1367

Выписанные выражения относятся к обобщенным параметрам {а}. Матрица жесткости, соответствующая физическим координа­ там, легко строится с помощью задания преобразования от обобщен­ ных координат к физическим (1 1 .10) и применения этого преобразо­ вания к [к°].

Если узлы расположены на оси симметрии, то возникают особые случаи, так как члены с In (rt/rj) и (rt—rj) в знаменателе принимают бесконечное значение. Используя правило Лопиталя, можно про­ вести оценки. Для особого случая с rt= 0, /у, гкФ0 имеем (t, /, k=

1, 2, 3)

Заметим также, что ut= 0 приводит к уменьшению размерности мат­ рицы жесткости.

Если rt= rj—0 и гкФ 0, то можно также показать [11.3], что чле­ ны, содержащие / 4, /, и /„, не входят в выражение для матрицы-жест­ кости из-за выполнения равенства мг=ыу=0.

В некоторых приложениях полезно иметь «граничный» элемент для сплошного цилиндра, как показано на рис. 11.4. Чтобы по-

2,w l

строить такой элемент, можно использовать поля перемещений и— =aiH-a*z и w—atr-]ratz. Подробный вывод уравнений жесткости для данного элемента совпадает с изложенными выше операциями.

Очевидно, что получение явных «точных»' выражений для коэф­ фициентов жесткости, соответствующих осесимметричному тре-

Ось

симметрии

Рис. 11.5. Анализ толстостенного цилиндра, находящ егося под действием внутрен­ него давления, (а) Конечно-элементное представление; (Ь) вычисленные напряж е­ ния

угольному элементу, затруднительно. Тем не менее выписанные выше соотношения приводились в различном виде, например, в [11.2—11.4]. Формулы и сведенные в таблицы коэффициенты для основных членов элементов высших порядков представлены в [11.5] и [11.6]. Простые приближенные формулировки для осесимметрич­ ного треугольника основаны на использовании «среднего» радиуса (например, значения в центре элемента), рассматриваемого в ка­ честве константы интегрирования. Точность этой аппроксимации зависит от близости элемента к оси вращения.

При сравнении с классическими решениями установлено, что треугольный кольцевой элемент обеспечивает высокую точность, и это свойство, по-видимому, сохраняется и при решении приклад­ ных задач. На рис. 11.5 изображено конечно-элементное представ­ ление для задачи расчета толстостенной трубы, находящейся под

Рис. 11.6. Анализ сегмента сферы с использованием треугольных кольцевых эле­ ментов [11.31. С любезного разрешения журнале AIAA Journal; w — перемещение в точке с0 (в дюймах); нагрузка в центре равна 955 фунтов.

действием внутреннего давления. Используется довольно грубая сетка элементов. Различие между точным и численным решениями практически отсутствует.

Во второй задаче (рис. 11.6) анализируется сегмент жестко зак­ репленной сферической оболочки при действии сосредоточенной силы в ее вершине [11.3]. Для сравнения приводится решение этой задачи с применением тонких оболочечных конечных элементов. Очевидно, что осесимметричный сплошной конечный элемент обес­ печивает сходимость к решению, несколько отличающемуся от ре­ шения, полученного на базе тонких оболочечных конечных элемен­ тов. Различие объясняется расхождением между моделью поведе­ ния толстых оболочек и упрощенным представлением, даваемым теорией тонких оболочек.

11.3. Произвольные нагрузки

Нагрузки, действующие на осесимметричную конструкцию, не обязательно должны быть распределены осесимметричным образом. Примером реальных нагрузок указанного типа могут служить вет­ ровые нагрузки на трубы или другие цилиндрические конструкции. Кроме того, при землетрясениях силы инерции, возникающие в результате ускорения поверхности земли, обусловливают неосесим­ метричные нагрузки на резервуары и толстостенные цилиндрические

конструкции. В том случае, когда распределенная нагрузка Т меняется лишь вдоль окружной координаты 0 и представляется небольшим числом членов разложения в ряд, можно сохранить большую часть преимуществ, изложенных в предыдущем разде­ ле формулировок. Ниже опишем способ обобщения последних с целью учета неосесимметричных нагрузок.

