764
.pdf7. Краевая задача механики деформирования и разрушения структурно-неоднородных тел
Для описания процессов деформирования и разрушения структурнонеоднородных тел рассмотрим двухуровневую структурно-феномено- логическую модель на основании традиционных предположений механики композиционных материалов [40]. Пусть некоторое тело содержит в себе множество разделенных отчетливыми границами однородных элементов структуры с различными механическими свойствами. Допустим, что харак терные размеры элементов много больше молекулярно-кинетических раз меров и много меньше расстояний, на которых существенно меняются осредненные или макроскопические параметры.
Эти допущения позволяют, с одной стороны, исследование дефор мирования и разрушения элементов структуры осуществлять на основе мо делей механики деформируемого твердого тела, выделив элементарные микрообъемы dv, имеющие размеры во много раз меньшие, чем характер ные размеры неоднородностей, и приписав им свойства, определяемые экспериментально на однородных образцах.
С другой стороны, на основании сделанных допущений можно опи сать макроскопические процессы деформирования композитов в рамках представлений однородной сплошной среды, выделив из композиционного тела элементарный макрообъем dV Размеры элементарного макрообъема находятся в отношении того же порядка к размерам тела, что и размеры элементарного микрообъема к характерному размеру элемента структуры. Объем dV должен содержать достаточно большое число элементов струк туры, чтобы быть представительным и обладать эффективными свойства ми. Справедливость постулата макрофизической определимости на макро уровне означает, что существуют образцы конечных размеров из компози та, которые могут считаться квазиоднородными и на которых можно экс периментально установить связь между процессами изменения средних на пряжений и деформаций.
Будем считать, что все уравнения и критерии, относящиеся к одно родным материалам, пригодны для описания поведения композитов на структурном уровне, а величины, в них входящие, будем называть микро скопическими. Тогда структурные напряжения при заданных массовых си лах X удовлетворяют уравнениям равновесия
<уу .у (г ) + * / ( г ) я 0 * |
(4 6 ) |
а тензор структурных деформаций связан с вектором структурных переме щений соотношениями Коши
М г) = | [ М |
г) + иуЛ г)]- |
|
(47) |
|
|
||
Введем индикаторные функции |
|
||
1, если г eVf; |
i > (0(r)=i, |
(48) |
|
5t(i)(r) = |
|
||
О, если г §сКу; |
|
|
|
где Vj — область, занимаемая i-ы компонентом, |
/ — число компонентов |
||
композита. Под компонентом композиционного материала будем понимать совокупность всех элементов структуры с одинаковыми физико механическими свойствами.
Кусочно-постоянные функции, описывающие поля микроскопиче ских величин, могут бьггь построены следующим образом:
a * (r )- f« g > X » 0 r ) . |
(49) |
/=1
В этом случае определяющие соотношения микронеоднородной среды
М г) = 3 уК ( Г)> ski(r), f m, Ст] |
(50) |
представлены как уравнения с быстро осциллирующими коэффициентами. Через коэффициенты аш{г) задается исходная информация о структуре и
свойствах среды. Эти коэффициенты являются либо детерминированными периодическими, либо случайными однородными функциями.
Совокупность критериев разрушения (или критических состояний) для элементов структуры представляется в виде
f m(bx,~,bn,A '\ ...,An)) = Cm, |
(51) |
где bk(r) = Y /bjc'>Xl')(r), Ck(r) = J^ci°Xa)(r), |
|
1=1 |
1=1 |
bk — коэффициенты, являющиеся структурными параметрами когезионно
го разрушения, Ск — прочностные характеристики элементов структуры.
Уравнения (46), (47), (50) и (51) совместно с граничными условиями
“ ;(r)liu = “<°(г)> |
(52) |
если на части 1и границы I заданы перемещения,
<r/,(r>v(r)|£s =5° (г), |
(53) |
|
если на наста |
границы заданы производные перемещений (усилия), об |
|
разуют постановку статической краевой задачи механики деформирования и разрушения структурно-неоднородных тел. Здесь и° — заданный вектор перемещений, S° — заданный вектор поверхностных сил, пк(т) — на
правляющие косинусы вектора нормали к поверхности тела Q в точке с координатой г
Кроме того, напряжения и перемещения на поверхности раздела эле ментов структуры удовлетворяют условиям контакта, а постановка задачи может быть дополнена условиями адгезионного разрушения.
