1859
.pdfВозвращаясь после интегрирования к исходной функции y = ux , получим интеграл уравнения.
Однородное дифференциальное уравнение часто задается в дифференциальной форме: P(x; y)dx +Q(x; y)dy = 0 . В этом
случае функции P(x; y) и Q(x; y) должны быть однородными функциями одинакового порядка. Дифференциальное уравне-
ние переписывается в виде dydx = −QP((xx;; yy)), где правая часть яв-
ляется однородной функцией нулевого порядка однородности.
Пример |
5.4.1. |
Найти |
общий интеграл |
уравнения |
|
(x2 − y2 )dx + 2xydy = 0 . |
|
|
|
|
|
Решение: Данное уравнение является однородным, так |
|||||
как. функции |
P(x; y)= x2 − y2 |
и Q(x; y)= 2xy |
- |
однородные |
|
функции второго порядка. |
dy = xdu +udx . |
|
|
||
Положим |
y = ux . |
Тогда |
Подставляем в |
исходное уравнение:
(x2 −u2 x2 )dx + 2xux(xdu +udx)= 0 , x2 (1−u2 + 2u2 )dx + 2ux3du = 0 ,
(1+u2 )dx + 2uxdu = 0 .
Разделяем переменные dx |
+ |
|
|
2u |
du = 0 и интегрируем |
|||||||||||||||||||||
1+u2 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
+ ln(1+u2 )= c, ln |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ln |
|
x |
|
|
x |
|
(1+u2 )= c, |
|
x |
|
(1+u2 )= ec . |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Обозначим c |
= c , c |
|
> |
0. Тогда |
|
x |
|
(1+u2 )= c . |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
||||||||||||
Заменяя u на |
y |
, |
получаем: |
x2 + y2 |
= c x - общий интеграл |
|||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
исходного уравнения.
90
5.5. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
Линейное дифференциальное уравнение первого порядка
называется линейное относительно неизвестной функции и ее производной уравнение, имеющее вид
dydx + P(x) y = Q(x) ,
где P(x) и Q(x) - заданные непрерывные функции или посто-
янные.
Рассмотрим метод Бернулли интегрирования данного уравнения. Решение линейного дифференциального уравнения ищется в виде произведения двух неизвестных функций
y = u(x)v(x) от x . Тогда y′ = u′v +uv′. Подставляя выражение y и y′ в уравнение, получаем:
u′v +uv′+ P(x)uv = Q(x) или u′v +u(v′+ P(x)v)= Q(x).
Подберем функцию v = v(x) так, чтобы выражение в скобках было равно нулю, т.е. решим дифференциальное уравнение v′+ P(x)v = 0 . Разделяем переменные интегрирования
dvv = −P(x)dx , интегрируя, получаем: ln v = −∫P(x)dx + ln c .
Из множества функций v(x), обращающих выражение v′+ P(x)v в ноль, можно выбрать самую простую функцию,
положив c =1, поэтому v = e−∫P(x)dx .
Подставляя найденную функцию v в исходное уравнение, получаем u′e−∫P(x)dx = Q(x).
Решаем полученное уравнение с разделяющимися переменными:
dudx e−∫P(x)dx = Q(x), du = Q(x)e+∫P(x)dx dx , u = ∫Q(x)e∫P(x)dx dx + c .
91
|
Возвращаясь к |
|
переменной |
|
у, |
получаем решение |
||||||||||||||||||||||||
|
|
∫Q(x)e |
∫P(x)dx |
|
|
|
|
−∫P(x)dx |
|
исходного дифференци- |
||||||||||||||||||||
y = uv = |
|
|
|
|
dx + c e |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ального уравнения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy − |
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
Пример 5.5.1. Решить уравнение |
|
|
y = (x +1)3. |
||||||||||||||||||||||||||
|
x +1 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
||||||
|
Решение: Пусть y = uv , а y′ = uv′+ vu′. Тогда |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2uv |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
uv′+ vu′− |
|
|
|
= (x +1) |
или u v′− |
|
|
|
|
v |
+ vu′ = (x +1)3. |
|||||||||||||||||||
|
x +1 |
x +1 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||
|
Для определения v решаем уравнение v′− |
|
|
v = 0 , т.е. |
||||||||||||||||||||||||||
|
x +1 |
|||||||||||||||||||||||||||||
dv = |
2dx |
, откуда ln |
|
v |
|
= 2 ln |
|
x +1 |
|
|
или |
v = (x +1)2 . Подставляем |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||
v |
x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
найденное выражение v в исходное уравнение и получаем
уравнение |
|
(x +1)2 u′ = (x +1)3 , |
или |
u′ = (x +1) , |
откуда |
|||
u = |
(x +1) |
2 |
+ C . Следовательно, |
общий интеграл |
заданного |
|||
2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
уравнения будет иметь вид y = |
(x +1)4 |
|
+ C(x +1)2 . |
|
||||
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
Пример 5.5.2. Найти частное решение дифференциально- |
го уравнения y′− ytgx = cos2 x , удовлетворяющее начальному условию y(0)=1.
