554

В случае когда X = Y, т.е. X и Y совпадают, нечеткое отношение R:(X · X) → [0,1] называется нечетким отношением на подмножестве Х.

Другие формы представления отношений

Пример 1.12. Найти отношение подмножеств X = {3, 4, 5} и Y = = {4, 5, 6}, где х1 = 3; х2 = 4; х3 = 5; у1 = 4; у2 = 5; у3 = 6. Их отношение

«y примерно равен х».

Решение. Данное отношение можно записать в виде

R (4,4)1 (5,5)1 (3,4)0,8 (5,6)0,8 (3,5)0,6 (4,6)0,6 (3,6)0,4

или

или в виде матрицы

41

Пример 1.13. Определить нечеткое отношение с помощью операции min при заданных нечетких подмножествах А и В.

Операции с нечеткими отношениями

Пересечение

Пересечение двух отношений R1 и R2 обозначается R1 R2 и определяется выражением R1 R2 (x, y) R1 (x, y) R2 (x, y).

Объединение

Объединение двух отношений обозначается R1 R2 и определяется выражением R1 R2 (x, y) R1 (x, y) R2 (x, y).

Алгебраическое произведение

Алгебраическое произведение двух отношений R1 и R2 обозначается R1 · R2 и определяется выражением

R1 R2 (x, y) R1 (x, y) R2 (x, y).

Алгебраическая сумма

Алгебраическая сумма двух отношений R1 и R2 обозначается R1 + R2 с выражением

42

R1 R2 (x, y) R1 (x, y) R2 (x, y) R1 (x, y) R2 (x, y).

Дизъюнктивная сумма

Дизъюнктивная сумма двух отношений R1 и R2 обозначается R1 R2 и определяется выражением

R1 R2 (R1 R2 ) (R1 R2 ).

Дополнение

Дополнение отношения R обозначается R и определяется функцией принадлежности

R (x, y) 1 R (x, y).

Для введенных операций справедливы следующие свойства дистрибутивности:

R1 (R2 R3 ) (R1 R2 ) (R1 R3 ),

R1 (R2 R3 ) (R1 R2 ) (R1 R3 ),

R1 (R2 R3 ) (R1 R2 ) (R1 R3 ),

R1 (R2 R3 ) (R1 R2 ) (R1 R3 ),

R1 (R2 R3 ) (R1 R2 ) (R1 R3 ),

R1 (R2 R3 ) (R1 R2 ) (R1 R3 ).

Рассмотрим возможные варианты комбинаций.

1.Пересечение и объединение нечетких отношений:

R1 R2 (x, z) min( R1 (x, y), R2 ( y, z)),

R1 R2 (x, z) max( R1 (x, y), R2 ( y, z)).

2.Произведение нечетких отношений рассмотрим на примере 1.14. Пример 1.14. Пусть заданы отношения

43

причем

Х = {x1, x2}; Y = {y1, y2}; Z z1, z2 , z3 .

Решение:

где

q11 = max[min (0,2; 0,3), min (0,5; 0,7)] = 0,5, q12 = max[min (0,2; 0,6), min (0,5; 0,9)] = 0,5, q13 = max[min (0,2; 0,8), min (0,5; 0,4)] = 0,4, q21 = max[min (0,6; 0,3), min (1; 0,7)] = 0,7, q22 = max[min (0,6; 0,6), min (1; 0,9)] = 0,9, q23 = max[min (0,6; 0,8), min (1; 0,4)] = 0,6.

Пример 1.15. Рассмотреть нейросетевую реализацию нечетких отношений [5].

Основные трудности построения нечетких отношений связаны с настройкой большого числа функций принадлежности. Применение нейронной сети с синапсами, соответствующими этим функциям принадлежности, снимает эту проблему.

Пусть X и Y нечеткие множества на универсумах U и V соответственно и R, описываемых всеми отношениями (связями) между входом и выходом в декартовом произведении U V .

Запишем уравнение нечеткого отношения

Y X R .

Пусть

U x1 , x2 ,..., xn и V y1, y2 ,..., уn ,

тогда

44

Выражение (1.2) можно записать, используя матричную запись отношения R:

Данное выражение может быть реализовано нейронной сетью на нечетких нейронах (рис. 1.17).

