1414

Предположим, что экспоненциальную функцию можно заме­ нить выражением

При достаточно больших дс значение у/х->0, поскольку y ^ h , а, начиная с некоторого значения х, отношение h/х -С 1. Следова­ тельно, с достаточно хорошим приближением можно преобразо­

При достаточно большом значении дс уравнение (V. 40) прини­ мает вид

Следовательно, предположение о возможности применения для описания рассмотренного неизотермического течения результатов, полученных при анализе изотермического течения, при указанном выше виде функции Т ( х ) подтвердилось, и полученное решение удовлетворяет уравнениям равновесия.

Покажем теперь, что сделанное выше допущение о неизменности профиля скоростей справедливо, несмотря на наличие продольного градиента темпера­ туры. Для этого приравняем значения напряжений сдвига, определяемые урав­ нениями (V. 37) и (V. 306), с учетом выражения (V. 34):

1 - л

Комплекс ^ 12) 2л 2еХу не зависит от х, поскольку левая часть урав­

нения зависит только от у. Покажем, что это возможно только при условии dvx/dx = 0 и vv = 0. Допустим, что vy Ф 0. Из уравнения (V. 41а) следует:

ственно равно нулю. С другой стороны, из уравнения неразрывности, которое в данном случае принимает вид

Из условия прилипания vy = О при у = О следует, что f\(x) = 0. С учетом равенства (V. 46) сразу же приходим к выводу о том, что vy = 0. Следователь­ но, vx = fz(y)- При этом очевидно, что если в качестве функции f2(y) восполь­ зоваться результатом, полученным при анализе уравнения одномерного изотер­ мического течения, то граничные условия будут удовлетворены.

Рассмотрим второй случай. Из выражения (V. 31) следует, что п—1

су

Последнее равенство означает, что каждую из функций, входящих в соотно­ шение (V. 47), можно представить в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от х, а другая — только от у. Следовательно, имеем си­ стему уравнений

Левая часть уравнения (V. 506) зависит только от у, а правая — от х и у. Единственное условие, при котором это возможно, состоит в том, что обе части равны некоторой постоянной величине, например с2.

Полагая, что фг(х) = ЧЧ*), получим:

d2XP/dx2= с2

Для определения вида искомой функции необходимо проинтегрировать эти два обыкновенных дифференциальных уравнения. В результате имеем:

и в этом случае для того, чтобы удовлетворить граничным условиям, выра­ жение, описывающее vx, должно удовлетворять ранее указанному условию dvx/dx == 0.

Таким образом, в обоих рассмотренных случаях приходим к одному и тому же результату. Разумеется, можно предполо­ жить, что существуют другие решения и приведенное нами дока­ зательство нельзя считать исчерпывающим. Однако оно, по-види­ мому, охватывает довольно большую часть возможных вариантов.

Основной вывод, который вытекает из проведенного рассмот­ рения, сводится к утверждению, что в неизотермическом прямоли­ нейно-параллельном течении безразмерный градиент давлений В постоянен по всей длине потока. Влияние температуры, сказы­ вающееся в изменении коэффициента консистенции ^проявляется в том, что фактическое значение градиента давлений по мере роста температуры уменьшается. При этом профиль скоростей остается неизменным.

V.3. ПРЯМОЛИНЕЙНО-ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ТЕЧЕНИЕ ПСЕВДОПЛАСТИЧНОЙ ЖИДКОСТИ ПРИ ДИССИПАЦИИ МЕХАНИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ

И НАЛИЧИИ ТЕПЛООБМЕНА С ОКРУЖАЮЩЕЙ СРЕДОЙ

В настоящем разделе рассмотрено гипотетическое течение псевдопластичной жидкости, в котором изменение температуры среды достигается за счет разогрева вследствие диссипации механиче­ ской энергии и теплообмена с окружающей средой. Принимаем, что в таком одномерном течении остаются справедливыми все ранее полученные зависимости, что градиент температур в попе­ речном направлении отсутствует и что температура на границе потока известна. Тогда задача определения продольного распре­ деления температур сводится к интегрированию уравнения тепло­ вого баланса с учетом теплообмена с окружающей средой.

