1112
.pdfк различным результатам, что делает расчет неопределенным и не сопоставимым.
На фиг. 70 показаны две кривые, проходящие через эксперимен тальные точки, с различными значениями производных. Аналити ческое определение производных, особенно для начальной точки а = 0, обладает, как правило, большей точностью и вносит необ ходимое единообразие.
Остановимся на вычислении интеграла |
|
;/« ) < * 6. |
(29) |
о |
|
входящего в формулу (12).
Эти вычисления не требуют особой точности, и допустимо исполь зовать обычное правило тра пеций.
Если интеграл вычисляет ся для значения а = а„, то
°п |
п |
^ |
^ |
^ A |
i - y ( |
/ i _ |
i |
+ |
|
|
J |
1/) ^( £ |
|
|
|||||||
0 |
*=1 |
|
(30) |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
ft), |
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
= ац—at—j — толщина |
и |
а* |
|
а? |
аз |
а |
|||
слоя |
между |
сечениями |
Фиг. 70. |
Различные |
приближения |
для |
||||
И а* |
(величина |
/ 0 = |
0). |
действительной кривой |
/ (а). |
|
||||
Например, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а* |
|
i |
АгЬ + |
л |
/2) + |
А |
|
/з)- |
|
|
/ / « ) < * £ = - - |
\ Д2 (Л + |
~Y Дз (/■ + |
|
В практических расчетах интеграл (29) часто вычисляют как площадь, ограниченную кривой / (а) до данного сечения а. Такое определение дает в большинстве случаев достаточную точность, но более громоздко, чем расчет по равенству (30).
д. в практических задачах часто наибольший интерес предста вляют остаточные напряжения в поверхностных слоях. Для поверх ностного слоя справедлива формула (22). Для других значений а приходится использовать общую формулу (12). Однако можно показать, что если суммарная толщина снятых слоев а мала по срав нению с h, то расчет упрощается. Для приближенной оценки порядка величин слагаемых в формуле (12) примем
|
/ / ( Ю 1~ < - *| - / ( |
Ф |
« |
> |
тогда |
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
о(а) = ^ г [(ft - ay |
- 4 (ft - a) f (а) + / |
(а) •а] . |
|
(31) |
Из этого равенства видно, что основное значение при малых а имеет первый член.
Если |
h— а |
—а— > 40, |
то второй член составляет приблизительно 10% от первого, а тре
тий менее 0,1%. Анализ показывает, что при — > 15 можно пре
небречь последним слагаемым в формуле (12) и определять остаточ ные напряжения в поверхностных слоях по равенству
а (а) = - f r [(Л - а)* (а) - 4 (h - а) / (а)] (32)
Ту
При — > 50 достаточно при вычислениях сохранить только
первый член |
|
|
0 |
- ж |
<33> |
Е. Формула для определения остаточных напряжений в стержне прямоугольного сечения была впервые установлена Н. Н. Дави-
денковым [39] в |
следующем |
виде: |
|
а —Да |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
/ ч |
4 Я |
/ ( й - я ) 2 |
Д / „ |
|
V * |
с |
Д £ |
|
||
о(а) = — |
^ -з — |
-д З -Ф - |
2 j S -Т^ г |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
о |
\ |
ъ |
|
|
|
|
|
|
|
а —Да |
|
|
||
- |
(й + |
Да — 2а) /а_ Да - |
2 |
W ] |
, |
(34) |
||||
где |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
<Р= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1- |
Д а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h— а |
|
|
|
|
(35) |
|
|
|
5 = |
№ |
- ? |
) 2 А / |
ф. |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
ДБ |
|
|
|
|
Для вывода рассматривались слои конечной толщины Да. В пре делах снимаемого слоя напряжения предполагались постоянными.
Использование суммирования вместо интегрирование было свя зано, по-видимому, с желанием получить результат в форме, при годной для непосредственных числовых расчетов.
