1367

Таблица 13.1

по сравнению с упрощенным подходом. Очевидно, что взаимодейст­ вие изгибного и осевого деформирования может, вообще говоря, су­ щественно влиять на потерю устойчивости упругих тел.

Влиянием прогибов на распределение осевых нагрузок обычно пренебрегают в так называемом классическом подходе к линейному анализу устойчивости. В этом случае вначале проводится анализ осевой нагрузки конструкции до изгиба. Далее строится непосред­ ственно геометрическая матрица жесткости. Однако трудно, а под­ час невозможно использовать специальным образом высоко автома­ тизированные процедуры имеющихся в наличии вычислительных программ конечно-элементного анализа.

Примеры построения матриц для задач конечно-элементного анализа устойчивости стержневых систем можно найти в 113.5, 13.6].

13.4. Элементы для пластин

Набор элементов для изгиба пластин достаточно широк из-за разно­ образия геометрических форм и полей перемещений, и для большей части жесткостные соотношения анализа упругой устойчивости слишком сложны, чтобы их приводить здесь. Построение подобных соотношений в явном виде для треугольных элементов особенно сложно. Поэтому ограничимся рассмотрением двух прямоугольных элементов. Читателю рекомендуется обратиться к работам 113.7— 13.12], где описаны подробности формулировки других изгибных пластинчатых элементов.

Двумя основными функциями перемещений для прямоугольного элемента являются двенадцатичленная (12.32) и шестнадцатичлен­ ная полиномиальные функции, полученные при помощи полиноми­ альной эрмитовской интерпретации (12.31). Основное теоретическое соотношение для геометрических матриц жесткости элементов плас­ тин задается выражением (13.21) (см. также комментарии к этой формуле). Подстановка двенадцатичленного полинома в эти уравне-

Таблица 13.2 (окончание)

ровке этих матриц см. [13.13]. Соответствующие матрицы для шест­ надцатичленной формулировки можно найти в [13.14].

Интересно сравнить результаты, полученные с помощью этих альтернативных формулировок для критической нагрузки защемлен­ ной квадратной пластины при однородном сжатии, используя, как показано на рис. 12.5, единственный элемент внутри квадранта. Все узловые перемещения, за исключением wu равны нулю, поэтому поведение пластины описывается единственным уравнением. Исполь­ зуя базисный коэффициент жесткости из табл. 12.1 и геометриче­ ский коэффициент жесткости из табл. 13.2 (при л;а=*/з=я), для две­ надцатичленной формулировки имеем

з ^ [ 1 2 0 ( 1 + 1 )_ 2 4 (0 .3 ) + 8 4 ] - “ иш

Используя геометрические коэффициенты жесткости, приведенные в [13.14] для шестнадцатичленной формулировки, получим а*сг =

=26.5D/a2/, в то время как аналитическое решение [13.15] равно 24.8D/a2/. Таким образом, оба решения относительно точны для этой исключительно грубой сетки.

На рис. 13.13 представлены графики, характеризующие ошибку в процентах как функцию от параметров разбиения при подсчете на основе указанных альтернативных формулировок критической нагрузки равномерно нагруженной свободно опертой квадратной пластины. Как двенадцатичленное, так и шестнадцатичленное пред­ ставление приводит к точным решениям, которые сходятся к пра­ вильному результату. Для шестнадцатичленной формулировки ха­ рактер сходимости соответствует стремлению к результату сверху. Дополнительные вычислительные затраты, обусловленные сущест­ вованием дополнительных степеней свободы в каждом узле, лишь, частично окупаются точностью решения, полученного на базе межэлементно согласованной шестнадцатиэлементной формули­ ровки.

Последнее утверждение подтверждается результатами, представ­ ленными на рис. 13.13, которые получены с помощью процедуры конденсации, описанной в разд. 13.2. В результате процедуры кон­ денсации исключаются все степени свободы, за исключением по­ перечных смещений в узлах wtl при этом достигается та же точность, что и для двенадцатичленной полиномиальной модели с тремя сте­ пенями свободы в каждом узле.

Приведенный пример выявляет одно из наиболее важных пре­ имуществ использования метода конечных элементов при анализе устойчивости пластин. Так как силы в плоскости постоянны, нет необходимости проводить анализ для нахождения их распределен

г;~1

Рис. 13.13. Сравнение численных результатов при анализе потери устойчивости пластин — прямоугольные элементы. 1 — согласованная (16 степеней свободы) формулировка со схемой редукции; 2 — согласованная (16 степеней свободы) формулировка без схемы редукции; 3 — двенадцатичленный полином.

