- •МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ФИНАНСОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
- •Глава 1.1. Основные понятия и математический аппарат
- •1.1.1. Проценты и процентная ставка
- •1.1.3. Числовые последовательности. Прогрессии. Степенные ряды
- •1.2.1. Наращение по процентной ставке
- •Переменная процентная ставка
- •Реинвестирование вкладов
- •1.23. Наращение по учетной ставке
- •1.2.4. Срок долга. Величина процентной ставки
- •Глава 1.3. Сложные проценты
- •1.3.1. Наращение по процентной ставке
- •1.3.4. Непрерывное наращение и дисконтирование
- •1.3.5. Срок долга. Величина процентной ставки
- •1.4.1. Эффективность различных ставок
- •Замечания.
- •Глава 2.2. Потоки с постоянными платежами
- •2.2.2. Современная величина
- •Замечания.
- •Рента с начислением смешанных процентов
- •Глава 23. Потоки с переменными платежами
- •23.2. Относительное изменение платежей
- •Глава 2.4. Сравнительный анализ. Приложения
- •Замечание.
- •2.4.2. Безубыточное изменение потоков платежей
- •Серия "Российская Экономическая Академия им. Г.В.Плеханова"
- •Серия "Индустрия гостеприимства"
- •Серия "Учебники для экономических и неэкономических ВУЗов"
- •Серия "Прогрессивная экономическая мысль Европы"
- •По вопросам приобретения книг и за дополнительной информацией просим обращаться:
20. (Доходность финансовой операции). Контракт предусматривает по гашение долга в сумме 15000 д.е. через 100 дней. Сумма первоначального долга 14000 д.е. Определите доходность операции для кредитора в виде годовой процентной и учетной ставок при начислении простых процентов и временной базе 360 дней.
Глава 1.3. Сложные проценты
1.3.1.Наращение по процентной ставке
Вбанк на депозит положена сумма денег 5(0) под годовую процент ную ставку / или под / 100% годовых. Какова будет сумма вклада при начислении на нее сложных процентов в течение л лет?
Очевидно, что если величина ежегодных процентов при исходной
базе, равной сумме вклада в конце предыдущего периода 5(М ), |
принима |
ет значение, равное /,(1) = 5(/ -1)-/ для любых / = 1,2, |
, л, то к |
концу первого года (т.е. к концу первого периода начисления процентов) вклад станет равным
5(1) = 5(0) + /, (1) = 5(0) + 5(0)-/ = 5(0)(1 + /), к концу второго года (т.е. к концу второго периода начисления процентов)-
5(2) =5(1)+ / 2(1) = 5(1) + 5(1)*/ = 5(0)(1 + /) + 5(0)(1 +/)•/ =
=5 ( 0 ) - (l+ /)(l+ 0 = 5 (0 )(l+ i)2;
кконцу третьего года -
5(3) = 5(2) + / 3(1) =5(2) + 5(2)/ = 5(0)(1 + 0 2 +5(0)(1 + ;)2•/ =
|
= 5(0)-(1 + /)2-(1 + 0 = 5 (0 ) (1 + /)3; |
|
|
||
и т.д. (рис. 9). |
г » |
|
|
|
|
0 |
1 |
3 |
п |
[года] |
|
т |
S(0)-(1+ /) |
|
| |
|
|
|
|
Я(0)-(1+ / ) | |
|
|
|
|
....................................................... ................... |
*|s(0) ( l + / ) 3 |
|
Рис. 9 Полученная таким образом последовательность 5(1), 5(2), 5(3),
величин наращиваемого ежегодно сложными процентами вклада образует геометрическую прогрессию с первым членом 5(0)*(1 + /) и знаменателем (1 + /). Следовательно, величина наращенного вклада в конце л-го года (л-го периода начисления процентов) может быть найдена по формуле л-го члена геометрической прогрессии, а именно
5(п) = 5(0)(1 + 0(1 + 0 ""' = 5(0)(1 + 0"
Таким образом, получена формула |
|
S(n) = S(Q) •(l+i)" |
(ЗН) |
суммы наращенного долга при начислении сложных процентов по про центной ставке / в течение л периодов.
Величина (1+ |)я является множителем наращения сложных про
центов но процентной ставке / за л периодов. Для часто используемых в расчетах значений / и л величины множителя наращения сводят в таб лицы.
