554

Композиционное правило нечеткого логического вывода Заде

Если известно нечеткое отношение переменных х и у, то при нечетком значении входной переменной х А нечеткое значение выход-

Вначале рассчитываем нечеткое отношение R согласно правилу: «Если х = A , то у = B ». Применяя в качестве t-нормы операцию min, получим

По формуле y C R рассчитываем нечеткое значение функции принадлежности выходной переменной у:

max {min А x , R x, y },

x X

B ( y) max min[ А(x), RA B (x, y)] ,

x X

т.е. функция принадлежности заключения B равна максимальному значению функции принадлежности пересечения посылки А и импликации

А В.

51

0,7 0,7 0,4 0,2 .5 10 15 20

Доказательство:

q1 max(min(0,3;0), min(0,5;0,1),min(1;0,5), min(0,7;0,8),min(0,4;1)) 0,7;

q2 max(min(0,3;0), min(0,5;0,1),min(1;0,5), min(0,7;0,8),min(0,4;0,8)) 0,7;

q3 max(min(0,3;0), min(0,5;0,1),min(1;0,4), min(0,7;0,4),min(0,4;0,4)) 0,4;

q4 max(min(0,3;0), min(0,5;0,1),min(1;0,2), min(0,7;0,2),min(0,4;0,2)) 0,2.

Рассмотрим наиболее важные варианты модификации нечеткого вывода, где алгоритмы нечеткого вывода различаются в основном видом используемого правила нечеткой импликации и терм-множеством функций принадлежности лингвистической переменной выхода нечеткого вывода.

Нечеткий логический вывод по Заде

Это модификации нечеткого вывода, где нечеткая импликация реализуется операцией взятия минимума и терм-множество управления задано синглетонами [5, 6].

Пусть продуктивные правила П1, П2 представлены в следующей форме:

52

П1: если х есть A1 и y есть B1, то z есть C1 , П2: если х есть A2 и y есть B2, то z есть C2 ,

где х, у, z – имена переменных входа и выхода, соответственно, а A1 , B1 , A2 , B2 С1 ,С2 – упрощенная запись заданных непрерывных функ-

ций принадлежности, при этом четкое значение z0 необходимо определить при входных переменных x0 и y0 .

1.Введение нечеткости: находим текущие степени принадлежности для предпосылок правил: (П1, П2): А1 x0 , А2 x0 , В1 у0 , В2 у0 .

2.Находим степени принадлежности после операции минимум, где нечеткая импликация Т-типа (по Мамдани) определяется по формуле

μA B (x, y) μA (x) μB ( y) min[μA (x),μB ( y)]

или

1 min A1(x0 ), B1( y0 ) A1 (x0 ) B1( y0 ),

2 min A2 (x0 ), B2 ( y0 ) A2 (x0 ) B2 ( y0 ).

3.Находим степень принадлежности одноименных функций принадлежности после операции минимум, используя операцию максимум.

Рис. 1.19. Графическая интерпретация нечеткого вывода по Заде

53

4. Определяем выход после нечеткой композиции

n

αi Ci , i 1

где функции принадлежности терм-множества лингвистической переменной выхода (синглетоны) С1, С2 задаются.

5. Методом центроида приводим к четкости переменную выхода

i 1

Графическая интерпретация нечеткого вывода показана нарис. 1.19.

Нечеткий вывод по Мамдани

В этом варианте нечеткого вывода используем фаззификацию на несинглетонной базе и операцию взятия минимума в качестве нечеткой импликации (рис. 1.20) [6].

Рис. 1.20. Иллюстрация нечеткого вывода Мамдани, где фаззификация выполнена на несинглетонной базе

54

Пусть продуктивные правила П1, П2 записаны в следующей форме:

П1: если х есть A1 и y есть B1, то z есть C1 , П2: если х есть A2 и y есть B2, то z есть C2 ,

где х, у, z – имена переменных входа и выхода, соответственно, а A1 , B1 , A2 , B2 С1 ,С2 – упрощенная запись заданных непрерывных функций принадлежности, при этом четкое значение z0 необходимо определить при текущих переменных x0 и y0 .

1.Введение нечеткости: находим текущие степени принадлежности для предпосылок правил (П1, П2): А1 x0 , А2 x0 , В1 у0 , В2 у0 .

2.Находим степени принадлежности после операции минимум, где нечеткая импликация Т-типа (по Мамдани) определяется по формуле

A B (x, y) A (x) B ( y)

min A (x), B ( y)

или

1 min A1(x0 ), B1( y0 ) A1 (x0 ) B1( y0 ),

2 min A2 (x0 ), B2 ( y0 ) A2 (x0 ) B2 ( y0 ).

3.Находим «усеченные» функции принадлежности С*1(z) , C*2 (z) для предпосылок каждого правила при нечеткой композиции:

С1 [ 1 C1 ] min 1,С1 , С2 [ 2 C2 ] min 2С2 .

4. Нечеткая композиция (свертка) производится объединением найденных усеченных функций С1 , С2 с помощью поточечного суммирования:

C C1 C2 .

5. Приведение к четкости модифицированным методом центроида:

55

Пример 1.18. Рассмотрим нечеткий вывод по Мамдани.

Пусть дана система управления нечеткой логики с двумя правилами нечеткого управления, где фаззификация выполнена на синглетонной базе:

Rule1: IF x этоA1 AND, y это B1 THEN z это C1, ; Rule 2 : IF x это A2 AND, y это B2 THEN z это C2.

Предположим, что величины xi и yi , считываемые с датчиков, яв-

ляются четкими входными величинами для лингвистических переменных х и y . При этом заданы следующие термы для нечетких подмно-

жеств A1 , A2 , B1 , B2 ,С1 ,С2 этих переменных:

56

Затем в соответствии с правилом вывода Мамдани определяем уровни среза (рис. 1.21).

Рис. 1.21. Иллюстрация нечеткого вывода по Мамдани

α1 min μA1 x0 ,μВ1 y0 min 0,5 0,7 0,5 ,

α2 min μA2 x0 ,μВ2 y0 min 0,6 0,3 0,3.

57

Окончательно, поточечно суммируя функции принадлежности выхода С1 и С2 и используя формулу метода центроида, получим

zцт 1 0,5 2 0,5 3 0,5 4 0,5 5 0,3 6 0,3 7 0,3 8 0 4,98 . 0,5 4 0,3 3

Нечеткий вывод по Ларсену

Пример 1.19. Рассмотрим нечеткий вывод по Ларсену [5].

Пусть дана система управления нечеткой логики с двумя правилами нечеткого управления:

Rule1: IF x это A1 AND, y это B1 THEN z это C1 , Rule 2 : IF x это A2 AND, y это B2 THEN z это C2 .

Предположим, что величины xi и yi , считываемые с датчиков, яв-

ляются четкими входными величинами для лингвистических переменных х и y . При этом заданы следующие термы для нечетких подмно-

жеств A1 , A2 , B1 , B2 ,С1 ,С2 этих переменных:

58

Находим усеченные функции принадлежности С*1 (z) , C*2 (z) для

предпосылок каждого правила при нечеткой композиции. В данном алгоритме нечеткая импликация моделируется с использованием оператора умножения:

59

или

Нечеткая композиция (свертка) производится объединением найденных усеченных функций С1 z , С1 z с помощью поточечного суммирования:

μ (z) C(z) C1* (z) C2* (z) .

Приведение к четкости модифицированным методом центроида:

Рис. 1.22. Иллюстрация нечеткого вывода по Ларсену

60