Уравнение теплового баланса, составленное для потока единич­ ной ширины, в этом случае имеет вид

где W — энергия, диссипируемая за счет вязкого трения; Хь и Ха— значения ко­ эффициента теплоотдачи подвижная стенка — жидкость и неподвижная стенка — жидкость соответственно; Ть— температура подвижной стенки; Та— темпера­ тура неподвижной стенки

Для определения энергии, диссипируемой на участке потока длиной dx, воспользуемся результатами, приведенными в работе [15]. Следуя им, получим:

Пренебрегая величиной QdP по сравнению с остальными чле­ нами (для расплавов термопластов эта величина обычно состав­ ляет 1—3% общего расхода энергии), получим:

QpcP d T = + [Kb ( T b - T ) + Xs ( T s - T ) ] d x (V.55)

где

A = B ( l — rio) ( n + \ ) U n/ h iln

где

а, = Xl(ApaU'+'ln)

Следовательно, при заданных значениях температуры на гра­ ницах потока и заданном значении коэффициента теплоотдачи за­ дача сводится к определению функции Т(х) из выражения

Определенный интеграл, стоящий в правой части выражения (V.59), не сводится к квадратурам. Поэтому при необходимости получить его точное значение приходится прибегать к численным методам. Для качественного анализа неизотермического течения представляет интерес использование приближенных методов рас­ чета.

Для приближенного вычисления определенного интеграла, стоящего в правой части выражения (V. 59), воспользуемся прие-

мом,описанным в предыдущем параграфе. Тогда после подста­ новки z = еЬ(Г- т°) получим:

z

__________ dz__________

(V.60)

I i +2ai (с+ |,п1 ) 2

где

с = Т „ - Т 0

Используя разложение In (1/z) да 1/z — 1, получим:

когда это условие не соблюдается, необходимо прибегать к чис­

Известные экспериментальные данные показывают, что в про­ цессах переработки коэффициент а по порядку величины меньше, чем 10~2. Следовательно, сделанное выше предположение с мало­ сти члена вида 2а (1 + а) вполне допустимо.

ВЫВОДЫ

Неизотермический характер течения расплавов обусловлен прежде всего значительным диссипативным разогревом, являющимся следствием высокой вязкости полимерных расплавов. Строгий анализ неизотермического течения удается выполнить только чис­ ленным методом. Однако на практике в большинстве случаев ока­ зывается достаточным использовать приближенные методы, осно­ ванные на учете изменений средней температуры потока. Получен­ ные при этом решения правильно описывают изменения профиля давлений и температур в одномерных течениях простейших типов.

Литература

1.Тоог Н. L., Ind. Eng. Chem., 1956, v. 48, № 6, p. 922—924.

2.Тоог H. L., Trans. Soc. Rheol., 1957, v. 1, p. 177—190.

3.Bird R. £., SPE Journal, 1955, v. 11, № 9, p. 35—40, 53—54.

6.Лыков А. В. Теория теплопроводности. M., ГИТТЛ, 1952. 391 с.

7.Качанов С. Л., Прикл. механ. техничГ физика, 1962, № 3, с. 35—38.

8.Тябин Н. В. и др. В кн.: Теплообмен. 1974. Советские исследования. М., «Наука», 1975, с. 195—198.

9.Самойлов М. С. и др. В кн.: Реология в процессах и аппаратах химических производств. Труды Волгоградского политехи, ин-та, Волгоград, МВ ССО

РСФСР, 1972, с. 89_92.

10. Saltuk /., Siskovic N.t Grickey R. G., Polymer Eng. Sci., 1972, v. 12, № 6,

p. 397—401.

11.Канторович Л. £., Крылов В. H. Приближенные методы анализа. М., Физматгиз, 1962. 523 с.

12.Colwell R. £., SPE Journal, 1955, v. И, № 7, p. 24—36.

13.Pearson J. R. A. Mechanical Principles of Polymer Melt Processing. London, Pergamon Press, 1966. 353 p.

14.Тоог H. L., AIChE Journal, 1958, v. 4, № 3, p. 319—323.

15.Торнер P. В., Сутин P. Я., Механ. полимер., 1968, № 2, с. 349—357

Глава VI

СОВРЕМЕННЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ О МЕХАНИЗМЕ СТРУКТУРООБРАЗОВАНИЯ В ПРОЦЕССАХ ПЕРЕРАБОТКИ

VI. 1. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНОМЕРНОСТИ КИНЕТИКИ КРИСТАЛЛИЗАЦИИ

Из теории изотермической кристаллизации следует, что связь между долей закристаллизовавшегося материала 0 и временем t описывается уравнением Колмогорова — Аврами [1, с. 224]: