1367

12.7. Постройте матрицу жесткости для кольцевого изгибного элемента, изобра­ женного в сечении на рис. Р12.7. Используйте балочную функцию формы, запи­ санную в терминах радиальной координаты г.

Определите результирующий вид функции перемещений и исследуйте ее свойства на предмет межэлементной непрерывности перемещений.

12.9. Температурное поле в балочном элементе линейно изменяется по высоте и длине, но симметрично относительно вертикальной оси поперечного сечения. Изменение температуры в поперечном сечении обусловливает появление теплового

вэтом случае вектор температурных сил для балочного элемента.

12.10.Вычислите смещение свободного конца консольной балки постоянного прямоугольного поперечного сечения при действии на нее в этой точке сосредо­ точенной силы. Разбивая ее на два сегмента и используя метод суперпозиции, изложенный в разд. 12.4, сравните полученный результат с точным решением.

1 3

АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ УПРУГИХ ТЕЛ

В этой главе метод конечных элементов распростра­ няется на решение задач линейной теории устойчивости упругих тел. Линейный анализ потери устойчивости упругих систем сводится к определению критических значений нагрузок, приводящих к вы­ пучиванию упругой конструкции. При этом распределение внутрен­ них усилий, вызванных заданным распределением прикладываемых нагрузок, находится независимо в результате решения отдельной задачи. Хотя физические условия, связанные с разрушением конст­ рукции, включают аспекты нелинейной теории потери устойчивости наряду с вопросами неупругого деформирования, линейная теория устойчивости точно записывает условия разрушения, представляю­ щие интерес при проектировании большого числа конструктивных элементов, особенно балок и пластин. Таким образом, линейная теория устойчивости упругих тел служит основой для постановки большого числа прикладных задач проектирования. Даже если для точного расчета величины разрушающих нагрузок необходимо учи­ тывать нелинейные эффекты, адекватное качественное решение час­ то получается на базе линейной теории.

Метод конечных элементов играет важную роль при решении задач линейной теории устойчивости, потому что с его помощью можно учесть нерегулярности нагружения и геометрии конструкции, которые не поддаются учету в классических методах. При исполь­ зовании классических методов для анализа конструкций, созданных из материала с анизотропными свойствами, встречаются те же труд­ ности. Кроме того, концепции и конечно-элементные соотношения, соответствующие линейной теории, служат базой для построения нелинейной теории устойчивости.

Как и в других разделах теории метода конечных элементов, из­ учение устойчивости упругих тел состоит из двух этапов: (1) форму­ лировки соотношений для элемента и (2) решения полной системы. В гл. 5 и 6 показано, что существует много путей построения конеч­

но-элементных соотношений и достаточное число способов реали­ зации указанных операций. Ниже рассмотрим лишь принцип стаци­ онарности потенциальной энергии, в качестве предполагаемых по­ лей рассматриваются поля перемещений, а соотношения для эле­ мента, отвечающие указанному подходу, имеют вид уравнений жесткости. Следовательно, изучение всей конструкции осуществ­ ляется с использованием уравнений жесткости посредством метода перемещений. Высокая универсальность и гибкость вычислитель­ ных программ конечно-элементного анализа жесткости, написанных для анализа задач статики, позволяет применять эти программы с небольшими изменениями и для анализа линейной теории устой­ чивости упругих тел.

Общая теория конечно-элементного анализа устойчивости упру­ гих систем приводится в разд. 13.1. Далее следуют разделы, в кото­ рых излагаются вопросы, в основном касающиеся призматических

ипластинчатых элементов.

13.1.Общая линейная теория анализа устойчивости

Сначала рассмотрим призматический элемент постоянного сечения (рис. 13.1), который часто встречается в пространственных фермовых конструкциях и в качестве ребра жесткости в подкрепленных

Рис. 13.1. Призматический элемент.

пластинах и оболочках. Этот элемент позволяет проиллюстрировать формулировки жесткостных свойств конечного элемента в задачах линейной теории устойчивости и в то же время дает возможность вникнуть в ключевые аспекты, присущие всем конструктивным формам.

Предполагается, что элемент работает только на растяжение и изгиб, деформацией сдвига пренебрегаем. Поэтому имеем следую­ щее уравнение, связывающее деформацию и перемещения:

Здесь первый и второй члены — известные компоненты осевой и изгибной деформации соответственно, а третий член, который является

нелинейным по w, представляет собой связанную деформацию изгиба и растяжения. Появление этого члена поясняется на рис. 13.2, где изображен элементарный отрезок длины в деформированном

состоянии. Длину dx после деформации можно представить в виде

Разлагая это выражение в ряд, имеем

а х = [ 1 + т [ ж ) + - - - ] dx-

Этот ряд обрезается после второго члена, который равен третьему члену из выражения (13.1) и характеризует вклад указанного эффекта в полную осевую деформацию.

Z,W'

Меногруженное

состояние

■ >~х, и

Рис. 13.2. Вид смещения.

Энергия деформации для элемента дается выражением

vol

и после подстановки выражения (13.1) в (13.2) (причем d(vol) =

=d.Adx) получим

- * ( $ ) ( т ) ‘+ (§ )(5 Л е"*'- <133>

Затем выполним интегрирование по толщине элемента, учитывая, что

при 2, отсчитываемом от срединной линии. Имеем следующее выра­ жение:

(£)(£)*+т(£)‘]Е dx.

