1414
.pdfдеформации сдвига.
Rw = |
(PX F ) R |
_ |
(PXF) R |
(III. |
69) |
|
8 |
8[G(Y)*] |
|
|
|
где |
(pxr) R |
— напряжение |
сдвига |
па |
|
стенке капилляра; |
IR— податливость |
||||
при сдвиге материала у стенки. |
|
||||
Наконец, критерий вязкоэла стичности представляет собой от ношение нормальных напряже ний, действующих в направлении сдвига, к нормальным напряже ниям, действующим в направле нии течения, и может быть опре делен из соотношения:
P yy — Pzz |
_ |
Rv |
Р хх — Pzz |
“ |
(III. 70) |
Rv — 2 |
|
Многочисленные эксперимен |
|||
|
тальные данные |
указывают, что |
||
|
для ламинарного |
течения |
поли |
|
|
меров |
Rv = 0. Значения |
Rv мо |
|
Рис. III. 19. Скачкообразное увеличение |
жет |
изменяться |
в пределах |
|
текучести линейного полиэтилена при |
— 0S2 ^ Rv ^ 0,35. |
|
||
425 К; отношение L/D равно: |
посто |
|||
/ — 16; 2— 3,65. |
Сопоставление |
условия |
||
|
янства |
критерия |
Вайссенберга с |
|
приближенной зависимостью, существующей между податливо стью и среднемассовой молекулярной массой, позволяет теорети чески обосновать наблюдаемое экспериментально постоянство про изведения критического напряжения сдвига на среднемассовую молекулярную массу.
Действительно, если податливость при сдвиге равна [206, с. 548]
, _ 2 _Mw_
R7>
то, подставляя ее в выражение (III. 69), получим:
Мш(Рхг)* = *КТ « Ч г Р |
(Ш*72) |
Поскольку правая часть не зависит ни от молекулярной массы, ни от температуры (произведение рГ « const), левая часть также должна быть постоянной.
III.6. ТЕЧЕНИЕ СТЕПЕННОЙ ЖИДКОСТИ В КОНИЧЕСКИХ КАНАЛАХ
Рассмотрим движение расплава в коническом канале в предполо жении, что: жидкость несжимаема; движение установившееся и осесимметричное; массовыми силами и силами инерции можно пре небречь, движение является строго радиальным. Движение
расплава в такой насадке (рис. III. 20) можно рассматривать по аналогии с истечением из импульсного источника [20].
Используя сферическую систему координат (0, ф, R), получим следующую систему уравнений движения в напряжениях:
+ + I ( '» «‘ее + зрея>- о
T F - + X Т |
+ Т <%*+ с'8 е"е» - о.. - Р»)" 0 |
<ш- и> |
|||
где |
|
|
|
|
|
0ф=О; dvR/dy = 0; d v j d y = 0 |
|
|
|||
|
Уравнение неразрывности принимает вид: |
|
|||
|
2v. |
i!e . |
cig в |
= 0 |
(111.74) |
dR |
+ |
|
|||
RdQ |
|
|
|
||
Наконец, реологическое уравнение сводится к виду:
PRR = — Р + 2Л ( у I2) dvR/dR
Рео = “ |
р |
+ 2Л ( т |
'г) { V R / R + |
d v o/dQ) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
(III. 75) |
pw = - |
р + 2Х ( 1 12) |
|
c‘g QIR) |
||||
. |
- J |
|
1 I V |
1 |
% I |
ape |
VA |
|
и v 2 2A |
/? |
dG |
a/? |
7? / |
||
Граничные условия при этом имеют вид: |
|||||||
R = |
R Q, |
|
V R = |
const |
|
(III. 76) |
|
0 = 0О-’ |
|
VR ~ °* |
ио = ° |
|
(III. 77) |
||
Условие |
(III. 76) отражает |
требование постоянства скорости на |
|||||
входе в насадку. Условие (III. 77) — это условие прилипания. Таким образом, задача о течении расплава в конической на
садке сводится |
к решению дифференциальных уравнений (III. 73) |
|||
и (III. 74) при |
граничных |
условиях (III. 76) |
и (III. 77). При |
этом |
предполагается, |
что вид |
зависимостей А, |
и |
изве |
стен. Решение этой системы может быть выполнено численными методами. Представляет, однако, интерес приведенное ниже при ближенное решение, которое может быть сведено к аналитическим зависимостям.
