1112
.pdfНаиболее просто определяется сумма главных напряжений в по верхностном слое. Направляя луч нормально к поверхности металла, находим из формулы (2)
F |
d . — dn |
|
a 1 + a2 = - i r - |
V > ; |
(13) |
в этой формуле d± представляет собой расстояние между кристалло графическими плоскостями при направлении рентгеновского луча перпендикулярно к поверхности.
Первоначальное расстояние между соответствующими плоско стями dQможно найти, проводя такое же измерение для ненапряжен ного слоя (например, для материала
вотожженном состоянии).
Вбольшинстве случаев более важно найти не сумму главных напряжений,
анапряжение в заданном направлении. Это достигается с помощью съемки (облучения) под углом ф к нормали поверхности.
Для использования результатов косой съемки необходимо знать некото рые зависимости теории упругости. Они необходимы также и для расчета оста точных напряжений в общем случае.
В. При любом напряженном состоя нии можно найти три главных напра вления (фиг. 166), обладающих тем свойством, что в площадках, перпенди
кулярных к указанным направлениям, действуют только нормаль ные напряжения, а касательные напряжения отсутствуют.
Для поверхностного слоя детали (свободной от внешних нагрузок) одно из главных направлений (ему приписывается индекс 3) нор мально к поверхности (о3 = 0). Два других главных напряжения создают двухосное напряженное состояние в поверхностном слое.
Из уравнений упругости (для равномерно нагретого тела) дефор мации в главных направлениях выражаются следующими равен
ствами (а3 = 0): |
|
|
ех = -jr-(а, — ца2); |
(14) |
|
е2 = |
4 - (<т2 — № ); |
(15) |
е3 = |
— 2Г (ai + о2). |
(16) |
Пусть падающий рентгеновский луч (фиг. 167) составляет угол* ф с нормалью к поверхности и лежит в плоскости, образующей угол ф с координатной плоскостью 7, 3.
1 Углы ф и ф представляют собой сферические координаты направления tyroл ф — широта, и угол ф — азимут).
13 |
Заказ 288. |
193 |
|
Деформация в этом направлении
еф|^ = 8^2 + е2т 2 + е3п2,
где /, m, п — косинусы углов, составленных рассматриваемым на правлением с осями координат соответственно. Легко видеть, что
п = cos ф.
Величины I и т устанавливаются из фиг. 168, где некоторые прямые углы зачернены:
I = cos а = cos cp sin ф; т = cos Р = sin ф sin ф.
Фиг. 167. |
Ориентация |
падающего |
Фиг. 168. К определению направляю |
||||
рентгеновского |
луча. |
|
|
щих |
косинусов. |
|
|
Таким |
образом, |
|
|
|
|
|
|
|
8Ф, яр= ех cos2 ф sin2 ф + |
е2 sin2 ф sin2 ф + |
е3 cos2 ф. |
(18) |
|||
Если внести в это равенство соотношения (14) — (16), то получим |
|||||||
следующую важную |
формулу: |
|
|
|
|
||
|
8ф, 11) = |
[— |
+ |
(1 + |
COS2 ф sin2 ф] + |
|
|
|
+ Цг [— М- + |
(1 + |
ц) sin2 <р sin2 ф]. |
(19) |
В дальнейшем окажутся необходимыми некоторые соотношения для плоского напряженного состояния.
В площадке, нормаль которой составляет угол ф с направлением 1, действуют нормальное и касательное напряжения (фиг. 169)
Оф = |
о1! cos2 Ф + а2sin2 ф; |
(20) |
т ф = |
— ffi) sin ф cos ф. |
(2 1 ) |
Если угол с направлением 1 равен ср + ~ , то нормальное на
правление
а |
я = огsin2 Ф + |
or2 cos2 ф; |
(22) |
‘f |
2 |
|
|
|
. я — |
) |
(23) |
|
ф+т |
|
|
последнее равенство выражает свойство парности касательных на пряжений.
<Dnг. 169. Напряжения в различных пло- |
Фиг. 170. Определение нормального |
||
щадках при плоском |
направленном со- |
направления в поверхностном |
слое |
стоянии. |
в произвольном направлении. |
||
Уравнения (22) |
и (23) получаются из соотношений (20) и |
(21), |
|
осля применить их для угла ф + |
. Отметим, что из уравнений (20) |
||
и (22) вытекает |
яф+а я=сгх+а2, |
(24) |
|
|
|
|
Ф+ Т
т. е. сумма нормальных напряжений в двух взаимно-перпендикуляр ных площадках постоянна.
