571

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Пермский государственный технический университет»

П.В. Трусов, А.И. Швейкин

ТЕОРИЯ ОПРЕДЕЛЯЮЩИХ СООТНОШЕНИЙ

Часть I

Общая теория

Электронное учебное издание

Рекомендовано Учебно-методическим объединением по образованию в области прикладной математики и управления качеством в качестве учебного пособия

для студентов специальности «Прикладная математика»

Издательство Пермского государственного технического университета

2008

УДК 539.3

2

Т77

Рецензенты:

Кафедра механики композиционных материалов и конструкций Пермского государственного технического университета, Доктор физ.-мат. наук, профессор Р.А. Васин (Московский государственный университет)

Трусов П.В., Швейкин А.И.

Теория определяющих соотношений: Электронное учебное издание: Ч.I. Общая теория / П.В. Трусов, А.И. Швейкин – Пермь: Изд-во Перм. гос. техн. ун-та, 2008.

Рассматривается аксиоматика механики континуума, заложенная работами А.А. Ильюшина, У. Нолла, К. Трусделла. Освещаются общие подходы к построению определяющих соотношений, основные понятия и положения общей теории, такие как независимость от выбора системы отсчета, материальный изоморфизм, равноправность, изотропия, связи, затухающая память. Приводится структура конститутивной модели, основанной на введении внутренних переменных. Кратко рассматриваются особенности построения определяющих соотношений для жидкостей и твердых тел. Курс снабжен набором упражнений.

Предназначено для студентов и аспирантов механико-математических специальностей.

ГОУ ВПО «Пермский государственный

технический университет», 2008

3

4

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

A – вещественная аффинная группа B – тело

C – пространственная группа кристалла

gK0 – группа равноправности конфигурации K0 K0, Kt – отсчетная и актуальная конфигурации

O– собственно ортогональная группа

Х– обозначение материальной частицы в материальном способе

описания движения U – унимодулярная группа

K0 – естественная конфигурация

–температура

,* – системы отсчета, отличающиеся жестким движением

ei ,ei – лагранжевы базисные векторы в K0 и Kt R0, r – радиус-векторы частиц в K0 и Kt

, ˆ - набла – операторы (операторы Гамильтона) в отсчетной и актуальной конфигурациях

D – тензор деформации скорости

F ( ) – определяющее отображение

G , C – мера и тензор деформации Коши-Грина Jβ – тензорзначные внутренние переменные

Jeγ ,Jiδ – «явные» и «скрытые» внутренние переменные

K – II тензор напряжений Пиола – Кирхгоффа

L , R – вспомогательные тензоры для преобразования тензоров к разным типам независимости от выбора системы отсчета

O(t) – собственно ортогональный тензор Pγ – параметры воздействия

R – ортогональный тензор, сопровождающий деформацию U, V – левый и правый тензоры искажения

χα – тензорзначные функции, характеризующие нетермомеханические воздействия на материал

, M – меры напряженного и деформированного состояний (произвольные)

– тензор напряжений Коши

o

r FT – градиент места

5

СОКРАЩЕНИЯ

МДТТ – механика деформируемого твердого тела; МСС – механика сплошной среды; ОС – определяющие соотношения; ПО – представительный объем; СН – сложное нагружение; ТДС – термодинамическая система;

ТОС – теория определяющих соотношений; ФТТ – физика твердого тела.

6

«Вся беда … заключается в том, что не успевает завершиться работа, зачастую длительная и кропотливая, по аксиоматизации науки, как теория оказывается недостаточной для истолкования экспериментальных фактов, и возникает необходимость расширить, а иногда и полностью пересмотреть ее основы.»

Л. Де Бройль

1. Введение. Основные понятия

Во вводной части сформулируем некоторые вопросы и попытаемся найти рациональные ответы на них. Прежде всего: что представляют собой определяющие соотношения? Где и для чего они востребованы, можно ли обойтись без них?

В различных разделах естественно-научных дисциплин (механика, физика, биология и др.) принято выделять законы, справедливые для всех объектов исследования данной области знаний, и соотношения, описывающие особенности поведения отдельных объектов или их совокупностей. К числу первых в механике и физике, например, относятся хорошо известные, получившие всестороннюю экспериментальную проверку уравнения баланса массы, количества движения, энергии и т. д., справедливые для любых материальных тел независимо от их конкретного строения, структуры, состояния. Заметим, что уравнения этой группы в большинстве случаев связывают характеристики одного типа (например, в кинематические уравнения входят только характеристики изменения конфигурации; уравнения равновесия содержат только динамические характеристики и т. д.). Вероятно, наилучшим вариантом для изучения различных процессов была бы достаточность уравнений первой группы. Однако оказывается, что это не так по причинам, которые будут отмечены ниже.

Законы второй группы в механике и физике обычно называют опре-

деляющими соотношениями (ОС), или физическими уравнениями, или уравнениями состояния, или конститутивными соотношениями .