Течение в осесимметричном коническом канале можно рассмат ривать как суперпозицию трех деформационных процессов [207]:
деформации, которой полимер под вергается при протекании из резер вуара в коническую насадку (обо значим ее индексом 0); деформа ции, являющейся следствием теле скопического сдвига внутри насад ки (обозначим эту компоненту де формации индексом s'); деформа ции растяжения внутри насадки (обозначим ее индексом Е). Давле ние, которое необходимо поддержи
вать на входе в насадку для того,
рических координат применительно чтобы обеспечить течение с задан
ным объемным расходом, опреде лится как сумма потерь давления, возникающих при реализации каждого из этих деформационных
процессов.
ПОТЕРИ ДАВЛЕНИЯ, СВЯЗАННЫЕ С ТЕЛЕСКОПИЧЕСКИМ СДВИГОМ В НАСАДКЕ
Если рассмотреть схему движения, представленную на рис. III. 21, |
|
и вырезать из насадки элементарный |
участок длиной dx, то, про |
ектируя все действующие силы на ось |
х, получим: |
йР$тсг2= 2яг dxps sec 0 • cos 0 |
(III. 78) |
Следовательно |
|
dP„ = ^ S - dx |
(Ш. 79) |
^Г
где
dx = |
dr ctg 0 |
(III. 80) |
Учитывая выражения (III.28) и (III.34), получим: |
||
|
2ц„(л + l)l/nctg e |
f Q \ ' ln |
s |
г1*3"1 |
(III. 81) |
U J |
||
Интегрируя уравнение (III. 81) в пределах от R\ до R0l получим выражение для определения потерь давления в телескопическом течении:
Рs |
2ц0п |
(III. 82) |
|
3 tg 0 |
|||
|
[''~ л7?Р' ] ‘/П[1~ (/?|//?о)3/П1 |
ПОТЕРИ ДАВЛЕНИЯ ВСЛЕДСТВИЕ ДЕФОРМАЦИИ РАСТЯЖЕНИЯ (ПРОДОЛЬНОЕ ТЕЧЕНИЕ)
Рассмотрим элемент длиной dx, на который действует среднее рас тягивающее напряжение рХх, ориентированное параллельно оси х. Тогда имеем:
nrdPg = рхх 1л (г + dr)2 — лг2] |
(III. 83) |
413
Из уравнения (III. 83) полу чим:
dPE = 2px x dr/r |
(III. 84) |
Принимая для простоты, что продольная вязкость К не зави сит ни от скорости сдвига, ни от деформации сдвига, получим:
ов = кеа |
(III. 85) |
Рис. 111.21. Схема конической насадки и система координат.
Пусть угол при вершине конуса стоянной величиной сходимости
tg0 = atg 0 /r И dh/h = da/a
Для определения скорости деформации растяжения га рас смотрим конический кольцевой канал толщиной h и радиусом а. равен 2ф. Тогда для потока с по-
(III. 86)
Скорость деформации растяжения определится выражением:
1 |
/о L\ |
2 da |
|
еа = — 2nah |
dt (2яа/1) = _ _ _ _ |
(III. 87) |
|
При этом |
|
|
|
^ - =, i g 4 > ^ L = ± t g Qva |
|
(III. 88) |
|
где va — компонента скорости, параллельная оси потока.