Равенство (20) удобно представить в следующем виде: |
|
|||||
<т„ = |
4 - (*1 + |
ai) + \ (01 - |
ста) cos 2Ф- |
|
(25) |
|
Нормальное напряжение в площадке, нормаль к которой соста |
||||||
вляет угол ф + а с |
направлением 7, будет равно |
|
|
|||
Оф + а = |
\ |
{О! + |
<*2) + -J- (^1 - |
° 2) cos 2 (ф + |
а). |
(26) |
В. Рассмотрим |
сначала |
определение |
нормальных |
напряжений |
(в поверхностном слое) в произвольном направлении (фиг. 170). Этому произвольному направлению соответствует угол ф (см. фиг. 167).
Как будет показано в дальнейшем, для решения задачи вычи сления ф не требуется, т. е. направление главных напряжений не устанавливается.
Для определения остаточного напряжения в произвольном на
правлении ф необходимо провести |
две съемки: одну по нормали |
к поверхности и вторую под углом |
г|э к нормали и так, чтобы па |
дающий луч лежал в плоскости, содержащей нормаль и направле ние ф (фиг. 170 и 171). Образец должен быть повернут относительно оси аа (фиг. 170).
Расстояние между кристаллографическими плоскостями при первой съемке (пормально к поверхности) обозначается d±, соответ
ствующее расстояние при второй съемке |
Установим расчетные |
||||
зависимости для определения |
аф. |
|
|
||
Уравнение (19) запишем в следующем виде: |
|
||||
вф, у = -----1 - К + |
а2) + |
sin2 а|) (аг cos2 <р + а 2 sin2 q>). |
(27) |
||
Если учесть, что |
|
|
|
|
|
----- (а1 + |
°гг) = |
|
|
||
|
вф,Ф |
|
|
(28) |
|
|
|
|
|
||
и использовать соотношение (20), то найдем |
|
|
|||
^ |
d0 |
_ |
1+|ХЕ sin2фсгф. |
(29) |
Величина do мало отличается от d±, так как упругие деформации
вматериале малы. С погрешностью, меньшей 0,1%, можно положить
^^ф ^JL
d0 dj^
и тогда |
|
|
|
гг = |
____ ^____ |
Ф -L |
/*j(jv |
ф |
(l + p)sin2t| |
d± |
Vю' |
Это и есть расчетная формула для определения нормального напря жения в произвольном направлений. Угол ф выбирают обычно в пре
делах |
от |
45° до 60°. |
Г. |
В |
большинстве практических задач можно ограничиться оп |
ределением остаточного напряжения в заданном направлении. В некоторых случаях требуется найти величину и направление главных напряжений. Для этого необходимо сделать четыре съемки —
одну нормально к поверхности и три другие при различных углах ф, но при постоянном угле ф (фиг. 172).
Выбрав произвольно направле ние первого косого снимка, целе сообразно провести второй под
углом - у - » |
а третий — по |
биссек |
|
трисе угла |
между ними. |
|
|
По формуле (30) могут быть вы |
|||
числены напряжения аф, |
а |
л , |
|
|
|
|
ф +— |
ая . Задача заключается, в сущ-
ф+ —
ности, в определении главных на пряжений по известным значениям нормальных напряжений в трех направлениях.
Фиг. 472. Определение величины и направления главных напряжений.
Из соотношения (26) для а = 0; -у и -у- будем иметь
|
= J |
(<*1 + |
С2) + |
J |
(ах — <х2) cos 2<р; |
(31) |
|
а |
= |
1 |
(а! -J- а2) — |
(0! — а2) cos 2ф; |
(32) |
||
|
ф + т |
* |
|
|
|
z |
|
а |
Я = |
т |
(^l + <J2) — 4- (<*1 — <*i) sin 2ф. |
(33) |
|||
|
ф + т |
L |
|
|
|
|
|
Из этих уравнений |
получаем |
|
|
|
|||
|
СУф |
|
О |
я = (^1 |
^2) COS 2 ф, |
|
|
|
|
|
Ф + у |
|
|
|
|
0 |
^ я — 4- (сг! + |
02) = |
— 4" (ai — °а) sin 2ф- |
(35) |
|||
Учитывая равенство |
|
|
|
|
|
||
|
|
ст* + (Уа = |
"f* 0 , я_» |
|
|||
|
|
|
|
|
|
Ф+ о |
|
находим из соотношений (34) и (35) |
|
|
огш+ ог , п ~ - 2а |
|
|
ф+т |
ф+т |
(37) |
° Ч > ~ ° , |
tg 2ф. |
|
Я |
|
|
ф+т |
|
|
Равенство (37) определяет два главных направления1, составляю |
||
щих между собой угол - у • |
|
|
Отметим, что при |
|
|
G(p— G |
п — О |
|
|
Ф+Т |
|
определение главных направлений лишено смысла, так, в этом слу
чае нормальные |
напряжения |
по |
всем |
направлениям |
одинаковы, |
|||||||
и потому любое направление может быть признано главным. |
||||||||||||
После вычисления угла |
ср можно найти разность главных напря |
|||||||||||
жений |
01 — 02. |
|
(34) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из |
уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