В монографии [10] отмечена целесообразность использования в зада чах механики разрушения и устойчивости более общих граничных условий
в форме |
|
|
(54) |
[и,(г)+ Qy(г)с]к(г)пк(r)J^ = и-(г), |
(55) |
где коэффициенты пропорциональности Z?iy(r,u°) и 0 v(r,S°J, для которых
справедливы соотношения
(56)
представляют собой коэффициенты жесткости и податливости нагружаю щей системы*
В большинстве случаев ограничиваются рассмотрением макроскопи чески однородных композиционных материалов. Это определение означа ет, что элементарные макрообъемы, выделенные вокруг любой пары точек, имеют одинаковые эффективные свойства. Напряженно-деформированное состояние макрообъемов характеризуется тензором макронапряжений а* и
тензором макродеформаций е*. В дальнейшем все величины, относящиеся к макроскопическому уровню, будут помечены звездочкой. Макроскопиче ские напряжения и деформации могут быть определены путем осреднения по объему микроскопических (структурных):
* Более подробное описание и обоснование данных граничных условий содержится во второй части настоящего учебного пособия.
Сопротивление элементарных макрообъемов деформированию опре деляет связь макронапряжений и макродеформаций:
< 4 = 3 * ( а и , Б и ) . |
(5 8 ) |
Для установления этой связи также могут бьггь использованы приведенные выше определяющие соотношения. Входящие в них материальные функ ции, выражающие эффективные свойства рассматриваемых композитов, определяются на основании решения сформулированной краевой задачи для представительного объема при условиях на границе
[ v / г ) + 7?i,(r)wy(r)Jz^ = S’ (г) |
(59) |
ИЛИ |
|
[eijrj + Qijirtey*(r)«*(r)JXfr = и;(г), |
(60) |
особенность которых, связанная с учетом жесткости или податливости на
гружающей системы, заключается в том, что вид функций S°(r) и и-(г),
обеспечивающих реализацию макронапряжений о* = Syили макродефор маций е* = e(j , должен быть задан, но может быть заранее неизвестен. В этом случае необходима организация специальных итерационных процедур корректировки функций 5,°(г) и ы°(г).
Определив из решения краевой задачи в п-м приближении усилия
5,И(г) = 4 п)(г)Л,.(г) и перемещения |
(г) граничных точек области при |
||
заданных значениях s f n\r) |
или ufn\r), можно вычислить характеристи |
||
ки жесткости H \J \ г) и податливости Pjjn\ г) деформируемой системы: |
|
||
Sjn)(г) = |
и}л)(г) = Pjjn\ r )S f(r ) . |
(61) |
|
В общем случае указанная операция связана с рассмотрением совокуп ности краевых задач при различных наборах функций S fn\ г) и и°(,,)(г). Очередное приближение вычисляется при значениях
= [8ft + ^ ( ^ ( ф л Д г ) ,
^"+1)(r)= [s*+ 0,(r)tfj>(r)]e„,>.
В результате последовательных приближений определяются функции
S°(г) и и](г), обеспечивающие с допустимой погрешностью макроодно-
родное напряженно-деформированное состояние.
8. Вероятностное описание стохастических процессов структурного разрушения
Краевые задачи механики композитов часто являются стохастиче скими, так как содержат случайные величины, функции и поля. Вероятно стный характер задач обусловлен не только случайной структурой, но и недетерминированностью материальных функций, входящих в опреде ляющие соотношения, компонентов композитов и статистическим разбро сом их прочностных свойств.
В качестве инвариантных детерминированных мер процессов струк турного разрушения можно использовать одно- и многоточечные вероят ности микроразрушений для каждого возможного механизма:
(63)
где Р[а] — есть вероятность события а .
