764

неоднородность приводит к тому, что напряжения в компонентах компози­ та, находящегося под действием всестороннего сжатия, не являются чисто гидростатическими. Вследствие этого композиции из материалов, каждый из которых в отдельности деформируется упруго при гидростатическом силовом воздействии, могут обнаружить при аналогичном воздействии пластические деформации за счет неупругого формоизменения компонен­ тов. Пластические изменения объема будут существенны, если модули объемного сжатия элементов структуры отличаются значительно.

В случае одноосного растяжения поведение материала, для которого справедливы определяющие соотношения (5), может быть описано уравне­ ниями

где E и v — соответственно модуль Юнга и коэффициент Пуассона мате­ риала в неповрежденном состоянии.

Частным случаем тензора поврежденности четвертого ранга является скалярная функция поврежденности Q . Обращаясь к соотношениям (1), с учетом 0.klmn = OIklmn получим физические уравнения простого вида

®ij = Сут„ (1 —fi)Emn.

Модель деформирования, построенная на основе скалярной функции поврежденности, описывает лишь равномерное по объему, не зависящее от ориентации нагрузки накопление повреждений, при котором относитель­ ное изменение всех деформационных свойств одинаково, тип анизотропии, естественно, сохраняется. В рамках этой модели для изотропного материа­ ла предполагается, что к = g, v = const. Скалярная функция Q эквива­

лентна параметру поврежденности Л.М. Качанова.

Если компоненты тензора Q изотропного материала определить та­ ким образом, чтобы к = 0, то есть не учитывать неупругое изменение объ­ ема, то функция поврежденности g совпадет с известной функцией пла­ стичности А.А. Ильюшина, а соотношения (5) с уравнениями теории малых упругопластических деформаций при активном нагружении.

Для разгрузки от достигнутого в процессе пропорционального на­

Физические уравнения (2) для рассматриваемой изотропной среды после введения изотропного тензора

имеют вид

г у = [ЗЛ(1 + r)ViJmn+ 27(1 + х)Нутп]стт„ ,

r = 3H/, + 2V(/2, т = 2\|/2.

Упругие коэффициенты податливости Л и Г однозначно определяются уп­ ругими модулями К и G, а функции увеличения податливости г и т функ­ циями поврежденности к и g\

Поведение трансверсально изотропного материала, не изменяющего тип анизотропии в процессе деформирования, может быть описано соот­ ношениями (1) с помощью тензора поврежденности, компоненты которого определяются формулой

&ijki = ©1S/jSki +©2 (S/ikSy/ + 8 //8 д )+

+ со5 (5 l78 738*3 + 8,*8у35 /3 + 5 7*8,38/3 + 87/8,38*3)

При этом о)а (а = 1,...,5) являются независимыми функциями, а со6 вычис­ ляется на основании условия

Упругие константы трансверсально изотропной среды /, п, к, GL и Gu

определяются через компоненты тензора упругих модулей С:

* = {(^ п п ^1122)» ^ = Qi33» л = Ошз>

(17)

= Q212» G,I = Q313

Представим определяющие соотношения в следующем виде:

j ® - 2GL (J? - 1? ) , / » - 7i4l=2GII(y«,-7«1),

где величины, помеченные волнистой чертой, соответствуют пластическо­ му состоянию, достигнутому к началу разгрузки.

Уравнения (2) для трансверсально изотропной среды сведем к сле­ дующей системе определяющих соотношений

Дальнейший переход к соотношениям в инвариантном виде является оче­ видным.

Коэффициенты податливости можно определить, зная упругие по­ стоянные, входящие в уравнения (18):

функции увеличения податливости, входящие в предлагаемые урав­ нения (24), связаны с упругими константами и функциями поврежденности трансверсально изотропного материала:

я = Ф (1 -$ )-1, Х = Ф (1 -ф )-1, £ = Ф (1 -к )-1 ,

п к - Г

где Ф =

п Щ - ф - * ) - 1 О -Ф )

Соотношения (1) применительно к ортотропному материалу запишем в следующем виде:

a ll = Q l l l ( l “ ^ l ) e ll + Q l 2 2 0 “ ^ 4 )8 22 + С п 3 з 0 ~ ^ б ) 8 33>

а 22 = Q l22 0 “ ^4)ell + Q 2220~^2)822 + 0>23зО “ ^ ) 833»

а33 = С113з(1_^б)811 + ^223з0“ ^5)822 + ОзЗЗзО " ^З^ЗЗ*

a 12 = 2C12I20~’ ^7)812»

а 2з =2С 232з(1 -^ 8 )823>

a 13 = 2С1313(1 -Х 9)е1з.

Независимые функции поврежденности Xa (a = l,...,9) однозначно связа­

ны с компонентами тензора Q для рассматриваемого материала.

4. Материальные функции деформационной теории поврежденных сред

Функции (или константы), по которым можно полностью восстано­ вить связь тензора напряжений и тензора деформаций, следуя определяю­ щим соотношениям, описывающим данную модель механики деформи­ руемого твердого тела, называются материальными функциями (или кон­ стантами) [26].

Рассматривая тензорно линейные определяющие соотношения, сле­ дует заключить, что в случае изотермических процессов и склерономной изотропной среды функции к и g зависят только от двух инвариантов тен­ зора деформаций, а г и т — от двух инвариантов тензора напряжений. При этом, если тензоры а й в являются потенциальными, то есть сущест­ вуют скалярные функции W и w такие, что

dW

(27)

а,] " дгу '

то эти инварианты определяются формулами (7) и (6), а для функций

K(je1).-/12)). g 0 1 U (2)), tfa j™ )-. j l 2)) справедливы уравнения

ловиям потенциальности, для их определения достаточно двух независи­ мых экспериментов. Например, по результатам испытаний на кручение

руженной в результате испытаний на одноосное растяжение, позволяет вы­

числить связь первых инвариантов у® ~ у® , определив по напряже­

ниям а 33 и а п = а 22 = 0, получив значение второго инварианта тензора

выбирается вид аналитических зависимостей и определяются константы.