Если на каждом этапе / ( / = 1 , 2 , ..., к) срока вклада процентная
ставка /, меняется, то величина наращенной суммы может быть определе на по формуле
|
|
|
к |
|
|
5(П)=5(0).(1 + /|)П' |
(l+»2)"2 - 0 |
+ /*)"* = 5(0).П (1 + /,)"' . |
|
||
|
|
|
/=I |
|
|
где и, число периодов начисления сложных процентов на /-ом |
этапе сро |
||||
ка вклада и Л = Л | + Л 2 + |
+ л*. |
|
|
|
|
Если срок вклада состоит из целого числа годов |
па” и |
части |
года |
||
пЬ”, т.с. л = а + b, то наращенная сумма определяется по формуле |
|
||||
5(л) = 5(0)*(1 +0" |
=5(0)(1 +Г)а+Ь =5(0)-(1 + /)° -0 + 0*. |
(*) |
|||
а с учетом первых двух членов разложения сомножителя |
|
|
|||
( 1 + о * = 1 + * . / - 3 ^ > . / 2 + |
|
|
|
||
по формуле |
1! |
2! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5(л) = S(0) • (1+ i f |
.(1+ Ъ. 1). |
|
|
(**) |
|
Так как при b < 1 третий член |
разложения |
меньше |
нуля, |
то |
(1+ Ь- /) > (1+ i f Поэтому расчет наращенной суммы по формуле (**) да
ет больший результат, чем по формуле (*) (рис. 10).
Необходимо отметить, что при b е [0; 1] величина (1+ /)* е[1; 1 + /],
поэтому при малых значениях / коммерческие банки при наличии полных периодов начисления процентов обычно принимают сомножитель (1+ i f
равным единице, т.е. (1+ i f «1.
—- ------------- 1--------------- |
1------------ |
ъ- |
|
•о |
оЗ |
1 |
Рис. 10 Если капитализация процентов производится т раз за период дейст
вия процентной ставки /, то процентную ставку обозначают буквой j и на зывают ее номинальной процентной ставкой, а сложные проценты начис
ляют каждый раз по процентной ставке —.
т
При этом формула наращенной суммы при начислении сложных процентов по номинальной процентной ставке j в течение п периодов, мо жет быть получена аналогично формуле (ЗН) (рис. 11).
5(0) |
|
|
|
1 ■ ■ |
п |
t |
||
1 |
2 |
|
|
т |
т п |
|
||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
S(0)(l+j/mf |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
S(0)(l+j/m)m |
|
|
|
Таким образом, |
Рис. 11 |
|
|
|
|
||
|
|
, |
.NW |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
, |
.X* |
|
5(я) = 5(0) |
И |
|
|
|
(4Н) |
где Н) |
множитель наращения, a N= тп. |
|
|
|
||||
|
Если срок вклада равен N = m l + 6, где "Ь" дробная часть периода |
|||||||
начисления процентов, то |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
/ |
. хш-/+6 |
/ |
.\nt-l |
/ |
. \ b |
|
|
|
|
- * m { i+ ij |
K |
J - |
|
■а д { 1+« Г ( 1+» 'у)
с учетом первых двух членов разложения
\т) т " 2! \т )
Полученная формула (4Н) наращенной суммы, как мы увидим далее, не является последней. Для сравнения доходов от использования той или иной схемы начисления процентов применяется эффективная процент ная ставка, начисление сложных процентов за год по которой дает то же соотношение между 5(0) и S(n)r что и при любой другой схеме начисления
процентов. Например, для получения годового дохода, эквивалентного до ходу при начислении сложных процентов по номинальной процентной ставкеj за т периодов величина эффективной процентной ставки находит
ся из эквивалентности финансовых результатов,, вычисленных по форму лам (ЗН) и (4Н), а именно
S,(n) = Sy(n)<=»S(0) ( l+ 0 " = S ( 0) ^ l + ^ |
= |
-1 = /эф |
13.2. Дисконтирование ( учет )
Если по заданной величине погашаемого долга требуется определить величину долга на любой более ранний момент времени, чем время пога шения долга, то прибегают ,как известно, к операции дисконтирования или учета заданной величины погашаемого долга.
При дисконтировании сложными процентамй, как и при дисконтиро вании простыми процентами, в зависимости от вида используемых про центных ставок (i или d) и базы для их начисления различают два типа
дисконтирования (учета): математическое и банковское. Математический учет представляет собой решение обратной за
дачи к задаче определения величины наращенной суммы первоначального долга. Таким образом, обратная задача состоит в определении первона чальной суммы 5(0), которую необходимо дать в долг, чтобы при начисле нии на эту сумму сложных процентов по процентной ставке i получить сумму 5(л), подлежащую выплате в конце срока долга.
Ответ на этот вопрос получим, решив уравнение (ЗН) относительно величины первоначального долга:
5(0) = - ^ L = 5(n) .( l+ l)-* = $(„).
0+ 0"
Это есть формула приведенной величины суммы 5(л), подлежащей выплате в конце срока долга, при математическом учете ее в течение п пе риодов сложными процентами по процентной ставке /. Величина
И = (1+ i f * называется дисконтным или учетным множителем. Величи
на дисконта за предоставление денег в долг в этом случае определяется из выражения 30
D(/0 = S(H) - S ( 0) = S(H)-(1- |Я).
При начислении сложных процентов т раз в году в течение п лет по номинальной процентной ставке j формула приведенной величины суммы, подлежащей выплате в конце срока долга, принимает следующий вид:
|
5(°) = — Щ |
— |
= S{n) ■( 1+Д " ' " = 5(л) • |
(4П) |
|
[ х а ) ” |
1 т) |
|
|
где у |
( А-""" |
- дисконтный или учетный множитель. |
|
|
= 11+ — |
|
Vп\)
Вэтом случае величина дисконта за весь срок долга определяется по формуле
D(n) = S (n )-(\-
Некоторые следствия из формул (ЗП, 4П).
