571

11

Необходимо заметить, что проблема установления ПО является весьма сложной, поскольку его определение связано как с особенностями микроскопического строения исследуемого материала и требуемой в конкретной задаче степенью глубины анализа, так и с процессами воздействия на материал. Для решения этой проблемы необходимо привлекать физические подходы и методы (статистическую физику, молекулярную динамику

ит.д.).

Вразличных ОС, используемых в МСС, часто используется близкое в термодинамическом смысле к введенному выше понятию ПО понятие времени релаксации. Пусть представительный объем (который можно рассматривать как термодинамическую систему) материала находится в термодинамическом равновесии с окружающей средой. В некоторый момент времени состояние окружающей среды резко (скачком) изменяется; под временем релаксации будет пониматься время, необходимое для перехода представительного объема рассматриваемой физико-механической системы в (новое) состояние равновесия с окружающей средой при условии сохранения (после скачка) состояния последней неизменным. Для представительного объема любого уровня будет предполагаться, что времена релаксации (по соответствующим механизмам) существенно меньше времен значительного изменения внешних воздействий. Иначе говоря, скорость перехода одной равновесной конфигурации «носителей» в другую равновесную конфигурацию существенно больше скорости изменения воздействий, вызывающих этот переход.

Построение любой теории для описания поведения материала (любых ОС) невозможно без стадии идентификации модели, на которой определяются физические постоянные и материальные функции, описывающие свойства материала, и стадии верификации (проверки адекватности) построенной модели. Понятно, что каждая из упомянутых стадий требует проведения экспериментов (часто довольно сложных) с соответствующими измерениями требуемых параметров. В связи с этим следует отметить, что при построении большинства физических теорий (чаще всего) неявным образом вводится гипотеза о прямой или косвенной измеримости всех физических величин, входящих в соответствующие уравнения состояния; аналогичная гипотеза будет принята и здесь.

Таким образом, ОС должны описывать физико-механические свойства конкретных материалов и их классов. Но можно ли одним ОС или некоторой группой, содержащей небольшое конечное число соотношений, описать все физико-механические свойства исследуемого материала? Почти очевидно, что ответ отрицательный. Действительно, в любом конечном объеме содержится физически бесконечное число микрочастиц, носителей механизмов неупругого деформирования, связей между ними, что требует для описания происходящих в материале процессов физически бесконеч-

12

ного количества соотношений. Каков же выход из этой, казалось бы, безнадежной ситуации? Для этого достаточно вспомнить, что аналогичная картина имеет место во всех областях знаний. Все существующие объекты бесконечны как при движении в сторону макромира, так и при движении в сторону микромира. Но исследователи во всех областях знаний давно уже научились глобальные проблемы разделять на частные, выделять из них подпроблемы и так далее, пока задача не превращается в разрешимую имеющимися средствами за приемлемое время (хотя при этом неразрешимые в настоящее время проблемы не отбрасываются, они временно «консервируются», к ним регулярно возвращаются). Заметим, что исследование окружающего нас мира (равно как и мира внутреннего) представляет собой процесс последовательного построения все более сложных и глубоких моделей, при создании каждой из которых всегда ставятся вполне определенные цели и задачи. Аналогичным образом строятся и модели для описания поведения материалов – определяющие соотношения, они формулируются для достижения определенных целей, решения того или иного класса задач. Целеполагание – важный аспект построения любых ОС.

Под определяющими соотношениями понимаются ограничения (связи), накладываемые на параметры кинематического, динамического, термодинамического и нетермомеханического типов (соответствующего уровня) и историю их изменения. Данные связи на рассматриваемом уровне являются целевым отражением исследуемых свойств среды, описывающим взаимодействие частиц (молекул, атомов и т. д.) и эволюцию «носителей» механизмов анализируемого процесса в реальном материале.