Решение: Положим y=uv, тогда y′ = uv′+ vu′ и u(v′−vtgx)+ vu′ = cos2 x .
Определим v так, чтобы выражение в скобках обратилось
|
|
′ |
dv |
sin x |
|
в нуль. |
Тогда v |
= vtgx , v |
= cos x dx . Интегрируя уравнение, |
||
|
|||||
найдем |
ln v = ln cos x или v = cos x . |
92
Функция u определяется из уравнения u′cos x = cos2 x ,
du |
= cos x , |
u = ∫cos x dx = sin x + c . |
Отсюда |
dx |
|
|
|
y = uv = cos x(sin x + c). |
|
Используя начальное условие y(0)=1, найдем
1 = cos0 (sin 0 + c), откуда c =1. Искомое частное решение будет иметь вид y = cos x(sin x +1) .
5.6. Уравнения Бернулли
Уравнение вида y′+ p(x)y = g(x)yn , n ≠1, называется уравнением Бернулли. Оно легко сводится к линейному дифференциальному уравнению. Разделив уравнение на yn , получим: y−n y'+p(x)y−n+1 = g(x). Обозначим y−n+1 = z . Тогда
z′ = (1− n)y−n y'. Отсюда находим y−n y′ = |
z′ |
. |
Уравнение |
||
1− n |
|||||
Бернулли принимает вид линейного относительно z |
уравнения |
||||
1 |
z′+ p(x)z = g(x). |
|
|||
|
1− n |
|
|||
5.7. Дифференциальные уравнения высших порядков. |
|||||
Основные понятия |
|
Дифференциальные уравнения порядка выше первого на-
зываются дифференциальными уравнениями высших порядков.
Дифференциальные уравнения второго порядка в общем случае
записываются в виде |
|
)= 0 |
′ |
′′ |
|
F(x, y, y , y |
|
или в виде, разрешенном относительностаршей производной, y′′ = f (x, y, y′).
93
Для уравнений, разрешенных относительно старшей производной, имеет место теорема о существовании и единственности решения, аналогичная соответствующей теореме о решении уравнения первого порядка.
Общим решением дифференциального уравнения второго
порядка называется функция |
|
|
y = ϕ(x,C1,C2 ) , зависящая от |
||
произвольных постоянных C1,C2 , удовлетворяющая уравне- |
|||||
нию при любых значениях постоянных C1,C2 , причем при за- |
|||||
данных начальных условиях |
y |
|
x=x0 = y0 , y′ |
|
x=x0 = y0′ постоян- |
|
|
||||
ные C1,C2 можно подобрать так, что функция y = ϕ(x,C1,C2 ) |
будет удовлетворять этим условиям. Всякая функция, получающаяся из общего решения при конкретных значениях по-
стоянных C10 ,C2 0 ,удовлетворяющих начальным условиям
y x=x0 = y0 , y′ x=x0 = y0′ называется частным решением.
Если нельзя получить явную зависимость в общем решении, то ограничиваются ответом в виде общего интеграла
дифференциального равнения второго порядка Ф(x,C1,C2 ) = 0 .
Как и в случае уравнения первого порядка, задача нахождения решения дифференциального уравнения, удовлетво-
ряющего заданным начальным условиям y x=x0 = y0 ,
y′ x=x0 = y0′ , называется задачей Коши. Решение задачи Коши единственно.
5.8. Некоторые типы дифференциальных уравнений второго порядка, приводящиеся к уравнениям первого порядка
Одним из методов интегрирования дифференциальных уравнений высших порядков является метод понижения по-
94
рядка. Рассмотрим три типа уравнений, допускающих понижение порядка.
1. Пусть дано уравнение y′′ = f (x). Порядок понижается посредством введения новой функции y′ = p(x). Тогда, используя y′′ = p′(x), получаем дифференциальное уравнение первого порядка p′ = f (x), решив которое, получим общее решение уравнения первого порядка p = p(x,C1 ). Решая уравнение y′ = p(x,C1 ), получим общеерешение заданного уравнения
y = ∫p(x,C1 )dx +C2 .