Рис. 1.17. Нейросетевая модель нечетких отношений

Однако, следуя уравнению (1.2), на определенном выходном узле необходимо получить сигнал (max или min), отличающийся от сигналов на других узлах. Если использовать операцию суммирования сигналов на входах нейрона, то результирующий сигнал может быть слишком малым для активационного выхода. Поэтому к каждому выходному узлу рассматриваемой нейронной сети добавляется порог (blias), обозна-

45

Добавление порога (точно так же, как в искусственном нейроне) можно рассматривать как введение дополнительного входа в нейронный узел, значение которого изменяется от 0 до 1.

Таким образом, уравнение (1.4) можно рассматривать как функцию активации, используемую в выходном узле. Из этого уравнения также следует, что возможный уровень сигнала, получаемого на выходном узле сети, не может быть ниже порога. Для обучения такой сети можно использовать стандартные алгоритмы обучения.

1.7. Нечеткая импликация. Варианты реализации

Нечеткая импликация есть логическая операция отношения двух высказываний А и В в новое высказывание «Если А, то В» и обозначается RA B .

Вболее общем смысле нечеткую импликацию можно представить

ввиде нечетких множеств с ФП, заданной выражением [15, с. 6]:

Правила нечеткой импликации

Правило типа «логическое произведение» (1965) (импликация Т-типа по Заде) (правило Заде)

max min A (x), B ( y) , A (x) .

46

Алгоритм Мамдани (1974) (импликация Т-типа по Мамдани) (правило Мамдани)

RA B (x, y) A (x) B ( y)

min A (x), B ( y) .

Правило Лукашевича (1976)

RA B (x, y) 1 A (x) B ( y)

min A (x) B ( y) .

Правило типа «алгебраическое произведение» (Ларсен), (1980) (правило Ларсена)

RA B (x, y) A (x) B ( y).

Правило Гогуэна (нечеткая импликация типа)

Вероятностное правило (Рейшенбах) импликация QL-типа

RA B (x, y) 1 1 A (x) A (x) B ( y)

min 1,1 A (x) A (x) B ( y) .

Операцию нечеткой импликации в теории нечетких множеств можно реализовать по-разному (при этом будет отличаться и полученной результат): по Заде, Мамдани, Ларсену и т.д.

47

1.8. Нечеткая композиция. Аналитический способ свертки

Нечеткая композиция есть свертка логической информации после нечеткой импликации [5].

Существует два способа композиции (свертки): аналитический и графический.

Аналитический способ композиции

Пусть R1: (X×Y) → [0,1]; R2: (Y×Z) → [0,1].

µR1·R2 (x, z) [µR1 (x, y) µR2 ( y, z)] – есть max-min композиция (сверст-

ка) отношений R1 и R2.

Пример 1.16. Определить композицию

х2 = y1 = z3 – одни и те же числа. Доказательство:

= (0,1 0,9) (0,7 0,3) (0,4 0,1) =

= 0,1 0,3 0,1 = 0,3;

µR1 R2 (x1, z2) = [µR1 (x1, y1) µR2 (y1, z2)] [µR1 (x1, y2) µR2 (y2, z2)]

[µR1 (x1, y3) µR2 (y3, z2)] =

48

Графический способ – поточечное суммирование ординат функций принадлежности после нечеткой импликации.

Свойства max-min нечеткой композиции: операция max-min композиции – ассоциативна:

R3 (R2 R1 ) (R3 R2 ) R1,

дистрибутивна относительно объединения:

49

R1 (R2 R3 ) (R1 R2 ) (R1 R3 ),

дистрибутивна относительно пересечения:

R1 (R2 R3 ) (R1 R2 ) (R1 R3 ).

Кроме того, для max-min композиции выполняется следующее важное свойство (включение): если R1 R2 , то R3 R1 R3 R2 .

1.9. Модуль нечеткого логического вывода. Графическая интерпретация систем нечеткого вывода

Для многих приложений, связанных с управлением технологических процессов, необходимо построение модели рассматриваемого процесса. Знание модели позволяет подобрать соответствующий регулятор. Применение теории нечетких подмножеств управления технологическими процессами не предполагает знание моделей этих процессов. Следует только сформулировать правила поведения в форме нечетких условных суждений.

Рассмотрим структуру модуля «нечеткий регулятор», состоящего из фаззификатора, блока нечеткого логического вывода и дефаззифика-

тора (рис. 1.18).

Фаззификация нечеткого регулятора рассмотрена в подразд. 1.4. Блок нечеткого логического вывода объединяет операции нечеткой импликации и нечеткой композиции. Дефаззификатор преобразует нечеткую логическую информацию в четкую логическую информацию.

Одним из вариантов нечеткого логического вывода является компрозиционное правило Заде

Рис. 1.18. Структурная схема модуля «нечеткий регулятор»

50