Если применить интегрирование, что представляется более оправ данным для вывода теоретической формулы, и отбросить члены бо лее высокого порядка малости, то формула Н. Н. Давиденкова при обретает следующий вид:
»<«>= Ж - |
г / ( О - 6 ) ^ - ( ! ) < * ! - |
|
о |
|
а |
|
—(h — 2а) / (а) — J %df} |
|
о |
или |
|
\h - af -Ц. (а) - (Ah - Ga)f(a) - 2 / |
| <*/] • |
0 |
J |
Учитывая равенство |
|
} t d f = a f ( a ) - f f ( Z ) d t , |
|
находим, что формулы (36) и (12) совпадают.
В работе М. А. Бабичева [4] с целью уточнения расчета предла гаются формулы, которые с математической точки зрения следует считать некорректными (например, формулы содержат слагаемые вида х + dx)^
Представляется более целесообразным применять точные теоре тические формулы, а для уменьшения погрешности при вычисле ниях воспользоваться общими приемами приближенных вычисле ний, как это было изложено ранее.
Точность определения остаточных напряжений возрастает при уменьшении толщины снимаемых слоев.
Основные погрешности связаны с измерением прогибов и толщин слоев, а также с получением достаточной однородности снимаемого слоя.
Например, при определении напряжений в поверхностном слое
приращение прогиба |
|
|
|
Если остаточное напряжение |
о (0) = |
10 кГ/мм2, |
= 10, Е = |
= 2 • 104 кГ/мм2, то |
|
|
|
Д/ = |
0,04 Да. |
|
|
При Д а = 0,1 мм приращение прогиба ? Д/ = 0,004 мм, что измеряется со значительной погрешностью. Для повышения точности
.метода следует применять большие отношения
Пример расчета остаточных напряжении^ стержне прямоуголь ного сечения приведен в § 10.
Ж. Расчет остаточных напряжений остается прежним, если ис пользовать в качестве характеристики деформации изгиба взаим ный угол поворота концевых сечений.
Возможная схема замеров показана на фиг. 71. К торцам стержня припаиваются или приклеиваются удлинителц, которые защищаются от стравливания; расстояние между перекрестиями I + б измеряется
микроскопом. Угол поворота |
сечения |
|
о _ |
1 |
Ml |
Р ” |
2 |
EJ |
6 = 2Р Я = 4 ^ _ . |
(37) |
п |
|
соотно^ниРеа7 зТ 7 а 1 ',?тГомМ(3™ ° СТйеТСЯ |
^ |
8аменить |
остаточных* на^яженийИМ СледующУю Формулу для |
определения |
|
CT(a)==- f ‘ Щ & ~ а)г ^ ~ ( а ) - 4 ( к ~ а ) 6 ( а ) + |
21 6 (t)d t] . (38) |
|
|
о |
J |
Рчность расчета по формуле (38) выше, чем по соот
ношению (12) в |
-в •4 |
' |
величин б и /). |
3 = в раз (при одинаковой точности измерения |
|
|
|
|
10. НЕКОТОРЫЕ |
ПРАКТИЧЕСКИЕ УК АЗАН И Я |
И ПРИМЕР РАСЧЕТА |
А.Остановимся на
ления остаточных пап ^которых практических вопросах опреде-
щем параграфе. ОбГт РЯЖеНИИ по мет°ДУ> изложенному в предыдувляют собой образп>НО стержни прямоугольного сечения предстаформы. При вырезке й3 деталей более сложной геометрической чтобы сама операцияп°бразцов следует обращать внимание на то,
напряжений. |
“ Ырезки не внесла дополнительных остаточных |
Для вырезки |
обрачттг. |
тод или резка шлифо Ц°В часто применяется электроискровой меохлаждепием эмульсИВЗЛЬ^ым КРУГ0М с малой подачей и обильным вляется с помощью элеИ‘ ^нятие слоев материала обычно осущестболее гладкую поверх ектролитическ°г° травления, что обеспечивает
для электролитическог°СТЬ’ чем обычное травленпе. Схема установки перемешивания иногп ° тРавления показана на фиг. 72. Для лучшего
ние электромотором Да используется мешалка, приводимая во враще-
взависимости от соста0ОЛЬШОЙ М0Ш'Н0СТИНапряжение на электродах
впределах 2—30 в ПпВа электролита и других факторов колеблется
---------------- ’ отность тока 1 10—30 а!дм2, температура элек-
у/ |
1 Пл0Т1ЮСТЬ ток* относится |
„ |
и |
ь |
|
к |
1 |
°мАстравливаемой поверхности. |
тролита 20—60° С. Электролит обычно содержит фосфорную и сер ную кислоту с небольшой добавкой хромового ангидрида.