Пример 5.8.1. Найти общее решение дифференциального уравнения y′′ = cos x .
Решение: Полагая y′ = p(x), преобразуем уравнение к виду p′ = cos x . Интегрируя, имеем dp = ∫cos xdx или
p = sin x + C1 . Возвращаясь к переменной у, приходим к уравнению y′ = sin x +C1 . Следовательно,
y= ∫(sin x +C1 )dx = −cos x +C1x +C2 .
2.Пусть дано уравнение y′′ = f (x, y′). В уравнении от-
сутствует явным образом искомая функция y . Порядок по-
нижается посредством введения новой функции y′ = q(x). Тогда, используя y′′ = q′(x), получаем дифференциальное уравнение
первого порядка q′ = f (x,q). Пусть q =ϕ(x;C1 ) - общее решение дифференциального уравнения первого порядка. Заменяя
функцию q на у', получаем второе дифференциальное уравнение первого порядка: y′ = ϕ(x;C1 ). Интегрируя последнее уравнение, получаем общий интеграл исходного уравнения y = ∫ϕ(x,C1 )dx + C2 .
Пример 5.8.2. Найти общее решение дифференциального
95
уравнения y′′− |
y′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
= 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
Полагаем y′ = q(x), |
y′′ = q′. |
|||||||||||||||||||||
Решение: |
Тогда q′− x = 0 . |
||||||||||||||||||||||||||
Разделяя переменные, имеем: dq |
= q |
|
, dq |
= dx . Интегрируя, |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
x |
|
q |
|
x |
|||||||
получим ln |
|
q |
|
= ln |
|
x |
|
+ ln |
|
C1 |
|
, |
ln |
|
q |
|
= ln |
|
C1 x |
|
, |
q = C1 x . Возвраща- |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
ясь к исходной переменной, |
получим y′ = C1x . Общее решение |
||||||||||||||||||||||||||
дифференциального уравнения равно y = c |
|
x2 |
+ c . |
||||||||||||||||||||||||
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
Пример 5.8.3. Найти общее решение дифференциального уравнения xy′′ = y′ln(y′/ x) .
Решение: Полагая y′ = q(x), преобразуем исходное урав-
нение к однородному дифференциальному уравнению первого порядка xq′ = q ln(q / x) или q′ = (q / x)ln(q / x) .
Полагая |
q = ux , |
q′ = u + xu′, |
получим уравнение |
|||||
′ |
′ |
= u ln u |
или |
du |
|
Разделяя переменные и |
||
u x +u |
|
dx x = u(lnu −1) . |
||||||
интегрируя |
|
du |
|
= dx , получим |
ln(lnu −1) = ln x + ln C , |
|||
|
|
|
||||||
|
|
|
u(lnu −1) |
x |
1 |
|||
|
|
|
|
ln u −1 = xC |
или u = e1+C1x . Возвращаясь к переменной y , при- |
|||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ходим к уравнению y |
′ |
= xe |
1+C1x |
, |
которое дает y = ∫ xe |
1+C1x |
dx . |
|||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Интегрирование по частям дает |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
y = ∫xe |
1+C x |
|
1 |
|
1+C x |
|
1 |
|
|
1+C x |
|
|
|
|||||
1 |
dx = |
|
xe |
|
|
1 |
− |
|
|
e |
1 |
|
+C2 . |
|
|
|||
C1 |
|
|
C 2 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
f (x, y′), не содержащее яв- |
||||
3. Пусть дано уравнение y′′ = |
но независимую переменную x . Для понижения порядка урав-
нения введем y′ = p(y). Дифференцируем это равенство по x , учитывая, что p = p(y(x)):
96
y′′ = ddx(y′) = dpdx(y) = dpdy(y) dydx = dpdy(y) p , т. e. y′′ = p dpdy .
Теперь уравнение запишется в виде p dpdy = f (y, p), после
интегрирования которого получаем общее решение уравнения первого порядка p = ϕ(y;C1 ). Заменяя функцию р(у) на у', получаем второе дифференциальное уравнение первого порядка y′ = ϕ(y;C1 ). Интегрируя последнее, находим общий интеграл
дифференциального |
|
уравнения |
второго |
порядка |
||
∫ |
dy |
= x +C2 . |
|
|
|
|
ϕ(y,C ) |
|
|
|
|
||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
Пример 5.8.4. |
Найти общее |
решение |
уравнения |
||
yy′′−(y′)2 = 0 . |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
dy |
dp |
p(y) полу- |
|
Решение: Положим |
dx = p(y), y′′ = |
dy p. Для |
чим уравнение первого порядка с разделяющимися переменными yp dpdy − p2 = 0 , общее решение которого p = C1 y дает второе дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными dydx = C1 y . Интегрирование послед-
него дифференциального уравнения дает ln y = C1x + ln C2 или y = C2eC1x .