Одно из направлений теории накопления повреждений структурнонеоднородных тел связано с установлением функциональных связей между вероятностями микро- и макроразрушений. В наиболее простом случае предполагается, что представительный элементарный объем композита со держит элементы структуры, разрушенные по всем вероятным механизмам из рассматриваемой совокупности, и объемные доли этих элементов могут быть рассчитаны на основании одноточечных вероятностей микроразру шений. Итерационная процедура решения нелинейной в физическом и ста тистическом смысле краевой задачи продолжается до тех пор, пока из сравнения решений на у-м и (у + 1)-м шаге во всех точках объема не будут выполняться условия для всех возможных значений к ,
Iл4У+1)(П) - л4У)(Л)| < 5, |i f +1) - 4 Л\< 8,
где 8 и е — малые положительные наперед заданные величины. Выполнение второй группы условий свидетельствует о том, что за
данные воздействия (например, макронапряжения) приводят к разрушению компонентов композита, но недостаточны для разрушения элементарного макрообъема, то есть макрочастицы композита в целом.
Изучение основных закономерностей стохастических процессов структурного разрушения при деформировании композита можно осущест влять в реализациях, то есть на основании статистического моделирования структуры материала. Однако даже при рассмотрении множества реализа
ций и осреднении результатов остается открытым вопрос об определении эффективных свойств. Поскольку эффективные свойства композита не за висят от выбора элементарного макрообъема, то для их определения по требовалось бы, строго говоря, исследование деформирования неоднород ного тела с бесконечным числом структурных элементов.
Преодолеть указанную трудность позволяет использование различ ных вероятностных подходов. В рамках некоторых из них постулируется, что процесс разрушения пойдет по пути наиболее вероятных актов микро разрушения. Поскольку менее вероятные акты микроразрушения могут иметь катастрофические последствия для макрочастицы или, по крайней мере, существенно изменить ее свойства, то представляется необходимым учет всех событий, вероятность которых больше нуля или некоторого зада ваемого порога практической невозможности.
Рассмотрим вероятностный подход, согласно которому принимается, что деформируемый макрообъем композиционного материала именно в силу его представительности содержит элементы структуры, разрушенные по всем вероятным механизмам, а их объемные доли могут быть рассчита ны на основании вероятностей микроразрушений по совокупности крите риев.
Будем считать, что композиционный материал состоит из изотроп ных компонентов, для которых справедлива совокупность критериев раз рушения
(64)
и известны законы распределения случайных прочностных характеристик Fm(Cm) каждого компонента, представляющего собой объединение всех элементов структуры с одинаковыми деформационными свойствами. Раз брос деформационных свойств компонентов в данной модели не учитыва ется. Кроме того, ограничимся рассмотрением лишь двух механизмов раз рушения.
Моделируя для композиционного материала процесс деформирова ния или нагружения, на каждом шаге увеличения параметра процесса
можно подразделить /-й компонент с долей в объеме неповрежденного композита на следующие части: неразрушенный материал (/?); материал, разрушенный по критерию типа “ 1” (р х); материал, частично потерявший несущую способность по критерию типа “ 2” (р 2); полностью разрушенные элементы структуры (р 0). Очевидно, что
Р(0 =Р + Р1 +Рг+ Ро- |
(65) |
Поведение неразрушенных элементов с объемной долей р описыва ется линейными или нелинейными определяющими соотношениями, за данными для /-го компонента композита. Относительно свойств элементов, частично потерявших несущую способность, что выразилось в невыполне нии того или иного критерия прочности, должны быть сделаны определен ные предположения, как это было уже отмечено.