аф“ а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
Ф+Т |
|
|
(38) |
||
|
|
|
|
|
|
*2 |
|
соз2ф |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Учитывая соотношение |
(36), |
окончательно |
находим |
|
||||||||
|
°1 = |
Т |
(cos2<p |
|
а<р |
(cos2cp |
|
+ |
(39) |
|||
|
|
|
|
|||||||||
|
= |
у |
|
(cos2q) |
|
|
|
(cos 2qp |
|
(40) |
||
Проиллюстрируем предыдущий расчет следующим числовым примером. |
||||||||||||
Пусть |
определены |
в |
результате съемки |
следующие значения напряжений: |
||||||||
|
о |
= 4 2 кГ[мм2\ |
а |
я = |
— 35 кГ/мм2; |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
Ф+ т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
О |
п = 20 кГ/мма. |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
Ф + Т |
|
|
|
|
|
|
|
Из |
формулы |
(37) |
находим |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
tg 2ф = |
42 — 35 — 40 |
-0,428. |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
42 + 35 |
|
|
|
|
||
Угол 2ф = —23° 10'; |
ф = |
—11° 35'; |
cos 2ф = |
0,91. |
|
|||||||
Из соотношений (39) и (40) получаем |
|
|
|
|
||||||||
|
01- |
т |
[(оЖ |
+ ‘ ) 4 2 + ( 5 5 Г - 1) 35] |
- 45'8 “Г /“ |
‘ ; |
||||||
|
о. = |
|
|
+ |
1) 35 - |
{ т |
~ |
4) '42 ] - |
- ш |
|
||
|
т [ ■- ( т |
|
1 Следует иметь в виду, что тангенс есть периодическая функция, имеющая период, равный я.
Д. Вернемся к вопросу об оценке точности определения остаточ ных напряжений рентгеновским методом. Выше указывались по грешности, связанные с необходимостью точного измерения угла отражения рентгеновского луча. Указанные погрешности можпо сделать достаточно малыми.
Однако это не дает уверенности, что полученные результаты могут быть использованы для достаточно точного определения обыч ных напряжении и деформаций. В практических задачах предста вляет интерес определение именно макронапряжений, так как только с их помощью в настоящий момент может быть проведена оценка влияния остаточных напряжений на прочность.
Два основных вопроса нуждаются в дальнейшем исследовании: определение действительных значений упругих постоянных при осреднении деформации различных кристаллов и учет пластических деформаций. Это последнее обстоятельство весьма существенно, так как оно связано с большой неоднородностью в условиях дефор мации отдельных кристаллов и кристаллитов.
В практических случаях довольно часто наблюдается пластиче ская деформация в поверхностном слое. Это приводит к размытию дублетов линий K ai и Kav
Как уже указывалось, погрешности при определении остаточных напряжений рентгеновским методом могут достигать больших ве личин: 5—20 кГ/мм2. Осреднение напряжений по глубине поверх ностного слоя в 10—20 мк, которое получается в рентгеновском методе, также является в отдельных случаях дополнительным источ ником погрешностей.
Следует, однако, полагать, что возможность определения оста точных напряжений без разрушения детали является таким значи тельным преимуществом рентгеновского метода, что указанные его недостатки будут преодолены.
ГЛАВА 11
РАСЧЕТ ОСТАТОЧНЫХ НАПРЯЖЕНИИ В СТЕРЖНЯХ И КОЛЬЦАХ ПО ПЕРВОНАЧАЛЬНЫМ ДЕФОРМАЦИЯМ
32. ОБЩАЯ ФОРМУЛА ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОСТАТОЧНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ В СТЕРЖНЯХ
А. Рассмотрим стержень произвольного сечения (фиг. 173), в материале которого возникли необратимые изменения линейных размеров. Эти изменения могли произойти вследствие фазовых пре вращений, пластической деформации или других причин. Если линейные изменения во всех напра влениях одинаковы, то возникает объемная деформация, имеющая много общего с обычной темпера
турной деформацией. Рассматриваемые деформации, ко
торые называются первоначальными, вызывают появление напряжений и деформаций в детали. Это и есть обычные остаточные напряжения и соответствующие им деформации, ко торые обнаруживаются с помощью механических или других методов.
Основная задача в этой и после дующей главах — определить остаточ ные напряжения в детали, если за даны первоначальные деформации.
