показатели определяются как отношение одного абсолютного показателя к другому.

Исследование случайных величин с помощью методов математической статистики проводится в три этапа:

5

–статистическое наблюдение – включает в себя сбор первичной статистической информации;

–обработка первичной информации;

–анализ первичной информации и интерпретация полученных результатов.

1.2. Методы предварительной обработки результатов наблюдений

Перед тем, как перейти к детальному анализу полученных в результате наблюдений данных, их приводят к одному из следующих видов:

1. Вариационный ряд – элементы выборки располагаются в порядке возрастания (неубывания):

x (1) , x(2) ,..., x(n) ,

где x(1) x (2) ... x (n) , .

Переход от случайной выборки к ее вариационному ряду не приводит к потере информации, поскольку функции распределения остается такой же, однако происходит искажение исходных данных, поскольку элементы упорядоченной выборки уже не являются взаимно независимыми.

Данные, приведенные к вариационному ряду,

называются негруппированными.

2. Статистический ряд – преобразование выборки с повторяющимися элементами в таблицу. Данные, представленные в виде статистического ряда, являются

группированными.

6

Врезультате группировки исходная выборка

Числа ni , показывающие, сколько раз элемент z(i) встречается в выборке, называются частотами значения z(i) , а

относительной накопленной частотой.

Статистический ряд, как правило, применяется для группировки небольших выборок с дискретными элементами. Для выборок большого объема из непрерывных генеральных совокупностей используется интервальный статистический ряд. В этом случае область задания выборки X разбивается на m интервалов, а числа ni указывают количество элементов

выборки, попавших в i–й интервал.

Число интервалов m может быть задано природой исследуемого явления, условиями проведения наблюдений или определяться по формуле Старджеса:

m log 2 n 1.

При подсчете частот ni для однозначности считают, что

каждый интервал включает свою левую границу и не включает правую, за исключением последнего интервала, включающего и левую, и правую границы.

Пример. При тестировании СУБД проводились измерения времени выполнения запросов к базе данных. Получилась следующая выборка объемом n 20 элементов:

7

8

используются следующие виды графиков:

1. Полигон частот представляет собой ломаную линию, вершинами которой являются точки с координатами (xi , i ) , и

применяется, в основном, для наглядного изображения выборки из дискретной генеральной совокупности.

Пример. Построим графики для выборки из табл. 3 (рис.

1–3).

Рис. 1. Полигон частот для случайной выборки

9