Введем следующее разделение:
Ро = Poi+ Pol + Р\1• |
(66) |
Цифры 1 и 2 в нижних индексах первых двух слагаемых этого равенства указывают, по какому критерию начиналось разрушение, а последнее сла гаемое выражает долю материала, разрушившегося одновременно (на од ном шаге) по двум механизмам. Обозначим вероятности выполнения нера венств, заключенных в последующих уравнениях в квадратные скобки, та ким образом:
Рт= 1{& < Cm < f m) = Fm(fm) - Fm( / ' ), |
|
Ря(к) = p[fikk) - Ст< / т ] = Fm{fm{k))~ Fm{fUk))> |
(6?) |
?т(к) = Р\рт < /т(*)] = Fm(/„(*)),
где
fm{k) = fm{jb{k)»Jz(k))»
fln(k) ~ |
>j[fk) )• |
Здесь штрихом помечены величины, относящиеся к предыдущему шагу деформирования, — п-и инвариант тензора микродеформаций в той
части /-го компонента, которая частично потеряла несущую способность по критерию типа
Долю неразрушенного материала /-го компонента в общем объеме можно определить уравнением:
p = p '- p (i){Pi+P2-PA)- |
(68) |
Выражение, стоящее в скобках, представляет собой вероятность разруше ния хотя бы по одному критерию, вызванного повышением нагрузки на по следнем шаге.
Объемная доля состоит из элементов, частично разрушенных
лишь по критерию тала “ 1” на всех предыдущих шагах, и элементов, раз рушившихся по этому критерию на последнем шаге деформирования, за вычетом разрушившихся на последнем шаге еще и по критерию типа “2” :
Р\= Р{ + Р ^ ф - Р г Ь - Рт ) - U . + р[)Рт ■ |
(69) |
Аналогично, |
|
Рг = Рг + / ?(/)^ 2 (1 "’ Л ) 0 “'^ 1 (2 ))“ ( / 7б2 + Рг)Р\{г)- |
(Щ |
Мы учли, что часть элементов структуры может полностью потерять |
|
несущую способность, и теперь запишем: |
|
Poi = Poi + ( / 701 + А ')^2(1) + P^I1^2(l)(l “ ^ 2)* |
|
Р02 = Ро2 + (Р02 + Р2.)Р[(2) + Р^РгР1(2) ~Р\)у |
|
Рп = Рп +Р^Р\Рг- |
(7 1 ) |
Для вычисления объемных долей компонентов композита по выпи санным формулам необходимо на каждом шаге знать значения инвариан
тов j® и во всех структурных элементах (если допустима гипотеза об однородности полей напряжений и деформаций в их пределах), а следова тельно, все структурные деформации, соответствующие заданным макро деформациям или макронапряжениям. Аналогично можно записать выра жения для объемных долей компонентов композита через инварианты тен зора структурных напряжений. При составлении алгоритма численного решения задачи должна быть организована итерационная процедура пере счета объемных долей компонентов и полей микронапряжений и микроде формаций на каждом шаге макродеформирования до тех пор, пока не ис чезнет вероятность актов микроразрушения.
Таким образом, задача прогнозирования неупругого поведения ком позита с учетом структурного разрушения сводится в рамках данного под хода к задаче о деформировании материала с переменными объемными долями компонентов как с исходными механическими свойствами, так и с измененными в соответствии с рассматриваемыми механизмами потери несущей способности.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Традиционная оценка несущей способности конструкций и сооруже ний с использованием критериев прочности предполагает, что предельному состоянию материала в момент его полного разрушения соответствует максимальное напряжение — предел прочности. Однако эксперименталь ные исследования показывают, что подобное поведение материала обна руживается лишь при малой жесткости нагружающей системы, включаю щей в себя как элементы конструкции, передающие нагрузку, так и само деформированное тело, окружающее зону разрушения.
В условиях более жесткого нагружения в поврежденной зоне конст рукции может быть реализована стадия закритического деформирования материала после достижения предела прочности (рост деформаций при снижающемся сопротивлении материала). Жесткое нагружение ослаблен ных зон обеспечивает равновесный режим накопления повреждений и реа лизацию прочностных резервов элементов конструкций. Макроразрушение может быть рассмотрено как результат потери устойчивости процесса на копления повреждений на закритической стадии деформирования. Анализу этих проблем посвящены последующие части настоящего пособия.