Например, для сталей 45 и 18ХНВА применялся состав [45], содержащий 850 см3 Н3Р 04 с удельным весом 1,56, 150 см3 H2S04 с удельным весом 1,89 и 50 г хромового ангидрида.
Для жаропрочных сплавов на никелевой основе используется электролит, содержащий 45% Н3Р 04, 45% H2S04 и 10% воды. Со став электролита и параметры процесса (напряжение, плотность тока, температура) подбираются из условия равномерного снятия металла и недопущения точечного разрушения поверхности и растравливания границ зерен. Применяется также простое травление 30%-ным
Фиг. 72. Схема установки для электропо |
Фиг. 73. |
Риски на боковой по |
|||
|
лирования: |
|
верхности |
образца для измерений |
|
1 .— анод (исследуемый образец); г — катод (свин |
прогибов |
на универсальном ми |
|||
цовая пластинка или |
пластинка ив материала |
|
кроскопе. |
||
образца); |
з — ванна |
ив кислотоупорного |
мате |
|
|
риала; 4 — электролит; 5 — трансформатор; |
б — |
|
|
||
селеновый |
выпрямитель; 7 — реостат; 8 — вольт |
|
|
||
|
метр; 9 — амперметр. |
|
|
|
раствором азотной кислоты или «царской водкой» (3 объемные части HG1 и 1 часть HN03). Следует обратить внимание на меры предо сторожности при работе с электролитом и кислотами (вытяжной шкаф, защитные очки, резиновые перчатки и т. д.).
Поверхности образца, которые не должны подвергаться травле нию, защищаются специальными лаками или воском. Температура плавления воска ~56° С, и потому при его применении температура электролита не должна превышать 30°.
Б. Для точного измерения прогибов используется универсаль ный микроскоп. Для проведения измерений боковая поверхность образца полируется и на ней наносятся риски алмазным или побе дитовым наконечником (фиг. 73).
Риски должны быть тонкими и располагаться иа линии, парал лельной оси стержня, ближе к защищенной поверхности.
Точность измерения прогибов (смещения перекрестья В относи тельно прямой, соединяющей перекрестья А и С) составляет на уни версальном микроскопе 1—2 мк.
Более просто измерение прогибов осуществляется на индикатор ных приборах, имеющих цену деления 2 мк (фиг. 74). Прогиб
f(tO б(а)
нм кГ/мм*
Фиг. 75. Прибор для определения остаточных напряжений |
Фиг. 76. Эпюра остаточных напряжений |
при непрерывной записи прогиба. |
в стержне прямоугольного сечения. |
з-
3
3
к,
Определение остаточных напряжении в стержне прямоугольного сечения (методом замера прогибов)
|
Ю00 СО05 |
прогибов) зависит от размера по |
|
«*Н |
см тНОО^тнО |
перечного сечения и обычно соста |
|
O0500CDC000 00 C0 |
вляет несколько |
миллиметров. |
|
? ! |
ю^со 1 1 1 1 |
||
я |
|
Механические |
способы снятия |
X05 СМ CM CD слоев применяются для исследова
чНЮСО05 CDСОСО
СО05 О 00 ЮСО00 ния остаточных напряжений в сече
оО см^г^г^сою
* Х я
1
х^
i* \ * i & X
м
а
я
UJ>
'd
^ сл UP 3
•Г* *
OI
оо о о о о о
II 1 1 1 1 1
СОНО^ см со со ю OOsfs^OOiOOCO смсмюсмюооо
^ч?СОтнОООО,‘ 1 1 1
СО^ СОЮt'- l^O-^CD
«ТН LOЮСМ О 05 СОсо
.СМСМСМСМСМ^-^ч-^н
о |
05 |
-гЧСО СМсо |
00 vj<00 00 со |
||
|
СОЮЮ^^СОСМт-ч |
«гН^НгН^Н^Н^Н^-t^-l
по
ОСО-r-1 L—со 00 ^
05 О О чг"1СОчНСО05 05 OOr4Nsl<C0 05
оО О СМООО
ОО О © © О О
нии стержня при достаточно плав ном их изменении.