Соотношения этой группы устанавливают особенности поведения материальных объектов или их совокупностей (например, жидкостей, газов, упругих или пластичных сред и т. д.) при воздействии различных внешних факторов. Необходимость появления таких соотношений при рассмотрении задач той или иной области знаний совершенно очевидна: во-первых, потому что объекты разной природы ведут себя при одинаковых воздействиях даже качественно различно (например, вода и металлы в твердом состоянии, или вода в жидком и твердом состоянии); во-вторых, из чисто математических соображений: уравнений первой группы оказывается не-

7

достаточно для корректной постановки соответствующих математических задач. Для задач физики, механики, как следует из вышесказанного, определяющие соотношения должны отражать реальное атомно-молекулярное строение исследуемых материальных объектов. При этом подавляющее большинство задач механики сплошных сред (МСС) формулируются в терминах континуума, тогда как природа материалов дискретна. Это обусловливает одну из существенных трудностей построения ОС, которые должны на языке континуума отражать дискретные взаимодействия микрочастиц (молекул, атомов, электронов и т.д.).

Для каждого из классов материалов (деформируемых твердых тел, жидкостей, газов) существует множество теорий, служащих для описания поведения указанных сред. Особым многообразием в этом смысле отличается механика деформируемого твердого тела (МДТТ), в которой в качестве самостоятельных разделов уже давно утвердились теории упругости, пластичности, ползучести, усталости, разрушения и др. Каждый из разделов, в свою очередь, насчитывает десятки и сотни различных частных теорий (моделей) поведения материалов, число которых продолжает неуклонно увеличиваться, что обусловлено необходимостью повышения точности решения соответствующих задач, описания новых эффектов и новых материалов.

Традиционно каждый из упомянутых разделов рассматривается в вузовских курсах в качестве отдельных дисциплин. В связи с этим возникает вопрос: есть ли необходимость в курсе (общей) теории определяющих соотношений (ТОС), если существуют специализированные (и достаточно глубокие) теории для описания различных классов материалов? Как представляется авторам, такая потребность есть, и все больше механиков начинают осознавать потребность в такой теории. Во-первых, значительную часть каждой из указанных дисциплин составляют соотношения первой группы, практически полностью переносящиеся из одного курса в другой и не являющиеся сущностными для описания поведения материала. Эти сведения подробно излагаются в курсе механики сплошной среды, поэтому нет необходимости загромождать ими главные вопросы при построении моделей материалов. Во-вторых, к настоящему времени накоплен огромный опыт построения ОС в различных областях механики, который нуждается и вполне «дозрел» до аксиоматизации, классификации подходов и приемов формулировки физических уравнений. При этом уже на данном этапе развития ТОС очевидно, что существуют достаточно общие подходы, ограничения, законы, которые применимы практически ко всем моделям материалов. Учитывая постоянно возрастающую потребность во все более адекватных ОС и огромную трудность построения новых моделей материалов, систематическое изложение подобной общей теории определяющих соотношений представляется весьма актуальным.

8

Таким образом, предметом настоящего курса является анализ об-

щих свойств и структуры определяющих соотношений, подходов к построению физических уравнений.

Анализируемые определяющие соотношения относятся в основном к материалам, рассматриваемым как сплошная среда; в определенном смысле данный курс является специальным разделом механики сплошной среды. В силу последнего обстоятельства изложение будет в значительной мере опираться на понятия и определения, введенные в МСС. По существу, ОС представляют собой математические модели, описывающие поведение сплошных сред, являющиеся необходимым элементом при моделировании любого процесса или явления в МСС.

Поскольку ОС должны отражать физическое строение материальных тел, при их рассмотрении используются различные разделы физики (в частности, физика твердого тела). С другой стороны, являясь математическим моделированием поведения материальных тел, теория определяющих соотношений опирается на такие разделы математики, как алгебра, теория множеств, тензорное исчисление, функциональный анализ и др.

Следует подчеркнуть, что ОС представляет собой основной элемент, «сердцевину» любой математической модели физико-механических процессов. Именно ошибки в выборе или установлении ОС приводят к количественно (а в некоторых случаях — и качественно) неверным результатам моделирования. Особенно остро проблема установления определяющих соотношений стоит для материальных объектов, изготавливаемых из новых материалов или новыми способами.

Остановимся на некоторых основных определениях и понятиях. Как и в МСС, в ТОС будут рассматриваться не конкретные материальные объекты со всей совокупностью физических микрочастиц и взаимодействий между ними, а некоторые идеализации, модели этих объектов и(или) их частей, называемые в дальнейшем телами. Поведение каждого тела описывается определенным типом ОС, т. е. само определение тела неразрывно связано с установлением того или иного типа ОС (именно в этом контексте следует понимать широко используемые в МСС термины «упругое тело», «вязкое тело» и т.д.).

