1800

Если последовательность xn является сходящейся при n→∞, то данный алгоритм позволяет определить искомый корень.

y

x

Рис. 5.5. Иллюстрация метода касательных

В качестве примера приведём программу, которая находит корни уравнения x3 5x2 2x 5 методом дихотомии.

Program UrawNenie; {Точность задаём константой} const Eps=1e-6;

Var a,b,d :real;{Границы и середина отрезка} Res :real; {Результат}

{Функция, описывающая уравнение} Function f(x:real):real;

Begin f:=x*x*x-5*sqr(x)+2*x+5;

110

end;

{Начало программы} Begin

{Границы отрезка локализации коня вводим с клавиатуры}

Write('Введите границы отрезка:'); ReadLn(a,b);

if f(a)*f(b)>0

then WriteLn('Отрезок задан неверно!!!')

else {Находим корень} begin

{Выполнять пока длина отрезка больше точности}

repeat

d:=(a+b)/2; {Находим середину отрезка} if f(a)*f(d)<0 then b:=x

else a:=x; until (b-a<2*Eps);

{результат – середина отрезка} Res:=(b+a)/2;

WriteLn('Решение уравнения: ',Res); end;

End.

Если уравнение настолько сложное, то найти отрезок локализации не удаётся, то можно предусмотреть в программе поиск отрезка, например, так:

a:=-6; b:=a+0.1; While f(a)*f(b)>0 do

begin a:=b; b:=b+0.1; end;

111

Практические задания

Составить программу, которая одним из рассмотренных методов находит все корни уравнения

112

Формулы для приближенного вычисления интеграла называют квадратурными формулами. В общем виде квадратурная формула может быть записана как

Здесь fk f xk . Методы численного интегрирования отли-

чаются друг от друга способами задания коэффициентов Ak и точек отсчетов tk .

Перечислим некоторые формулы приближенного интегрирования, основанные на (6.1).

1. а) Формула левых прямоугольников

Здесь h b a N – шаг интегрирования.

2. Формула трапеций

3. Формула Симпсона (формула парабол).

114

Практические задания

Вычислить численно одним из разобранных методов интегралы от следующих функций на интервале, в котором функции отличны от нуля. Оценить погрешность вычислений. Сравнить полученный результат с найденным аналитически.

115

116

Решение системы уравнений (7.2) позволяет выразить коэффициенты ak через экспериментальные данные xk, fk , под-

ставив которые в формулу (7.1), можно получить выражение для интерполяционного многочлена. Система уравнений (7.2) имеет единственное решение, которое можно записать различным образом. Широко распространены интерполяционные многочлены в форме Лагранжа и Ньютона.

Интерполяционная формула Лагранжа позволяет пред-

ставить многочлен в виде

j 0,j k

Интерполирование по формуле Лагранжа довольно просто реализуется в виде подпрограммы, но имеет существенный недостаток: при добавлении новых узлов интерполяционный многочлен надо строить заново.

Преодолеть указанный недостаток позволяет использование интерполяционной формулы Ньютона. Она выражает

118

многочлен Pn(x) через значение f(x) в одном из узлов и так называемые разделенные разности.

Для построения разделенных разностей будем считать, что среди точек xk нет совпадающих. Разделенными разно-

стями первого порядка называются величины

На основе разделенных разностей первого порядка, составленным по соседним узлам f(x0,x1), f(x1,x2),..., f(xn-1,xn), можно построить разделенные разности второго порядка

Аналогично определяются разделенных разностей более высокого (k+1)-ого порядка по уже известным разностям порядка k:

f(xj,xj 1,...,xj k,xj k 1)

f(xj 1,xj 2,...,xj k 1) f(xj,xj 1,...,xj k)

xj k 1 xj

Использование разделенных разностей позволяет записать интерполяционный многочлен Ньютона для интерполирования вперед (начальной точкой выбрана x0)

Pn(x) f(x0)+ f(x0,x1)(x x0)+ f (x0,x1,x2)(x x0)(x x1)+...+(7.4) + f (x0,x1,...,xn 1,xn)(x x0)(x x1)...(x xn 1)

119