Во-первых, предполагается, что усилия Т разбиваются соот­ ветственно на радиальные, окружные и осевые компоненты ТГУ и Tz. Тогда, применяя стандартную процедуру разложения в

ряд Фурье (см. [11.7]), построим следующие аппроксимации:

тг= 53 т1пcos + 2 ?1insin n0’

где каждый член в каждом из разложений называется гармоникой, а п — порядком гармоники. Суммирование производится по я, причем в сумме столько членов, сколько необходимо для описания изменения нагрузок в окружном направлении. Верхними индекса­ ми s отмечены симметричные компоненты нагрузки, а индексом а — антисимметричные компоненты. Представительные компоненты ра­ диальной нагрузки изображены на рис. 11.7. Результирующие пере­ мещения имеют соответствующий вид

где usy vs и ws — симметричные компоненты смещения, a ua, va и wa — антисимметричные компоненты. Эти компоненты задаются в терминах степеней свободы с помощью привычного представления через функции формы

где Ю , м {w£}— векторы, имеющие компонентами соответст­ венно степени свободы элемента для симметричных и антисимметрич­

и w. Они являются функциями только координат г и 2.

Рис. 11.7. Несимметричное радиальное нагруж ение и первые гармоники, (а) Рас­ пределение несимметричного радиального нагруж ения; (Ь) первая осесимметрич­ ная гармоника; (с) первая антисимметричная гармоника.

Ввиду того что теперь необходимо учитывать изменения величин

ив окружном направлении, уравнения, связывающие перемещения

идеформации, примут вид

Объединим эти компоненты деформации для n-й гармоники в следующий вектор-столбец:

Отвечающая этому вектору (бхб)-матрица жесткости материала задается выражением (10.3).

Если в соотношения между деформациями и перемещениями (11.26) подставить выражение для перемещений л-й гармоники (11.24), получим систему уравнений, связывающую деформации и узловые перемещения. Используя обычные обозначения для преоб­

где [D„] и [D“] представляют соответственно симметричные и антисимметричные преобразования перемещений в деформации и

L J = L L цп J L vn_J L J J ,

LASJ = L L u g J L v g J L w » j J .

Теперь можно определить потенциальную энергию элемента. Полагая d(vo\)=rdQdr dz и используя (10.3) и (11.27), получим для потенциальной энергии п-й гармоники ПРп (начальные деформации для простоты исключены)

зок и узловых сил для симметричного поведения. Аналогично члены с верхним индексом а определяют матрицы, отвечающие антисим­ метричному поведению. Следует заметить, что разложение выраже­ ний для этих матриц вряд ли приводит к появлению членов типа

2п 2л

cos2n0 d0 = J sin2Ai0 d0 = Ji,

оо

позволяющие затем исключить окружную координату из выраже­ ния для интеграла.

Поэтому общая задача разбивается на отдельные задачи анализа симметричной и антисимметричной мод для каждой из гармоник. Реакция конструкции определяется как сумма соответствующих решений. Следует учесть, что при получении решений для компо­ нент гармоник с п= 1 необходимо задать три условия закрепления, а при п> 1 для обеспечения невырожденности глобальной матрицы жесткости необходимо зафиксировать лишь осевую моду движения тела как твердого целого. Для п = 0 необходимо исключить вращение тела как твердого целого и смещение вдоль оси. Примеры примене­ ния описанного в этом разделе подхода приводятся в [1 1 .8—1 1 . 101.

техники множителей Лагранжа (см. гл. 7). Следовательно, полная система глобальных уравнений имеет вид

Как и следовало ожидать, на основе проведенных в гл. 6 и 7 обсуждений вопросов, связанных с множителями Лагранжа, вели­ чины Xs пропорциональны давлению в порах внутри соответствую­ щих элементов. Указанные значения давлений достаточны для пред­ отвращения изменения объема элемента.

В процессе затвердевания грунта изменение объема отлично от нуля и зависит от времени. Если принимается пошаговый метод решения, то на каждом шаге по времени определяются отличные от нуля величины изменения объема. Поэтому правые части уравнений (11.34), (11.35) не равны нулю. Эти и другие аспекты анализа за­ твердевания грунта приведены в [11.11—11.14].

В однофазном материале при коэффициенте Пуассона р,, равном 0.5, соответствующие несжимаемому материалу члены, входящие в уравнения состояния, стремятся к бесконечности из-за множителя (1—2р,) в знаменателе (см. (10.3), (11.3) и (11.8)). Если р, лишь не­ много отличаются от 0.5, то решение для перемещений может ока­ заться неточным, что в свою очередь существенно скажется при подсчете напряжений, так как последние находятся в результате дифференцирования перемещений.

Чтобы модифицировать подход, основанный на рассмотрении потенциальной энергии, заметим, что для несжимаемого материала лишь девиаторные компоненты деформации существенны в соотно­ шениях между напряжениями и деформациями. Поэтому девиатор­ ные компоненты деформации отделяются от дилатационных компо­ нент и используются как базисные для конечно-элементной форму­ лировки.