Рассматривая течение на участке с радиусом г как течение сте пенной жидкости в цилиндрическом канале и принимая, что д2Р/дхдд = о, получим, воспользовавшись уравнениями (III. 30) и (III. 32), что скорость va равна:
va п + 1 |
nr2 |
МтЛ |
|
|
|
ti |
-{- 3 |
Q |
|
|
(III. 89) |
|
|
|
|
|
|
Средние растягивающие напряжения могуг быть найдены из |
|||||
выражения: |
|
|
|
||
|
Г |
г |
|
|
|
°ЕС = |
\ Рхх *2jla da ~ 7Г ^ |
da |
(III. 90) |
||
|
о |
|
о |
|
|
Подставляя |
в уравнение |
(III. 90) выражение |
(III. 89), получим |
||
после ряда очевидных преобразований: |
|
||||
аFC = |
2Я tg 0Q/jtr3 |
|
(III. 91) |
||
Максимальные растягивающие напряжения, действующие на |
|||||
оси, равны: |
|
|
|
||
|
_ |
п + г |
|
|
|
рххшах |
п |
1 аЕС |
|
|
|
Потери давления, связанные с осуществлением деформации ра стяжения, определятся из выражения:
оя/<1 |_ |
\ а0 / |
(III. 93) |
J |
||
ПОТЕРИ ДАВЛЕНИЯ НА УЧАСТКЕ ВХОДА ВНУТРИ РЕЗЕРВУАРА |
||
Участок формирования потока |
внутри |
резервуара перед входом |
в насадку также имеет коническую форму. Однако границы этого конуса подвижны, и поток на входе выбирает такие размеры ко нуса, которым соответствуют минимальные потери давления. Пу тем визиуализации линий тока установлено, что границы входного конуса все время пульсируют около некоторой средней формы [186, 187, 208]. Экспериментальные данные показывают, что ско рость потока на границах конуса составляет примерно одну деся тую скорости в центре потока. Однако для простоты все дальней шие рассуждения будут сделаны исходя из условий прилипания. Потери входа при этом получаются несколько завышенными. Од нако ошибка оказывается невелика, так как при этом косвенно учитываются потери энергии на циркуляцию в мертвых зонах, не посредственно не участвующие в рассмотрении.
Рассмотрим конический сходящийся поток с радиусом Ro на входе и R1 на выходе. Угол при вершине конуса обозначим через
2а. Суммарное падение давлений на этом участке равно: |
|
Р, - psi + |
(ш -94> |
Учитывая выражения (III.82) и (III.93), получим |
|
/>, = A c t g a + В t g a |
( I I I .95) |
Здесь
2\i0n
A ^
3 L
\\з (ПL +
X ** (R,mo)3
CO* + |
Q |
,/n( i - x ,/n) |
"Я? |
J1 |
3) Q
1(1 - x )
J
(III. 96)
(III. 97)
(III. 98)
Определим значение a, соответствующее минимуму Р Для этого приравняем нулю первую производную по tg а уравнения
(III95):
d tg a |
— —^_d__ u в = о |
(III. 99) |
tg2a ^ |
|
и исследуем полученный результат на максимум и минимум:
ал
tg3 a
Следовательно, |
при значении а, удовлетворяющем |
условию |
||||
(III. 99), потери давления будут минимальны. |
|
|||||
|
Из выражения (III. 99) получим: |
|
||||
tg а = |
(А/В)'1г |
|
|
(III. 101) |
||
|
Окончательное соотношение для определения потерь давления |
|||||
перед входом в насадку имеет вид: |
|
|||||
Р , = 2 |
(АВ)'!* |
|
|
(III. 102) |
||
Заметим, что (п + 3)Q/nRi = |
уя,. Следовательно |
|
||||
А = ^ - Р х у ( \ - х ш ) |
|
(III. 103) |
||||
В = |
ЯУR, |
(1 -х) |
|
|
(III. 104) |
|
|
3 |
|
|
|||
|
Подставляя |
выражения |
(III. 103) и (III. 104) в |
формулу |
||
(III. 102), получим: |
|
|
||||
р \ - ^ |
Г |
~ V*. М |
' 1г [О ~ X) 0 - х1*)]* |
(Ш- Ю5) |
||
Располагая значением Л и В, можно определить длину заходного конуса Н:
т т )
где R — радиус резервуара; г0 — радиус входа в насадку.
