2117

получить математическое описание такой зависимости. Для этого используются методы регрессионного анализа.

Регрессионный анализ – это метод статистического анализа данных, позволяющий выразить в аналитической форме зависимость среднего значения результативного признака от значений одной или нескольких факторных переменных.

Задачами регрессионного анализа являются:

–подбор класса функций, наилучшим образом аппроксимирующих искомую зависимость;

–поиск значений неизвестных параметров, входящих в уравнение искомой зависимости;

–установление адекватности полученного уравнения;

–выявление наиболее информативных факторных переменных.

Пусть в процессе предварительного анализа экспериментальных данных выделен результативный признак y

инекоторая совокупность объясняющих его факторных

признаков x x1, x2 ,..., xk , k – количество выделенных

признаков. Тогда искомая математическая модель, выражающая зависимость среднего значения результативной переменной y от влияющих на нее переменных x1, x2,...,xk , записывается следующим образом:

y f (x) .

Данное уравнение называется уравнением регрессии (или просто регрессией). В этом уравнении значения x1, x2,...,xk являются детерминированными (определенными,

не случайными), а в качестве y выступает среднее значение результативного случайного признака с нормальным распределением.

По количеству факторных переменных регрессия может быть парной (однофакторной) и множественной (многофакторной).

31

Парная регрессия характеризует связь между двумя признаками – факторным и результативным. Аналитическая зависимость между данными признаками может быть:

– линейная – выражается линейной функцией (уравнением прямой):

y a0 a1x ;

– нелинейная – выражается уравнениями вида:

Вуравнении регрессии параметр a0 показывает

усредненное влияние на результативный признак неучтенных в математической модели факторов, а параметры a1,a2,...

являются множителями, определяющими, насколько изменяется в среднем значение результативного признака при увеличении факторных на единицу измерения.

Выбор вида уравнения определяют путем визуального сравнения корреляционного поля и графиков уравнений.

Поскольку на практике на распределение результативной переменной y влияют как значения факторных переменных x, так и различные неучтенные факторы, в т.ч. помехи при измерении результатов наблюдений, то любая теоретическая кривая будет описывать ее только приблизительно. Для восстановления неизвестной функции регрессии по имеющимся экспериментальным данным коэффициенты уравнения регрессии a0,a1,... выбираются

таким образом, чтобы теоретическая кривая наилучшим образом аппроксимировала наблюдаемые значения переменной y.

Для определения неизвестных коэффициентов a0,a1,...

могут использоваться несколько методов, наиболее распространенным из которых является метод наименьших квадратов.

32

Суть метода заключается в нахождении таких параметров a0,a1,..., при которых сумма квадратов отклонений

фактических значений результативного признака от теоретических, полученных по уравнению регрессии, стремится к минимуму:

приравнять их нулю и решить полученную систему уравнений:

33

dS 0, da1

...

Пример. Составить уравнение регрессии по данным табл. 5.

Как видно из рис. 7, между данными существует линейная зависимость, следовательно, уравнение регрессии имеет вид

y a0 a1x .

Тогда целевая функция для метода наименьших квадратов запишется в виде

Найдем частные производные функции по неизвестным параметрам a0 и a1:

Преобразуем систему уравнений следующим образом:

Подставим числа, получим уравнения

5 a 0 275 a1 104,

275 a 0 15375 a1 5870.

34

y 12.2 0.6 x .

Множественная регрессия изучает связь между тремя и более признаками.

Задачей множественной регрессии является построение уравнения регрессии, связывающего среднее значение

Построение модели множественной регрессии включает два основных этапа:

–выбор вида уравнения регрессии;

–определение размерности модели связи – отбор наиболее значимых факторных признаков.

Для описания зависимостей между исследуемыми признаками чаще всего используются следующие модели:

–линейная:

В случае множественной регрессии, как правило, строят несколько моделей, затем каждая из них проверяется с помощью статистических критериев (например, с помощью t–

35

критерия Стьюдента или критерия Фишера) и выбирается наилучшая.

Одной из основных проблем построения модели множественной регрессии является определение оптимального числа факторных признаков, используемых в уравнении регрессии. С одной стороны, чем больше факторных признаков включено в модель, тем лучше оно аппроксимирует имеющиеся результаты наблюдений. С другой стороны, слишком большое число учитываемых признаков чрезмерно усложняет модель, что затрудняет ее построение и дальнейшее практическое использование.

Сокращение размерности модели производится за счет исключения второстепенных, статистически незначимых факторов. Это делает модель менее сложной, однако есть опасность, что при исключении большого количества факторов модель будет недостаточно полно описывать исследуемое явление.

Для отбора наиболее значимых факторных признаков могут использоваться следующие методы:

–метод экспертных оценок на основе расчета и анализа показателей связи исследуемых переменных (например, коэффициентов корреляции);

–метод шаговой регрессии заключается в последовательном включении в модель факторных признаков и анализе их значимости.

При исследовании сложных объектов, на которые влияют большое число взаимосвязанных факторов, может возникнуть такое явление, как мультиколлинеарность – тесная зависимость между факторными признаками модели. В этом случае осложняется процесс определения наиболее существенных факторных признаков.

На возникновение мультиколлинеарности влияют следующие причины:

–факторные признаки характеризуют одну и ту же сторону исследуемого процесса или явления;

36

–в качестве факторных признаков используются показатели, суммарное значение которых представляет собой постоянную величину;

–факторные признаки являются составляющими элементами друг друга;

–факторные признаки по экономическому смыслу дублируют друг друга.

Устранение мультиколлинеарности может выполняться путем исключения из модели линейно–связанных факторных признаков или их преобразования в новые укрупненные факторы.

Последним этапом регрессионного анализа является интерпретация его результатов.

Оценка значимости факторных признаков, входящих в модель, проводится по соответствующим коэффициентам регрессии. Чем больше величина коэффициента регрессии, тем значительнее влияние данного признака на результативный. Направление влияния (прямое или обратное) определяется по знаку коэффициента.

Для более подробной интерпретации уравнения регрессии определяются следующие параметры:

1. Коэффициенты эластичности показывают, на сколько процентов изменится значение результативного признака при изменении факторного признака на 1%, определяются по формуле:

среднее значение результативного признака, ai – коэффициент

регрессии при i–м факторном признаке.

2. Множественный коэффициент детерминации

характеризует, какая доля вариации результативного признака обусловлена изменением факторных признаков, входящих в многофакторную модель, равен квадрату множественного

коэффициента корреляции r 2 .

37

Пусть исследуется влияние фактора А на вариацию признака Y, при этом переменная А принимает k значений, называемых уровнями фактора. На каждом уровне получено по m значений признака Y. Тогда вся совокупность из n k m наблюдений может быть записана в виде табл. 6.

Таблица 6

где y – общее среднее значение результативного признака, y i

– средние значения факторного признака на каждом из уровней.

Для интерпретации результатов можно использовать

коэффициент детерминации, отражающий долю межгрупповой дисперсии в общей:

2 a2 .

Чем ближе значение коэффициента детерминации к 1, тем больше степень влияния исследуемого фактора на

39

влияния неучтенных в модели случайных факторов.

Пример. Проверяется надежность телефонных аппаратов, произведенных 3 разными фирмами. Для этого измеряется время работы до появления первой неисправности. Необходимо проверить значимость влияния производителя на надежность телефона. Исходные данные приведены в табл. 7.

Определим коэффициент детерминации:

0.09 0.14 .

0.61

По данному коэффициенту можно сделать вывод, что надежность телефона не зависит от производителя.

40