ния внутри пластины. Однако если силы в плоскости не однородны либо отвечают сосредоточенным нагрузкам или геометрия пластины имеет особенности (например, пластина с подкрепленными вырезами или специальной формы в плане), проблема в сущности труднораз­ решима с помощью классических аналитических методов. С другой стороны, метод конечных элементов легко учитывает эти случаи благодаря тому, что силы в срединной поверхности легко находятся из конечно-элементного анализа плоско-напряженного состояния, как описано в гл. 9.

Литература

13.1.Llvesley R. К. Matrix Methods of Structural Analysis. Chapter 10.—Oxford. England: Pergamon Press, 1965.

13.2.Wang С. T. Applied Elasticity.—New York, N.Y.: McGraw-Hill Book Co.,

1954.

13.3. Gallagher R., Lee B. Matrix Dynamic and Instability Analysis with Nonuniform Elements.— Int. J. Num. Meth. Eng., 1970, 2, No. 2, p. 265—276.

13.4.Barsoum R., Gallagher R. Finite Element Analysis of Torsional and Lateral Stability Problems.—Int. J. Num. Meth. Eng., 1970, 2, No. 3, p. 335—352.

13.5.Halldorsson O., Wang С. K. Stability Analysis of Frameworks by Matrix

Methods.—Proc. ASCE, J. Struct. Div., July 1968,94, No. ST7 p. 1745— 1760.

13.6.Hartz B. J. Matrix Formulation of Structural Stability Problems.—Proc. ASCE, J. Struct. Div., Dec. 1965, 91, No. ST6, p. 141— 158.

13.7.Gallagher R., Gellatly R., Mallett R., Padlog J. A Discrete Element Procedu­ re for Thin Shell Instability Analysis.—AIAA J., Jan. 1967, 5, No. l,p . 138— 144.

13.8.Anderson R. G., Irons В. M., ZienkiewiczО. C. Vibrations and Stability of

Plates Using Finite Elements.— Int. J. Solids and Struct., Oct. 1968, 4,

p.1031— 1035.

13.9.Argyris J. H., et al. Some New Elements for the Matrix Displacement Me­ thod.— Proc. of the 2nd Air Force Conference on Matrix Methods in Structural Mechanics, Dayton, Ohio, Oct. 1968.

13.10.Kabaila A. P., Fraeijs de Veubeke B. Stability Analysis by Finite Elements.— AFFDL TR 70-35, Mar. 1970

13.11.Vos R. G., Vann W P. A Finite Element Tensor Approach to Plate Buckling and Postbuckling.— Int. J. Num. Meth. Eng., 1973, 5, No. 3, p. 351—366.

13.12.Clough R. W., Felippa C. A. A Refined Quadrilateral Element for Analysis of Plate Bending.— Proc. of 2nd Conf. on Matrix Methods in Struct. Mech.— AFFDL TR 68-160, Oct. 1968.

13.13.Przemieniecki J. S. Discrete-Element Methods for Stability Analysis of Comp­ lex Structures.— Aero. J., Dec. 1968, 72, p. 1077— 1086.

13.14.Pifko A., Isakson G. A Finite-Element Method for the Plastic Buckling Ana­ lysis of Plates.— AIAA J., Oct. 1969, 7, No. 10, p. 1950-1957.

Задачи

13.1.Докажите, применяя вариационные процедуры, описанные в гл. 6, что урав­ нение (13.11) является уравнением Эйлера для функционала, задаваемого выра­ жением (13.10). (V==0.)

13.2.Выпишите уравнение Эйлера для функционала (13.31), отвечающего из- гибно-крутильному деформированию.

13.3.Решение определяющего дифференциального уравнения изгиба при дейст­

где ay2= F x/ E I. Примените эту функцию перемещений при определении коэффи­ циента жесткости, связывающего и F Zl.

13.4. Если матрица жесткости для балочно-стержневого элемента формули­ руется с использованием «точной» функции перемещений, то коэффициент жест­

13.9. Вычислите Рсг для ступенчатой балки, изображенной на рис Р13.9.

Рис. Р13.9.

13.10. Вычислите Р сг для балки, изображенной на рис. Р13.10.

I

I 0.5L .

Рис. Р13.10.

к ->

13.11.(Задача для вычисления на ЭВМ.) Вычислите Рсг для балки, изображен­

ной на рис. P13.ll (£=30*10® фунт/дюйм2, /0= Ю .0 дюйм4, Ло= 2 .0 дюйм2).

Рис. P 13.ll. (Размеры в футах.)

13.12. Вычислите критическую нагрузку для заостренной колонны, используя один элемент с жесткостным представлением, сформулированным на базе эрми­

13.13. Сформулируйте матрицу жесткости [k^] для треугольного изгибного пла­ стинчатого элемента, изображенного на рис. Р13.13, при наложении постоянных напряжений ах в срединной поверхности. Построение матрицы жесткости элемента основано на квадратичной (шестичленной) функции для w (см. рис. 12.8Ь из гл. 12).