Соотношения между напряжениями и деформациями (18) и (24), предложенные для описания неупругого поведения трансверсально изо­ тропных материалов, содержат материальные функции, зависящие в общем случае от четырех независимых инвариантов, что определяется тензорной линейностью соотношений и типом анизотропии среды [25]. В качестве ар­ гументов материальных функций могут быть использованы инварианты тензоров деформаций и напряжений, заданные уравнениями (20) и (21):

Функции (29) и (30) не могут быть независимыми, если предполага­ ется потенциальность тензора напряжений, так как для функций

исправедливы условия(27) и следующие:

На основании (31) выводятся аналогичные уравнения для функций (30). Деформационная теория пластичности анизотропных сред обладает

достаточной общностью, однако ее применение при решении конкретных практических задач может вызвать затруднения, связанные с эксперимен­ тальным определением функций многих аргументов. В связи с этим возни­ кает необходимость, с одной стороны, развития методов прогнозирования материальных функций анизотропных композитов по свойствам компонен­ тов, с другой — разумного упрощения определяющих соотношений. В [26] рассмотрены понятия упрощенной теории, для которой к = ф = 4 = 0,

Pi = P i ( ; f J 4)). Рп = Р п ( # . # ) » и простейшей теории: к = <р = \ = 0,

Pi =P I (A(3)). Рп =Р п(Л(4))-

Экспериментальное построение материальных функций в рамках уп­ рощенной теории осуществляется на основе проведения серии эксперимен­ тов по совместному кручению и растяжению либо кручению и действию внутреннего давления для тонкостенного цилиндрического образца, если ось трансверсальной изотропии направлена по радиусу. Если принять про­ стейшую теорию, то достаточно будет провести два эксперимента, напри­ мер, растяжение и кручение образца.

Для ортотропного тела аргументами материальных функций являют­ ся шесть инвариантов тензора деформаций:

Следует отметить, что инварианты тензоров деформаций и напряжений совпадают с компонентами этих тензоров, как это зафиксировано в уравне­ ниях (33) и (34), только в специально выбранной системе координат, оси которой совпадают с главными осями ортотропии.

Экспериментальное определение функций от шести аргументов представляется мало реальным. Поэтому следует каким-то образом (на ос­ нове теоретического прогноза или установочных экспериментов) упростить определяющие соотношения. В основу упрощения может быть положена

гипотеза о линейной связи инвариантов и (а = 1, 2, 3), то есть

Хр = 0 при Р = 1,...,6. В рамках простейшей теории кроме последней гипо­ тезы могут быть приняты также следующие зависимости:

для у = 4, 5, 6. Как видно из соотношений(26), для определения этих зави­ симостей, то есть построения материальных функций Я.7^ 4^, k g(4 5^) и

необходимо осуществить в экспериментах сдвиги по трем взаим­

но ортогональным плоскостям, параллельным главным осям ортотропии. Вопрос о применимости той или иной теории для описания поведе­

ния композита должен решаться в каждом конкретном случае на основании данных экспериментов или результатов теоретического прогнозирования. Естественно, что теоретическое прогнозирование также нуждается в экспе­ риментальном подтверждении, однако объем экспериментальных исследо­ ваний в этом случае может быть несравнимо меньшим, чем при построе­ нии всех материальных функций только на основании опытных данных.

5. Модели разрушения по совокупности критериев

Полному (макроскопическому) разрушению элементов конструкций из гетерогенных материалов предшествует сложный процесс потери несу­ щей способности отдельных элементов структуры. Каждый акт структур­ ного разрушения сопровождается перераспределением напряжений, при­ водящим либо к продолжению, либо к прекращению разрушения при дан­ ном уровне внешней нагрузки. Изучение кинетики этого процесса важно как для анализа условий образования макротрещины, так и для исследова­ ния механического поведения деформируемого материала. Следствием указанного процесса является нелинейный характер зависимости между напряжениями и деформациями структурно-неоднородных сред, который определяется не только пластическим деформированием и может иметь место даже в случае линейно упругих компонентов. Построение структур­ но-феноменологических моделей неупругого деформирования и разруше­ ния с учетом структурного разрушения выдвигает в качестве основных во­ просы выбора критериев прочности элементов среды, а также описания их деформационных и прочностных свойств после выполнения тех или иных условий разрушения. Необходимо установление точной доли нагрузки, ко­ торую разрушенный элемент воспринимает или передает соседним [8]. Важное значение при этом имеет тот факт, что структурный элемент может быть разрушен по различным механизмам.

Феноменологическая оценка разрушения твердого тела на основании критерия прочности в общем случае ничего не говорит о характере тех процессов, которые привели к потере несущей способности, хотя некото­ рые критерии могут иметь определенную физическую интерпретацию. Ис­ пользование совокупности критериев может позволить в рамках феномено­ логического подхода различать механизмы разрушения. Концепция описа­ ния критического состояния материала с помощью более чем одного урав­ нения ярко выражена в теории прочности Я.Б. Фридмана [13]. В работе А.А. Ильюшина [16], как уже было отмечено, введено понятие поврежде­ ния частицы материала и на основании мер повреждений записана сово­ купность критериев прочности, каждый из которых соответствует разру­ шению определенного типа.

Следуя [16], будем считать, что некоторые меры тензора повревденности Mn(Q), называемые мерами повреждений и являющиеся функция­ ми компонент Q , могут быть использованы для построения критериев раз­ рушения изотропных и анизотропных материалов.