Понятно, что для применения ОС при постановках и решении краевых задач они должны быть записаны в виде математических соотношений. Каков вид этих математических соотношений? Математические выражения определяющих соотношений чрезвычайно разнообразны, могут иметь вид «конечных» соотношений между мерами напряженного и деформированного состояний и другими параметрами, линейными и нелинейными дифференциальными связями, функциональными уравнениями. В последние годы широко распространенными являются ОС, содержащие дополнительные (так называемые внутренние) переменные, характеризующие микроструктуру, и эволюционные уравнения для них. В наиболее общей форме ОС могут быть записаны в виде операторных уравнений. Следует отметить, что поскольку сложность соответствующих краевых задач в значительной степени определяется сложностью входящих в постановку ОС, исследователи, естественно, стремятся к наиболее простым (по математической структуре) ОС.

Заметим, что добавление ОС к уравнениям баланса (массы, количества движения и др.), справедливым для любых материальных тел, должно

13

делать систему уравнений замкнутой относительно исследуемых пара-

метров. Для замыкания постановки краевой задачи к указанным уравнениям должны быть добавлены соответствующие краевые условия.

Как уже отмечалось ранее, в настоящем курсе изучаются главным образом ОС, описывающие процессы деформирования материальных тел (с возможным усложнением описания при учете структурных и фазовых превращений материала, что приводит к необходимости формулировки дополнительных эволюционных уравнений). Хотя основные понятия и положения вводятся для макроуровня (или «инженерного уровня»), они без существенных изменений могут быть перенесены на другие масштабные и структурные уровни; возникающая при этом потребность во введении дополнительных параметров не изменяет принципиальных положений.

При этом реальные физические тела заменяются их континуальными аналогами, т.е. речь идет о сплошных средах. Напомним основные поло-

жения и определения МСС. Отсчетная и актуальная конфигурации ис-

следуемого тела В будут обозначаться как K 0 и K t. Положения материальных частиц в K 0 и K t относительно выбранных систем отсчета будут определяться радиусами-векторами R0 и r; при выделении частиц с помощью материального описания будет использоваться обозначение Х. Наряду с системой отсчета для описания движения может использоваться система *, оси систем координат которых в каждый момент времени t (здесь

t = t*) могут быть совмещены трансляционным переносом r0 (t) и поворотом, определяемым ортогональным тензором O(t) O ( O — собственно ортогональная группа) и полюсом (здесь r0 (t) и r0 (t) – радиусывекторы одной и той же материальной частицы, выбранной за полюс, в и * соответственно). Отметим, что при переходе от описания движения частицы Х с позиций наблюдателя к описанию наблюдателем * соответст-

вующие радиусы-векторы связаны следующим соотношением:

(1)

r0 (t) (r( X ,t) r0 (t)) O(t).

Далее всюду будем считать O(0) = E, где Е — единичный тензор.

14

Независимые от выбора системы отсчета тензорные характеристики, типы независимости

Описание тех или иных физических характеристик осуществляется с помощью тензорзначных функций, определяемых либо в терминах K0 (на-

пример, A ), либо в терминах K t ( A ). Следует напомнить, что когда говорится «тензор, определенный в терминах (или – в базисе) К0 (K t)», то это означает, что компоненты тензора в соответствующем базисе имеют ясно выраженный физический (геометрический, энергетический) смысл. Конечно, в силу своих свойств любой тензор можно преобразовать в любой другой базис, однако при этом, как правило, теряется физический смысл его компонент. Для описания одних и тех же характеристик среды (напряжений, деформаций и т.д.) могут применяться различные тензорные меры, определяемые в разных базисах (К0, K t или смешанных), являющиеся эквивалентными друг другу в том смысле, что они определяют одну и ту же характеристику среды, и в силу этого одни выражаются через другие с использованием (в некоторых случаях) кинематических параметров (например, градиента места). Применение различных тензорных мер для определения одной и той же характеристики среды связано в значительной степени с особенностями решаемой задачи; например, при рассмотрении геометрически нелинейных задач (при больших градиентах перемещений) предпочтительнее использовать меры, определенные в терминах К0, поскольку актуальная конфигурация существенно отличается от начальной и является неизвестной.