При расчете стержней предпола гается, что напряженное состояние является одноосным: напряже
ния возникают в поперечном сечении стержня |
и |
направлены |
||
вдоль оси стержня. Так как |
размеры поперечного |
сечения малы |
||
по сравнению с длиной, то |
напряжениями в других |
площадках |
||
пренебрегаем. |
|
стержне, |
|
|
Тогда деформация, возникшая в |
|
|
||
e = |
-J- + |
e„, |
|
(1) |
где о — остаточные напряжения в стержне; ео — первоначальная деформация в осевом направлении.
Предполагается, что остаточные напряжения не превосходят
предел текучести материала и вызванная ими деформация ~ являет-
Е
ся упругой.
Используя обычную гипотезу плоских сечений, можно записать следующее равенство для величины смещения точки стержня вдоль
оси: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w = wK+ у у — фж, |
|
|
|
|
(2) |
|||
где ср и |
ф — углы поворота сечения; |
|
|
|
стержня^ |
||||||
|
и?к — перемещение |
начала |
координат вдоль оси |
||||||||
Относительная |
деформация |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
е = — = е 4 - * ± и - Ш - х |
|
|
(3) |
|||||
|
|
|
dz |
|
|
dz У |
dz |
Х' |
|
|
|
В соответствии |
с равенством (1) будем иметь |
|
|
|
|||||||
|
|
а==Е(е« + |
ч г У |
- ч г х) - |
Е&'>- |
|
|
(*> |
|||
Неизвестные параметры деформации Бк, |
и |
могут быть |
|||||||||
определены из |
условии равновесия |
|
|
|
|
|
|||||
|
ja d F = 0; |
jc y d F = 0; |
joxdF = 0. |
|
|
(5) |
|||||
|
F |
|
F |
|
|
F |
|
|
|
|
|
Внося в эти соотношения равенство (4), получим |
|
|
|
||||||||
е |
+ |
|
[ EydF - |
4 г |
J ExdF “ |
J E 4dF = 0; |
|
||||
F |
|
|
F |
|
|
F |
|
F |
|
|
|
e« fEydF + |
4 r |
J Ey4F - |
4 r |
[ ExydF - |
j E y e 0d F ~ 0. |
(6) |
|||||
F |
|
|
F |
|
|
F |
|
F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
eKJExdF + |
4f fEyxdF- 4 r J |
|
e0d^ = |
0. |
|
||||||
В общем случае модуль |
упругости |
предполагается |
различным |
в различных точках сечения (например, биметаллический стержень). Все предыдущие результаты справедливы для произвольных осей
координат я, у.
Уравнения (6) можно существенно упростить, если выбрать на
чало координат в такой точке сечения, что |
|
$ExdF = 0; / EydF = 0. |
(7) |
ЕF
Последние равенства определяют приведенный центр тяжести се чения стержня. Если модуль упругости Е во всех точках сечения одинаков, то приведенный центр тяжести сечения совпадает с обыч ным.
Далее. можно повернуть оси (в плоскости сечения) таким образом,
что
fExydF = 0. |
(8) |
F
В этом случае оси координат являются главными осями сечения. Подчинив выбор осей координат условиям (7) и (8), получим из уравнений (6)
|
|
|
|
|
/ |
E e 0 dF |
|
|
|
|
|
|
|
е« = |
F_______ |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
/ EdP |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
|
|
|
|
|
|
d ф _ |
|
f |
E y e0 dF |
|
|
|
|
||
|
|
|
F |
|
|
|
|
|
(9) |
||
|
|
|
|
|
|
f E y 4 F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J E x e0 dF |
|
|
|
|
|
|
|
~dz |
|
|
|
F__________ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f E x*dF |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
F |
|
|
|
|
|
Теперь из соотношения |
(4) вытекает |
основная расчетная формула |
|||||||||
f |
Е е0 dF |
|
|
f |
E y е0 dF |
|
|
J E x e0 dF |
|
||
o = E\ |
EdF |
+ |
v- |
f |
|
|
+ |
x- |
|
— e„ |
(10) |
f |
E y*d F |
J E x 4 F |
|
||||||||
Для стержней из однородного материала |
(Е = |
const) |
|
||||||||
<* = Е (-Т |
J t 0dF + |
^-x j y e 0dF + |
^ - J x e 0d F - E 0y |
(И) |
|||||||
|
F |
|
|
F |
|
|
|
F |
|
|
|
где F — площадь поперечного |
сечения; |
Jx = / |
y*dF и |
Jv = |
|||||||
=■ f x2dF — главные |
|
моменты |
|
F |
сечения. |
|
|||||
|
инерции |
|
,,F
Формулы (10) и (11) позволяют определить остаточные напря жения до заданным первоначальным деформациям.
Они являются приближенными, так как основаны на гипотезе плоских сечений. Краевые условия на торце стержня удовлетво ряются в смысле Сен-Веиана: главный вектор и главный момент системы напряжений равны нулю.