1. Чем больше процентная ставка (рис. 12), тем быстрее уменьшаетс величина приведенной (современной) оценки суммы долга. С увеличением срока долга современная оценка суммы долга уменьшается и в пределе стремится к нулю. В самом деле,
lim 5(0)= lim - (,l)- = 0.
и —» » |
ft—*°°(l + i)n |
2. С увеличением числа периодов т начисления процентов в году личина дисконтного множителя при п = 1 в формуле (4П)
Г =1 l+A ~ " « |
1! т |
' |
- n2 |
2 v т) |
|
V т) |
2! |
\ т ) |
|||
уменьшается, стремясь в пределе к |
|
|
|
||
lim |
У' = |
lim (l+ —1 |
= е-7 = - у • |
|
|
т —>оо |
ш— |
т) |
е* |
|
3. Величина 5(0 = 5(0)*(1 + /)/ наращенной суммы первоначально
го долга 5(0) к моменту t (0 < / < п) равна величине 5 (0 = 5 (H)- (1 +
суммы долга на конец его срока, приведенной к тому же моменту времени t
(рис. 13). Всамомделе, 5(0 = 5(0)• (1-мУ1.(1 + /)“(,," ° = 5(0)-(l + i)/ .
o |
/ |
n |
\) |
|
t |
* s ( O = s ( 0 ) - ( i+ O ' |
|
|
|
|
S ( n ) = S ( 0 ) ( l + i ) n |
Рис. 13
4.Из выражения для величины дисконта следует, что
D(n) = S(n) - S(t) = S{n) - 5(я) • (1+ |
= S(n) • (l - (1+ 0 _(”_O) “> 0 |
при / —>/7, т.е. чем ближе момент времени /, для которого определяется современная величина суммы долга к моменту п погашения этой суммы,
тем меньше величина дохода за предоставление денег в долг.
Банковский учет представляет собой решение той же задачи, кото
рая решена с помощью математического учета. Однако при банковском учете исходной базой для применения учетной ставки на каждом периоде начисления сложных процентов (дисконтов) является сумма долга, полу ченная дисконтированием на предыдущем периоде. Поэтому за один год до выплаты суммы 5(л) необходимо было бы занять сумму, равную
5(л -1) = 5(л) - Dn(1) = 5(л) - d •5(л) = 5(72)•(! - <0;
за два года до выплаты суммы 5(т2) -
5(72- 2) = 5(72 -1) - Dn_,(1) = 5(72). (1- d) - 5(72) • (1 - d )• d =
= 5(л) • (1- d) • (1- d) = S(it) • (1- d ) 2;
за три года -
S{n - 3) = S(n - 2) - Dn_2(1) = S{n) • (1 - d ) 1 - S(n) • (1- d f - d =
= S (n )'(\- d )2 •(!-*/) = 5(w)-(l-</)3 ит. д. (рис. 14).
|
|
|
S(n) |
|
п-Ъ |
л -2 |
л -1 |
л |
/ |
|
|
|
S (« H W |
) |
|
|
|
£(>»)•(W |
)2 |
|
|
|
S { n H \ - d ) 2 |
|
Рис. 14 |
Полученная таким образом последовательность S(/j-l), S(n-2), |
|
S(n-3), |
приведенных величин учитываемой ежегодно сложными дис |
контами суммы S(n), подлежащей выплате в конце срока долга, образует геометрическую прогрессию с первым членом 5(/7)-(1 - d) и знаменате лем (1 —d). Следовательно, величина суммы, которую необходимо взять в долг за п лет до окончания срока его погашения, может быть найдена по формуле /7-го члена геометрической прогрессии, а именно
5(0) = £(/!)• (1- r f ) - ( l - d)"~1= 5(л) -(1- d)" Таким образом, получена формула
(5П) приведенной величины суммы S(n), подлежащей выплате в конце срока долга, при банковском учете ее в течение п периодов сложными дисконта ми по учетной ставке d. При этом величина дисконта за предоставление денег в долг определяется через дисконтный (учетный) множитель (1—d)n по формуле
Ш= S(n) - S(0) = S(n) .(1-- (1- d )n).
Если дисконтирование суммы долга производится т раз в году по номинальной учетной ставке f то в каждый период осуществляется учет
сложными дисконтами по процентной ставке —. При этом формула при-
т
веденной суммы долга за N = т-п периодов до момента погашения долга может быть получена аналогично формуле (5П) и будет иметь вид
S(0) = S ( ij) - ( l- £ ) = S (n )-fl- |
/ |
|
т |
Эквивалентный финансовый результат дает эффективная учетная ставка */э0 , величина которой находится из равенства финансовых результатов,
вычисленных по формулам (5П) и (6П):
S(n)-(\-d)" =S(n)- t=$d = dэф•