Весьма важное значение при этом имеет свойство независимости рассматриваемых характеристик от выбора системы отсчета (или от наложенного жесткого движения); в некоторых работах это свойство называется объективностью (нам этот термин представляется неудачным, о чем речь пойдет ниже). Особенно важно выполнение этого требования для ОС. Почему? Действительно, если бы изменение системы отсчета приводило к необходимости изменения ОС, то весьма усложнилась бы процедура решения многих задач (а часть из них вообще не была бы решена); кроме того, подобная зависимость противоречит физическому смыслу конститутивных уравнений. ОС, как отмечено выше, отражают (описывают) внутренние взаимодействия микрочастиц материи, которые, конечно же, не должны меняться при замене одной системы отсчета на другую, движущуюся относительно первой (в рамках классической механики). Выполнение этого требования является одним из важных критериев приемлемости того или иного ОС. В некоторых случаях требование независимости от системы отсчета играет конструктивную роль, позволяя определить набор входящих в ОС параметров и даже его вид.

15

Для тензорзначных характеристик, определяемых в терминах K 0, независимость от выбора системы отсчета называется инвариантностью по отношению к наложенному жесткому движению и математически записывается как

Для тензорзначных характеристик, определяемых в терминах K t, независимость от системы отсчета будет называться индифферентностью и означает равенство компонент тензорзначной функции в каждый момент

Несмотря на существенное различие двух вышеприведенных определений, они практически идентичны. На чем основано последнее утверждение? По существу, оба определения сводятся к равенству в каждый момент времени компонент тензоров, определяемых наблюдателями и *,

но в первом случае – в отсчетном N* ij Nij , во втором – в текущем (ак-

ной характеристики в смешанном базисе определение независимости от выбора системы отсчета получается комбинацией правил (2) и (3) (предоставляется записать читателю); в этом случае независимые от выбора системы отсчета тензорные характеристики называются «двухточечными» (точнее, их следует назвать «двухбазисными»).

Как нетрудно показать, из (1) следует связь между векторами лагранжева вмороженного базиса в Kt и K t :

Из указанного выше покомпонентного толкования независимости от выбора системы отсчета с использованием (4) легко получить соотношение

(3) и соответствующее соотношение для двухточечных тензоров любого ранга (представляется проделать самостоятельно).

Следует различать рассматриваемое здесь понятие независимости от выбора системы отсчета и широко используемое в физике и механике требование независимости физических величин от выбора системы коорди-

16

нат. Последнее удовлетворяется для всех физических величин, представленных тензорами или тензорзначными функциями (включая скалярные – тензорные нулевого ранга). В то же время даже скалярные величины могут зависеть от выбора системы отсчета; например, кинетическая энергия материальной точки будет отличаться в двух движущихся относительно друг друга (даже поступательно с постоянной скоростью) системах отсчета.

Выше уже отмечалось, что некоторые авторы независимость от выбора системы отсчета называет объективностью. Этот термин представляется неудачным. Почему? Под объективными величинами в русском языке понимаются независящие от субъекта познания характеристики, и к таковым в физике и механике следует относить все параметры, определяемые прямыми измерениями или вычисляемые с применением достоверных, проверенных длительным опытом применения соотношений. С позиций замен систем отсчета объективными следует признать все характеристики, которые, будучи определенными в одной системе отсчета , могут быть определены и в системе *, и для этого не требуется никакой другой информации, кроме закона движения * относительно . При таком понимании объективности к объективным характеристикам следует отнести даже такие традиционно считающиеся «необъективными» характеристики, как кинетическая энергия или траектория движения материальной точки.

Остановимся подробнее на некоторых понятиях и определениях, связанных с независимостью от выбора системы отсчета; будут рассматриваться характеристики, описывающие одно и то же свойство материала или его изменение (например, меры напряженного или деформированного состояния), т.е. являющиеся «физически идентичными» (эквивалентными), но различным образом «реагирующие» на замену системы отсчета. Изложение в некоторой степени будет перекликаться с работой [8].

Из сказанного выше нетрудно догадаться, как из индифферентных тензоров «организовывать» инвариантные по отношению к наложенному жесткому движению, и наоборот; аналогично можно действовать и с двухточечными тензорами. Действительно, учитывая свойства компонент независимых от выбора систем отсчета тензоров для перехода от индифферентного тензора к инвариантному по отношению к наложенному жесткому движению, достаточно компоненты первого в каждый момент времени относить к лагранжеву базису в К0, и наоборот.