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ КОНИЧЕСКИХ НАСАДОК ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПРОДОЛЬНОЙ ВЯЗКОСТИ И ЭЛАСТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК РАСПЛАВА
Использование конических и цилиндрических насадок позволяет определять такие фундаментальные реологические характеристики расплава, как продольная вязкость и модуль растяжения и сдвига. Вначале обычным методом из экспериментов на цилиндрической насадке определяется сдвиговая вязкость. Высокоэластическая деформация рассчитывается по величине эластического восстанов ления струи е:
v « - T i [ ( ' + v « T - v ; T ' |
(ш. mi |
Вязкость при растяжении |
можно определить из уравнения |
(III. 93), зная суммарные потери давления и исключив из них потери давления Ps> связанные с существованием телескопиче ского течения.
Рис. III. 22. Схема течения при прямоли
нейно-параллельном установившемся дви жении жидкости.
В рассматриваемом случае одномерного течения только одна компонента тензора скоростей деформации, а именно dvxlдуу не равна нулю.
Далее допустим, что в направ лении оси х существует противо давление, созданное сопротивле нием, расположенным на доста точном удалении от рассматри ваемого сечения потока. В этом случае в уравнениях будут не равны нулю только члены вида
дрхх1дх и дрху/ду. Следовательно, уравнение (III. 2) сведется к виду
дР = |
дРху |
(III. 114) |
|
дх |
ду |
||
|
Левая |
часть уравнения (III. 114) зависит только от х, а правая от |
|
у\ это |
означает, что |
дР/дх = const и дрх/ду = const. Интегрируя |
уравнение (III. 114) |
по ху получим: |
|
P = |
+ |
(III. 115) |
Определив константу С\ из условия Р = Р0 при х = 0 (получается Ci = Л>), имеем:
(Ш . П6)
Следовательно, в рассматриваемом течении градиент давлений по стоянен по всей длине потока, т. е. давление линейно изменяется в зависимости от координаты х.
Интегрируя выражение |
(III. 114) |
по у, получим: |
Р х у ~ - % У + С2 |
|
(III. 117) |
Из уравнения (III. 117) |
следует, |
что независимо от значения |
реологических констант распределение напряжений в одномерном потоке аномально-вязкой жидкости (не обладающей эластично стью) линейно.
Для определения константы Сг представим уравнение (III.117)
в виде |
|
£ (У - ~ У 0) = Рху |
(И1-Ч8) |
Тогда становится очевидно, что уо — это координата сечения, в ко тором напряжения сдвига равны нулю.
Теоретически возможные варианты распределения напряжений по сечению представлены на рис. III. 23. Вариант а отличается
У*
Рху
JZ
о х
а
|
О |
х |
|
|
з |
Гис. 111.23. Эпюры напряжений сдвиги |
при прямолинейно-параллельном установившемся |
|
вынужденной изотермическом течении |
жидкости; а —е — возможные варианты (пояснения |
|
в тексте). |
|
|
гем, что напряжение сдвига постоянно по всему сечению. Это воз можно при условии dP/dx = 0. При этом у0 = =Ьоо. Вариант б: dP/dx > 0 ; уо < 0; напряжение сдвига при этом медленно умень шается от pxy(h) до рХу{0). Вариант в: dP/dx >> 0; у0 = 0; напряже ние сдвига уменьшается до нулевого значения на поверхности ниж ней плоскости. Варианта: dP/dx > 0; 0<Уо<0,5А; на эпюре напря жений существует область отрицательных напряжений сдвига. Ва риант д: dP/dx < 0; А < У о < °°; напряжения сдвига на нижней плоскости выше, чем на верхней. Вариант е: dP/dx < 0; 0 < уо < < А/2; область отрицательных напряжений сдвига примыкает к подвижной плоскости.
Для определения поля скоростей выразим напряжение сдвига из реологического уравнения состояния (III. 3) и подставим его в уравнение (III. 118):