Отметим, что один и тот же физический объект может описываться с помощью различных моделей, «тел». Например, металлический стержень при низких нагрузках и температурах может вести себя как упругое тело (т.е. деформироваться обратимо – при снятии нагрузки он возвращается в исходную конфигурацию). Тот же стержень при повышении уровня нагрузки или температуры может испытывать уже необратимые деформации, и модель упругого поведения в этой ситуации даст даже качественно неверные результаты; необходимо использовать другую модель, например, упругопластического (или термоупругопластического) тела. При высоких

9

температурах (выше 0,5 г, где г – так называемая гомологическая температура, равная отношению абсолютной температуры тела к его абсолютной температуре плавления) и малых скоростях изменения воздействий (деформаций или напряжений) более адекватной процессу деформирования моделью может оказаться теория ползучести. В расплавленном состоянии этот объект едва ли можно рассматривать как стержень, для описания его поведения потребуется модель, например, нелинейно или ли- нейно-вязкой жидкости.

Можно ли обойтись без такого многообразия моделей, сотворить единую модель материала для любых воздействий и любых агрегатных состояний исследуемого физического объекта? Принципиально можно, но едва ли целесообразно. Применение нескольких моделей (тел) для одного и того же физического объекта связано, во-первых, со стремлением упростить вид ОС, что подвигает исследователя для различных диапазонов изменения внешних параметров (температуры, усилий и т. д.) использовать различные виды ОС; в противном случае ОС могут иметь чрезвычайно сложный вид. Сложность ОС, в свою очередь, ведет к дополнительным сложностям постановки и решения краевых задач для рассматриваемых физико-механических процессов. Второй и не менее важной причиной многообразия моделей является необходимая степень детализации, определяемая поставленной проблемой, физическими механизмами, ответственными за исследуемое явление. В зависимости от этого необходимо рассмотрение анализируемых процессов на различных масштабных и структурных уровнях, привлечение различных моделей для описания соответствующих физических механизмов. При этом может возникнуть необходимость во введении различных мер для анализа одного и того же процесса (например, деформирования) на различных структурных уровнях, установление связей между однотипными мерами, определенными на различных структурных уровнях, необходимость в построении иерархической совокупности моделей. В дальнейшем будем в основном рассматривать процессы деформирования, формоизменения материальных тел, происходящие под действием различных внешних воздействий. Деформирование осуществляется путем реализации большого числа механизмов (и соответствующих «носителей», реализующих эти механизмы) и происходит на фоне непрерывного изменения структуры материала. Последнее приводит к существенному изменению свойств материала.

Учитывая огромное количество «носителей» того или иного механизма деформирования и самих этих механизмов (атомы решетки, точечные дефекты, дислокации, дисклинации, ротационные моды, зернограничные дислокации в кристаллических телах, трансформации конфигурации макромолекул в полимерах и т. д.) и сложность учета даже попарного, а тем более множественного («многочастичного») взаимодействия, пред-

10

ставляется нецелесообразным и малоперспективным отказ от гипотезы сплошности, континуализации даже при рассмотрении процессов деформирования с физической точки зрения. В этом случае в рассмотрение вводятся поля «носителей» тех или иных механизмов формоизменения и соответствующие поля термомеханических характеристик, трактуемые как осредненные («размазанные» по некоторым подобъемам исследуемой области) меры «носителей» по некоторым областям (тела, ориентационного или вероятностного пространства), формулируются эволюционные (кинетические) уравнения для описания их изменения на каждом структурном или масштабном уровне.

В связи с вышесказанным для каждого уровня можно ввести понятие представительного объема (ПО) как минимального объема материала, в котором содержится достаточное для статистического описания состояния тела число «носителей» рассматриваемых механизмов процесса. Добавление к этому объему других частей данного материала с аналогичной (в статистическом смысле) конфигурацией «носителей» анализируемых механизмов не должно приводить к изменению эволюционных уравнений для полевых величин, описывающих изменение конфигурации «носителей». В классической МСС предполагается, что размеры представительного объема таковы, что градиентами этих полевых величин и других параметров состояния в пределах представительного объема можно пренебречь, что позволяет считать указанные поля однородными (в статистическом смысле) в масштабах представительного объема. При этом возникает проблема использования классического математического анализа, до сих пор остающегося основой математического аппарата МСС, оперирующего понятием значения функции в (математической) точке. Точка в понимании математика и механика – разные объекты. Чтобы использовать мощь математического анализа, на уровне соглашения принимается, что осредненные по «скользящему проницаемому» представительному объему величины приписывают к некоторым образом выбранному центру представительного объема. Данное обстоятельство следует иметь в виду при анализе результатов решения краевых задач МСС, памятуя о том, что значительные неоднородности искомых полей с достаточной степенью адекватности определимы только на масштабах, существенно превосходящих размеры ПО. Особенно данное обстоятельство следует учитывать при анализе решений так называемых задач с сингулярностями, где вблизи особых (сингулярных) точек решение имеет вид резко изменяющихся функций. Следует отметить, что в моделях обобщенных континуумов (например, в телах второго порядка, где в качестве параметров состояния наряду с первыми градиентами вектора перемещений используются градиенты второго порядка) параметры состояния в пределах представительного объема также полагаются однородными.