Обратимся к формализму таких переходов, для простоты рассмотрим

ˆ °^ ^°

его на примере двухвалентных тензоров. Введем обозначения: A,A,A,A – инвариантный к наложенному жесткому движению, индифферентный, «левая» и «правая» двухточечные тензорзначные функции, причем все они полагаются относящимися к одной и той же характеристике среды. Определим двухвалентные тензоры L , R и скаляр γ такими, что при заменах

T(k ,k ) , T1(k ,k ) , T2(k ,k ) — невырожденные (k , k) – объективные тензоры, удовле-

творяющие условиям

Тензоры T(k ,l ) , Ti (k ,l ) называют переходными тензорами диаграмм (6).

Диаграммы (6) связывают механически родственные характеристики; при этом все элементы отображений (7) отнесены к произвольно выделенным моменту времени и точке тела (или телу в целом) в любом его движении в произвольно выбранной системе отсчета.

В качестве переходных тензоров могут использоваться градиенты места, ортогональный тензор, сопровождающий деформацию, и другие.

Понятие простых аналогов относится прежде всего к объективным векторам и тензорам, выражающим родственные друг другу механические характеристики, т. е. имеющие сходный смысл и, как правило, общую для них физическую единицу измерения. Такими родственными характеристиками являются, например, различные тензоры деформаций, тензоры напряжений, объективные производные тензоров деформаций, объективные производные тензоров напряжений. Простые диаграммы позволяют для любой объективной механической характеристики построить полный набор ее аналогов разных типов, единственным образом определяемый этой характеристикой и диа-

если при этом = 1.

Энергетическая сопряженность [5] пар одноименных простых аналогов тензорных мер напряжений и деформаций и их симметричность полностью обеспечивается сопряженностью пары диаграмм деформаций и напряжений и квазисимметричностью любой (а потому и каждой из них), и множество таких диаграмм порождает полный класс симметричных энергетически сопряженных тензорных мер напряжений и деформаций, построенных на базе простых диаграмм.

20

Основные подходы к установлению определяющих соотношений

Рассмотрим основные подходы к формулировке определяющих соотношений, широко используемые в настоящее время:

–феноменологический макроскопический (макрофеноменологический);

–структурно-механический (имитационный);

–термодинамический;

–физический.

Следует отметить, что практически все известные подходы, на любых структурных и масштабных уровнях, опираются на феноменологическое1 рассмотрение соответствующих явлений. Феноменологический подход часто трактуется как опытное рассмотрение «входов» и «выходов» некоего «черного ящика», о содержании которого исследователю практически ничего не известно. Однако это представляется слишком упрощенным и не совсем корректным толкованием существа подхода. В действительности без каких-либо предварительных данных о сущности происходящих в исследуемом объекте процессов установление сколько-нибудь удовлетворительных связей между «входами-выходами» практически невозможно (в силу несчетности множества возможных вариантов). В то же время каждый исследуемый объект, процесс, явление всегда остается в той или иной мере «черным ящиком», поскольку исследователь не располагает абсолютно полными и истинными знаниями о происходящих явлениях. В связи с этим следует подчеркнуть условность названий подходов, отсутствие четко выраженных «границ раздела» между указанными методами построения ОС.

Исторически первым и одним из наиболее продуктивных до настоя-

щего времени можно считать феноменологический макроскопический (макрофеноменологический) подход. Он является основой для получе-

ния ОС в терминах макропеременных континуальных тел (напряжений, деформаций, температур и т. д.), широко используемых для решения большого круга прикладных инженерных задач. Суть данного подхода состоит в следующем.

На начальной стадии с использованием физического анализа (на качественном уровне), имеющихся экспериментальных данных формулируются некоторые гипотезы общего характера (часто в виде аксиом или принципов), обосновывается их непротиворечивость; вводятся основные поня-

1 Феномен (от греческого phainomenon – являющееся) – философское понятие, означающее явление, данное нам в опыте, чувственном познании (в противоположность ноумену, постигаемому разумом и составляющему основу, сущность феномена). (Советский энциклопедический словарь. М.: Советская энциклопедия, 1982).