(13.5)

Далее, чтобы преобразовать выписанные выражения в соотно­ шения линейной теории устойчивости, опустим член более высокого порядка (A/4)(dw/dxy и заметим, что при предположении о возмож­ ности независимого анализа напряженного состояния до наступле­ ния выпучивания осевая сила Fx связана с осевой деформацией линейным соотношением

где величина Fx положительна при растяжении. Поэтому выраже­ ние (13.5) приводится к виду

«"--НИ!9,+и(£)‘+'.(*),Ь

Таким образом, выражение для энергии деформации приводится к форме, в которой энергии осевой и изгибной деформации не связаны друг с другом, т. е.

Здесь энергия Uа относится к осевым деформациям, реализованным перед наступлением выпучивания.

Можно теперь сосредоточить внимание на случае изгибной де­ формации, предполагая, что решение для осевой силы находится независимо, согласно принципу минимума потенциальной энергии.

Используя концепции гл. 6, можно выписать уравнение Эйлера для функционала (13.10) в виде

Это хорошо известное уравнение, описывающее выпучивание балки.

При изгибе тонких пластин соотношения связи между переме­ щениями и деформациями, соответствующие (13.1), имеют вид (рис. 13.3)

Проводя выкладки, полностью аналогичные приведенным выше, по­ лучим расширенный функционал энергии изгибных деформаций для изотропных пластин

+т)г«' (ID’^+Tjjv (&)'dA+

А

где t — толщина пластины, a axt, oyt и xxyt — интенсивности уси­ лий в срединной плоскости (мембранные усилия), т. е. силы.на еди­ ницу длины.

z, w

Рис. 13.3. Н апряжения, действующ ие в срединной плоскости пластины при из­ гибе

Функциональное представление поперечных смещений можно опять записать в виде w= |_ N J {А/}. При подстановке функции пе­ ремещений в (13.19) получим

где [kjj — обычная матрица изгибной жесткости и

то (13.20) примет тот же вид, что и (13.13).

Интересно отметить, что члены, описывающие эффекты потери устойчивости, имеют геометрическую природу и не зависят от свойств материала. Следовательно, способ учета этих эффектов одинаков как для изотропных, так и для ортотропных пластин; т. е. [k^l не зависит от степени анизотропии пластин.

13.2. Глобальная формулировка

Потенциальная энергия для системы получается простым сумми­ рованием потенциальных энергий отдельных элементов. Поэтому глобальная потенциальная энергия имеет тот же вид, что и энергия элементов, т. е.

= 2 п'р= Ц г ~ L К, J {4,| + - Ц р 1-[К,]{4,) + V, (13.24)

где в данном случае

Здесь суммирование производится по всем элементам системы. Век­ торы {А/} и {Р} суть перемещения и приложенные нагрузки со­ ответственно. Заметим, что {Р} соответствует нагрузкам, связанным с изгибом. Здесь опущены нижние индексы /, так как они уже ис­ пользовались для обозначения сил, связанных со свободно переме­ щающимися узлами. Здесь необходимо подчеркнуть, что в задаче имеются силы {Ра}, связанные с деформированием в осевом направ­ лении, которые, однако, не входят в {Р}. Считаем, что нагрузки консервативны, т. е. работа этих сил V на любых кинематически возможных перемещениях зависит только от начальной и конечной конфигураций системы. Тем самым исключаются случаи, когда направление действия силы «отслеживает» направление отклонен­ ного элемента системы, на который эта сила действует.

Для условий равновесия в невозмущеином состоянии, т. е. когда осевая сила меньше критической нагрузки, применение прин­ ципа стационарности потенциальной энергии в виде равенства нулю первой вариации от Пр (т. е. 6ПР=0) приводит к уравнению жесткости

{Р}=[К/1{Д/}+[Кг]{А/}. (13.25)

При этом {Д/} можно определить из уравнения (13.25), исполь­ зуя обычные средства, причем мы придем к результатам, учитываю­ щим взаимодействие осевого и поперечного деформирования, влия­ ние осевых нагрузок на жесткостные характеристики балки. Сле­ дует отметить, что таким образом можно учесть эффект увеличения изгибной жесткости при действии растягивающих нагрузок.

Чтобы рассмотреть вопрос потери упругой устойчивости, когда интенсивность системы осевых нагрузок, вызывающих выпучива­ ние, еще не известна, инкрементальная матрица жесткости должна быть вначале подсчитана численно при произвольно выбранной интенсивности нагрузки (предполагается, что распределение осевых сил фиксировано). При выпучивании считаем, что интенсивность системы осевых нагрузок в со раз больше произвольно выбранной интенсивности сил {Ра}, использованных при построении матрицы [kg], поэтому уравнение равновесия принимает вид

В этом месте необходимо рассмотреть условия 'нейтрального равновесия; они определяют собственное значение со и отвечающую ему моду выпучивания {Асг}. Необходимую информацию нельзя получить, рассматривая первую вариацию функционала потенци­ альной энергии, поэтому следует выписать вторую вариацию 6Ч1Р=6(6ПР).

Из рис. 6.2, на котором схематически изображена зависимость потенциальной энергии от некоторого представительного параметра перемещения А, следует, что в состоянии устойчивого равновесия 62ПР> 0 , а для нейтрального равновесия 62ПР=0. Последнее усло­ вие определяет точку бифуркации искомого решения. Теперь, при­ менив эти условия к (13.24), запишем вторую вариацию потенци­ альной энергии в виде

где символом | | обозначен детерминант.

Таким образом, имеем условие, согласно которому детерминант матрицы (13.27) равен нулю. Альтернативой этому условию являет­ ся то, что не существует единственного решения (условие бифур­