- •МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ФИНАНСОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
- •Глава 1.1. Основные понятия и математический аппарат
- •1.1.1. Проценты и процентная ставка
- •1.1.3. Числовые последовательности. Прогрессии. Степенные ряды
- •1.2.1. Наращение по процентной ставке
- •Переменная процентная ставка
- •Реинвестирование вкладов
- •1.23. Наращение по учетной ставке
- •1.2.4. Срок долга. Величина процентной ставки
- •Глава 1.3. Сложные проценты
- •1.3.1. Наращение по процентной ставке
- •1.3.4. Непрерывное наращение и дисконтирование
- •1.3.5. Срок долга. Величина процентной ставки
- •1.4.1. Эффективность различных ставок
- •Замечания.
- •Глава 2.2. Потоки с постоянными платежами
- •2.2.2. Современная величина
- •Замечания.
- •Рента с начислением смешанных процентов
- •Глава 23. Потоки с переменными платежами
- •23.2. Относительное изменение платежей
- •Глава 2.4. Сравнительный анализ. Приложения
- •Замечание.
- •2.4.2. Безубыточное изменение потоков платежей
- •Серия "Российская Экономическая Академия им. Г.В.Плеханова"
- •Серия "Индустрия гостеприимства"
- •Серия "Учебники для экономических и неэкономических ВУЗов"
- •Серия "Прогрессивная экономическая мысль Европы"
- •По вопросам приобретения книг и за дополнительной информацией просим обращаться:
Раздел I. РАЗОВЫЕ ПЛАТЕЖИ
Глава 1.1. Основные понятия и математический аппарат
В любой финансовой сделке участвуют, как минимум, две стороны. Обе стороны, кто бы они не были - банк или клиент, могут представлять в сделке как кредитора, так и заемщика.
Основная масса финансовых сделок между кредиторами и заемщи ками связана с предоставлением некоторой суммы денег в долг. Примера ми таких сделок служат операции кредитования,-выдачи денежных ссуд, помещения денег на сберегательный счет, инвестирования денег в проек ты, учет векселей, покупки сберегательных сертификатов или облигаций и т.д.
Большинство экономических процессов, таких, как инфляция, фи нансовое состояние участников сделки, прибыль от инвестирования денег
впроизводство и др., делают деньги неравноценными относительно раз личных моментов времени. Поэтому фактор "времени" в финансовых сделках играет одну из ключевых ролей и определяет появление при под писании финансовых контрактов таких показателей, как:
-срок долга г - число дней между датой предоставления денег в долг и да той погашения долга;
-сумма первоначального долга *У(0) - сумма денег, предоставленная в долг
вначале срока долга;
-сумма погашаемого долга S(r) - сумма денег, которая должна быть воз вращена в конце срока долга;
-процентная - / или учетная - d ставки, которые приурочены к фиксиро
ванному промежутку времени.
Эти показатели при решении задач, связанных с разовыми платежами, являются либо заданными, либо неизвестными (с. табл.1).
----------^П о к азател и |
|
|
Таблица 1 |
||||
■ад |
5(0) |
/(<0 |
т |
||||
Задачи |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||
Определение |
суммы |
погашаемого |
9 |
+ |
+ |
+ |
|
долга (прямая |
задача) |
|
|
|
|
|
|
Определение суммы первоначально |
+ |
9 |
+ |
+ |
|||
го долга (обратная задача) |
|
|
|
|
|||
Определение процентной ставки |
+ |
+ |
? |
+ |
|||
Определение |
срока |
пользования |
+ |
+ |
+ |
? |
|
долгом |
|
|
|
|
|
|
|
Практика показывает, что современные деньги всегда ценнее буду щих. В финансовых контрактах ценность денег во времени отражается в величине начисляемых процентов.
1.1.1. Проценты и процентная ставка
Рассмотрим "прямую" задачу, т.е. задачу определения суммы пога шаемого долга при заданных величинах первоначального долга и осталь ных показателях (табл. 1).
Финансовый контракт, связанный с предоставлением в долг суммы денег 5(0) на срок г, предполагает, что в конце срока долга будет возвра щена сумма 5(г).
Доход /(г) = 5(г) - 5(0), который является результатом предоставле ния денег в долг на время г, называют процентными деньгами, или крат ко - процентами.
Величина процентов (процентных денег) определяется не только вели чиной первоначального долга 5(0) и сроком долга г, но и размером про центной ставки - /, которая формируется в зависимости от конъюнктуры рынка денежных ресурсов, оговаривается при заключении контракта и свя зана с некоторым фиксированным периодом начисления процентов г* (с. рис. 1).
- о |
- г * |
|
1 |
1. / 1( 1 ) . 5(1)
2 - г * |
t - r * |
(л -1 ) - г * г г 1Г* |
||
1 |
|
|
n - r l r * / |
|
2 |
t |
^ |
||
|
||||
S ( P - 1) . D «( 1 ) . 5 (я )
Рис. 1
Процентной ставкой i называют отношение процентов 1\(г*) за пер
вый фиксированный период времени т* (чаще за год) в сроке долга г к сумме первоначального долга S(0), т.е.