5.9. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка
Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка: y′′+ a1 (x)y′+ a2 (x)y = 0 , где a1 (x) и a2 (x) являются непрерывными функциями x в рассматри-
97
ваемой области. Укажем некоторые свойства решений этого уравнения.
Теорема 1. Если функции y1 = y1 (x) и y2 = y2 (x) являются частными решениями уравнения y′′+ a1 (x)y′+ a2 (x)y = 0 ,
то решением этого уравнения является также функция y = c1 y1(x)+ c2 y2 (x), где c1 и c2 - произвольные постоянные.
Для нахождения общего решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка рассмотрим понятие линейной зависимости и линейной независимости функций.
Функции |
y1 = y1 (x) и y2 |
= y2 (x) называются линейно |
|
независимыми |
на |
интервале |
(a,b), если равенство |
α1 y1 +α2 y2 = 0 , |
где |
α1,α2 R , выполняется только в случае, |
когда α1 =α2 = 0 .
Если же существует пара неравных нулю чисел α1 или α2 , при которых выполняется равенство α1 y1 +α2 y2 = 0 , то функции y1 и y2 называются линейно зависимыми.
Система двух линейно зависимых функций характеризуется свойством линейной пропорциональности функции y1 и y2 ,
т. е. для всех x (a;b) выполняется равенство y1 = λy2 , где λ - некоторая постоянная величина. Например, функции y1 = x и y2 = x2 линейно независимы, а функции y3 = 2x и y4 = 5x
линейно зависимы.
Система функции анализируется на предмет линейной зависимости посредством определителя Вронского или
вронскиана.
Для |
двух дифференцируемых функций y1 = y1(x) |
и |
||||
y2 = y2 (x) |
определитель Вронского имеет вид W (x)= |
|
y1 |
y2 |
|
. |
|
|
|||||
|
|
|
y1′ y2′ |
|
|
|
|
98 |
|
|
|
|
|
Существует несколько теорем, касающихся определителя Вронского.
Теорема 2. Если дифференцируемые функции y1(x) и y2 (x) линейно зависимы на (а;b), то определитель Вронского на этом интервале тождественно равен нулю.
Доказательство. Так как функции |
y1 |
и y2 |
линейно зави- |
|||||||||
симы, то y1 = λy2 для любого x (a;b). |
Тогда определитель |
|||||||||||
Вронского равен нулю: W (x)= |
|
λy2 |
y2 |
|
|
= λ |
|
y2 |
y2 |
|
= 0. |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
λy2′ y2′ |
|
|
|
|
|
y2′ |
y2′ |
|
|
|
Теорема 3. Если функции |
|
y1(x) |
и |
|
|
y2 (x) - линейно неза- |
висимые решения уравнения y′′+ a1 (x)y′+ a2 (x)y = 0 на (a,b), то определитель Вронского на этом интервале не обращается в
нуль ни в одной точке (без доказательства).
Из теорем следует, что вронскиан не равен нулю ни в о д- ной точке интервала (a,b) тогда и только тогда, когда частные
решения |
|
дифференциального |
уравнения |
|
y′′+ a1 (x)y′+ a2 |
(x)y = 0 линейно независимы. |
|||
Фундаментальной системой решений линейного одно- |
||||
родного |
|
дифференциального |
уравнения |
|
y′′+ a1 (x)y′+ a2 |
(x)y = 0 называется совокупность любых двух |
|||
линейно независимых |
на интервале (a,b) частных решений |
|||
y1 (x) и y2 (x). |
В этом случае любое частное решение может |
|||
быть получено в виде |
y =α1 y1 (x)+α2 y2 (x). Например, легко |
|||
можно проверить, |
что |
функции y = ex |
и y = e−x образуют |
|
|
|
|
1 |
1 |
фундаментальную |
систему решений |
дифференциального |
||
уравнения y′′− y = 0 , |
потому что линейно независимы и |
каждая из них обращает дифференциальное уравнение в тождество.
Теорема 4.(Теорема о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения второго по-
рядка). Если два частных решения y1 = y1(x) и y2 = y2 (x) ли-
99