Д. Рассмотрим пример расчета остаточных напряжений1. Для ис следования был взят образец пря моугольного сечения с высотой се чения h = 1,6 мм и расчетной дли ной I == 50 мм. В табл. 1 даны в первых столбцах: Д< — тоДщина
снятого |
слоя на рассматриваемом |
||||
этапе травления, |
а* — суммарная |
||||
толщина |
снятого |
слоя |
и прогиб |
||
/ (at), |
соответствующий |
этой тол |
|||
щине. |
Величина Ai = |
а\— ai_ |
|||
Для |
вычисления |
производной |
|||
(at) |
использовалась |
формула |
ч*
ОС
н-,1 d 'd I’d
1>
я
s ! со
Я
тн <; ш й гя
ii
я
нсо
я
~з |
<N |
< ^ |
|
я |
|
|
- |
ю оо _ СОСМСМООСМООООСО r^COCOv^v^CMlOCM со со ч£но см о о о
г н н н о о о о о " 1 1 1
1>-05[^-—ЧСОСО^ОО |
|
СОСМСМ-ЧН |
-^ч |
1 |
1 |
00 00 05 СОО 1^ ю |
|
05 05 ЮСО05 00 05 СО |
|
сососмюсосососо |
|
1 |
|
|
со |
00 СО00 со |
|
CN1LO^©Ю |
ЮС» |
|
СОЮvf СОСО |
|
05 1>^Л0О1ЛЮ |
||
105 05 |
СОСОО НОПО |
|
1СМСМ I >НтЧ |
1 1 |
|
I I |
1 II |
11 |
Юt"- 05 t'- |
Ю |
|
^О^'гЧСОСОСОСМ |
||
' О 05 |
тНчгЧ |
■ч-* |
о о о о о о о |
||
СО05 |
|
00 |
,—.О СМч-ч СОСМч-ч СО |
||
°О О П П СМСО |
||
О О О О О О О |
СОСОООСОО 00 СО ,—,О СМ00 vf1СО05 ч-ч ° О О О О О © чгч
О О ООО со о
OrHCMcOvfiOOt^
(28) предыдущего параграфа, кото рая записывалась в следующей форме:
|
|
—дi+1 |
|
+ |
|
|
Д«(Д{ + Д4+1) |
||
|
|
|
||
|
д {+1 — |
{ |
|
|
+ ' • ( |
д |
4 д + |
|
|
|
+1 |
|
|
+ / i + i ( *i+i ( 4 W i ) )
=+ fiKj2>+ fi+iK\3).
Эта формула справедлива для всех значений а*, кроме двух край
них. |
Для |
начального |
значения |
|
i ~ 0, а0 = |
0, /о = |
0 но |
формуле |
|
(25) |
предыдущего |
параграфа |
||
|
|
( |
^1^2 |
/ + |
|
7 Г <*> = #» \ |
|||
|
- А |
, |
|
|
+/г |
А2 (Ai+ Да)) =fxK\ |
|
1Исходные данные взяты из работы
Г.П. Мещаниновой. Расчеты в этом примере и дальнейших проведены
Р. М. Пипко.