,._ /■( Г) 5(0) '
Чаще всего используется процентная ставка, приуроченная к одному году. В этом случае говорят о годовой процентной ставке
5(1) -5 (0 ) _ /,(!)
5(0) 5(0)'
или (/*100)% годовых. Продолжительность периода начисления процентов может выражаться одной из следующих временных единиц: один день, од на декада, один месяц, один период из двух месяцев, один квартал, одна половина года, один год и т.п. Период начисления процентов, равный году и выраженный в днях, обозначают через К. Величина п - т/г* (п = г!К) оп
ределяет число периодов (лет) начисления процентов по данной процент ной ставке за время пользования долгом. На рис. 1 величина t означает по рядковый номер периода г* начисления процентов. Дискретным периодам (год, полугодие, квартал, месяц и т.д.) начисления процентов соответствует
дискретное начисление процентов. При анализе долгосрочных операций практикуется непрерывное начисление процентов.
По мере начисления процентов их либо выплачивают, либо присоеди няют к сумме долга. Процесс увеличения суммы-долга в связи с присоеди нением (причислением) к нему начисленных процентов за время т называ ют наращением или ростом суммы первоначального долга, а увеличен ную сумму долга - наращенной суммой долга или суммой погашаемого долга - S(r). Таким образом, величина долга в каждый момент времени принимает одно определенное значение. Отметим, что понятия наращен ная сумма долга за время пользования долгом и сумма погашаемого долга в дальнейшем изложении будут эквивалентными; если об этом ничего не сказано дополнительно.
В зависимости от исходной базы, принимаемой за 100%, для начис ления процентов различают:
- наращение суммы первоначального долга простыми процентами, когда в течение всего срока долга исходной базой для применения на каж дом периоде процентной ставки является сумма первоначального долга, т.е.
I,(l) = S(0)i при f= 1 , 2 , . . . , л;
- наращение суммы первоначального долга сложными процентами, когда в течение всего срока долга исходной базой для применения на каж дом периоде процентной ставки служит наращенная за предыдущий пери од сумма долга, т.е. If (\) = S(t-\yi при t= 1,2,
Процентные ставки в зависимости от их величины на каждом перио де начисления процентов бывают:
-фиксированные, когда на каждом периоде начисления процентов величина процентной ставки является постоянной или переменной вели чиной;
-плавающие, когда на каждом периоде начисления процентов зна чение процентной ставки равно некоторой изменяющейся величине плюс надбавка.
Необходимо отметить, что присоединение начисленных процентов к сумме, которая служит базой для их начисления, называется капитализа цией процентов.
1.1.2. Дисконт и учетная ставка
Рассмотрим "обратную" задачу, т.с. задачу определения суммы пер воначального долга при заданных величинах погашенного долга и осталь ных показателей.
Как и раньше, доход (или процентные деньги), который является ре зультатом предоставления денег в долг на время г, определяется разностью между суммами погашаемого и первоначального долгов. Однако величина дохода в этом случае называется дисконтом, или учетом, и обозначается буквой £>(г), т.е.
D ( T) = S(T)- S(0).
Величина дисконта за предоставление денег в долг обусловливается не только величиной погашаемого долга и его сроком, но и процентной ставкой, которую в этом случае называют учетной ставкой - d. Величина учетной ставки равна отношению дисконта Dn(г*) за последний фиксиро
ванный период времени т* (чаще за год) в сроке г долга к сумме погашае мого долга S(r), т.е.
S(t) ’
При г*, равном одному году, имеем годовую учетную ставку ^ _ а д - 5 ( л - 1 ) ^ Р,,0)
S(n) |
S(n) ’ |
или яМ00% годовых.
Процесс уменьшения суммы погашенного долга в связи с начислени ем и удержанием дисконта называют дисконтированием, или учетом по гашаемого долга, а найденную дисконтированием величину первоначаль ного долга - современной или приведенной величиной погашаемого долга.
Вобщем случае дисконтированная к некоторому моменту времени денежная сумма называется современной, или приведенной к этому мо менту времени денежной суммой.
Взависимости от исходной базы для начисления дисконта различа
ют:
дисконтирование суммы погашаемого долга простыми процентоми (<дисконтами), когда в течение всего срока долга базой для приме нения на каждом периоде учетной ставки служит сумма погашаемого дол га, т.е. Dt (1) = S(n)'d при t = 1, 2 , . . . , /i;
- дисконтирование суммы погашаемого долга сложными процен тами (дисконтами), когда в течение всего срока долга исходной базой для применения на каждом периоде учетной ставки является приведенная за предыдущий период сумма долга, т.е. Dt (1) = S(t)*d при / = 1,2,..., п.