Кроме того, удобным прямым подходом к анализу однофазного несжимаемого материала является подход с использованием спе­ циальной формы принципа Рейсснера, предложенной Херрманом [11.15]. Функционал Рейсснера обсуждался в разд. 6.8. Рассматри­ вая для простоты изотропный несжимаемый материал, находящийся в плоском деформированном состоянии, заметим, что физическая сущность рассматриваемой задачи позволяет объединить напряже­

11.3.Utku S. Explicit Expressions for Triangular Torus Element Stiffness Mat­ rix.—AIAA J., June 1968, 6, No. 6, p. 1174— 117Б. (Имеется перевод: Ра­ кетная техн. и космон.— М.: Мир, 1968, № 6.]

11.4.Belytschko Т. Finite Element for Axisymmetric Solids under Arbitrary Loa­ dings with Nodes at Origin.—AIAA J., 1972, 10, No. 11, p. 1582— 1584. [Имеется перевод: Ракетная техн. и космон.— М.: Мир, 1972, № 11.]

11.5.Chacour S. A High Precision Axisymmetric Triangular Element Used in the Analysis of Hydraulic Turbine Components.—Trans. ASME, J. Basic Eng., 1970, 92, p. 819—826.

11.6.Silvester P., Konrad A. Axisymmetric Triangular Elements for the Scalar Helmholtz Equation.— Int. J. Num. Meth. Eng., 1973, 5, No. 4, p. 481—498.

11.7.Sokolnikoff I. S., Redheffer R. M. Mathematics of Physics and Modern En­ gineering.— New York, N.Y.: McGraw-Hill Book Co., 1966, p. 56—83.

11.8.Wilson E. Structural Analysis of Axisymmetric Solids.—AIAA J., Dec. 1965, 3, No. 12, p. 2267—2274. [Имеется перевод: Ракетная техн. и космон.—

М.: Мир, 1965, № 12.]

11.9.Argyris J. Н., Buck К. Е., Grieger I., Mareczek G. Application of the Matrix Displacement Method to the Analysis of Pressure Vessels.—Trans. ASME., 1970, 92, Ser. B, p. 317—329.

11.10.Zienkiewicz О. C. The Finite Element Method in Engineering Science. Chap­ ter 13.—London: McGraw-Hill Book Co., Ltd., 1971. [Имеется перевод: Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике.— М.: Мир, 1975, 541 с.)

11.11.Christian J. Т. Undrained Stress Distribution by Numerical Methods.—Proc. ASCE, J. Soil Mech. Fdn. Div., Nov. 1968, 94, No. SM6, p. 1333— 1345.

11.12.Christian J. T., Boehmer J. W. Plane Strain Consolidation by Finite Ele­

ments.—Proc. ASCE, J. Soil Mech. Fdn. Div., July 1970, 96, No. SM4,

p. 1435— 1457.

11.13.Hwang C., Morgenstem N., Murray D. On Solution of Plane Strain Conso­ lidation Problems by Finite Element Methods.—Canadian Geotechn. J., 1971, 8, p. 109— 118.

11.14.Sandhu R. S. Finite Element Analysis of Consolidation and Creep.—Proc. of Conf. on Application of the Finite Element Method in Geotechnical Eng., ed. C. Desai, U. S. Army Eng. Vicksburg Experiment Sta., Vicksburg, Miss., 1972, p. 697—698.

11.15.Herrmann L. R. Elasticity Equations for Incompressible and Nearly Incom­ pressible Materials by a Variational Theorem.—AIAA J., Oct. 1965, 3, No.

11.16.Hughes Т., Allik Н. Finite Elements for Compressible and Incompressible Continua.—Proc. of Symp. on Application of Finite Element Methods in Civil Eng., eds. W. Rowan and R. Hackett, Vanderbilt Univ., Nashville, Tenn., Nov. 1969, p. 27—62.

11.17.Hwang С., Ho M., Wilson N. Finite Element Analysis of Soil Devormations.— Proc. of Symp. on Application of Finite Element Methods in Civil Eng., eds. W. Rowan and R. Hackett, Vanderbilt Univ., Nashville, Tenn., Nov. 1969, p. 729—746.

11.18.Key S. W. A Variational Principle for Incompressible and Nearly-Incompres­ sible Anisotropic Elasticity.— Int. J. Solids and Structures, 1969, 5, p. 951 — 964.

11.19.Taylor R. L. Pister K., Herrmann L. R. On a Variational Theorem for In­ compressible and Nearly Incompressible Orthotropic Elasticity.— Int. J. So­ lids and Structures, 1968, 4, p. 875—883.

11.20.Oden J. T., Key J. E. Numerical Analysis of Finite Axisymmetric Defor­ mations of Incompressible Elastic Solids of Revolution.— Int. J. Solids and Structures, 1970, 6, p. 497—518.