Для последнего снятия слоев i = |
п, и, применяя формулу (28) |
|||||||||
для |
крайней |
абсциссы, получим |
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
( » , ) - / - » |
( д_ |
, , / Д |
+ап, ) + |
/ . - , X |
|
|||
|
, / - ( л „ - 1 + Дп) \ |
/ |
Дп+ ( Д п - 1 |
+ |
Дп) |
\ _ |
|
|||
|
Ч |
Дп-1Дп |
) + |
/ я 1 |
Д „ ( Дп- 1 |
+ |
Дп) |
) |
|
|
|
|
= / п- 24 |
‘ Ц |
|
|
|
( 3 ) |
|
|
|
|
|
fn-iK™ + fnK(ns |
|
|
|
|||||
В столбцах 5, 6 и 7 даны значения коэффициентов |
Х (2) и |
|||||||||
К^\ |
Значение производной |
(а*) |
указано |
в столбце |
8. Далее |
идет вычисление интеграла по формуле (30) (столбец 9). Остаточные напряжения а (а\) получаются как сумма значений в столбцах 12, 13 и 9, умноженная на величину
4Е |
4 •2,2 •104 |
кГ/мм4. |
3I2 |
3 •502 |
|
Из таблицы видно, что до аз = 0,117 мм основное значение имеет только первый член формулы (12). Эпюра остаточных напряжений приведена на фиг. 76.
11. СТЕРЖНИ ПРЯМОУГОЛЬНОГО СЕЧЕНИЯ (МЕТОД ЗАМЕРА ДЕФОРМАЦИЙ)
А. В современной измерительной технике широкое применение получили проволочные тензометры. Они используются также для исследования остаточных напряжений.
с1 / V s ; ; ; |
/ ; ; ; s ?'У/ / у |
Ч |
I |
||
л _ ' > s / s / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / У |
|
|
Проболочныи тензометр |
|
|
Фиг. 77. Замер |
деформаций с помощью проволочного |
|
|
тензометра. |
|
Рассмотрим определение остаточных напряжений в стержнях при замере деформаций проволочными тензометрами. Пусть тензо метр наклеен на нижней грани стержня (фиг. 77) и защищен от стра вливания.
Последовательность вывода расчетной зависимости остается та кой же, как и при замере прогибов. Напряжение о* (а), существую щее в слое а после удаления всех предыдущих слоев, может быть пайдено, если известно изменение деформации d е при снятии слоя da (фиг. 78).
Так как снятие этого слоя эквивалентно приложению усилия а* (a)bda, то в крайнем нижнем волокне возникнут напряжения изгиба
а* (а) bda - iи- (h — а)
da а
-L ( h - a)*b
О
инапряжение растяжения
d<rp = ff* (a )-jC T '
Приращение деформации в крайнем волокне
7 о _ |
dOu . |
d Ор |
_ |
3о* (а) da . |
а* (a) da |
_ |
2а* (a) da |
||
а г ~ |
"г |
£ |
— |
E(h — a) |
Е (h— a) |
|
E ( h — a ) ‘ |
||
|
|
|
|
£777^. |
Из |
этого равенства выте |
|||
/6 -7 С - |
|
|
кает |
|
|
|
|||
|
|
|
/ |
o*(a) = |
- ± E ( h - a ) 4 £ . m |
||||
и " * " 7 ^ * 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 |
/ |
||||||||
|
|
|
|
|
|
Для вычисления истинных |
|||
|
|
|
|
|
|
(первоначальных) остаточных |
|||
Фиг. 78. |
Определение |
напряжений а* (а) |
напряжений в слое а необхо |
||||||
димо |
знать, какие дополни |
||||||||
при измерении деформации. |
|
тельные |
напряжения воз |
||||||
|
|
|
|
|
|
никли |
в |
этом слое. |
|
Если в данный момент (см. фиг. 64) снимается слой |
£ (что экви |
||||||||
валентно приложению |
усилия |
сг* (£) bd |, то |
в слое |
а возникают |
напряжения изгиба и растяжения, которые могут быть определены по равенству (7)
d о* = 3 а* (6) d £ + а* (g) d g. (41)
Напряжение а* (£) в самом слое £ после снятия предыдущих слоев можно найти из формулы, подобной равенству (40)
а * ф = |
- - | - Я ( Ь - £ ) 4 г - |
(42) |
|
Теперь из соотношений (41) и (42) получим |
|
||
doe = |
j - E |
- f f - r f g . |
[(43) |
Дополнительное напряжение в слое а, возникшее в результате
снятия предыдущих слоев, |
равно |
|
с =, j d a , = - 4 - Е f |
i t . |
|
о |
о |
|