Организация и математическое планирование эксперимента

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Пермский национальный исследовательский политехнический университет»

Кафедра «Металловедение термической и лазерной обработки металлов»

ОРГАНИЗАЦИЯ И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ

ЭКСПЕРИМЕНТА

Методические указания к практическим занятиям

Издательство Пермского национального исследовательского

политехнического университета

2014

Составители: А.А. Шацов, Д.М. Ларинин

УДК 621.002.3:075.8 О-64

Рецензенты:

канд. техн. наук, проф. А.С. Иванов (Пермский национальный исследовательский политехнический университет);

канд. техн. наук, доцент С.Н. Белова (Пермский национальный исследовательский политехнический университет)

Организация и математическое планирование экспери- О-64 мента: метод. указания к практическим занятиям / сост.:

А.А. Шацов, Д.М. Ларинин. – Пермь: Изд-во Перм. нац. исслед. политехн. ун-та, 2014. – 27 с.

Даны краткие теоретические сведения и необходимые данные для ознакомления студентов с основами регрессионного анализа на примере исследования поверхностного насыщения низкоуглеродистой стали, оптимизации состава методом двухпараметрического квазикрутого восхождения.

Предназначены для студентов, изучающих курс «Организация и математическое планирование эксперимента», для выполнения курсовых работ, исследовательских дипломов и магистерских диссертаций.

УДК 621.002.3:075.8

© ПНИПУ, 2014

Практическое занятие № 1.

Нахождение коэффициентов уравнений методом наименьших квадратов при обработке экспериментальных

данных по химико-термической обработке сталей

Цели работы

1.Ознакомиться с программами для ПЭВМ, позволяющими анализировать экспериментальные результаты с использованием метода наименьших квадратов.

2.На примере процессов в сталях определить энергию активации насыщения стали элементами внедрения.

3.Проверить прогностические возможности полученных выражений.

Общие понятия и определения

Для характеристики связи при изучении корреляционной зависимости пользуются уравнениями приближенной регрессии. Основная задача регрессионного анализа состоит в том, чтобы по данной выборке объема n найти уравнение приближенной регрессии и оценить допускаемую при этом ошибку. Уравнение приближенной регрессии зависит, кроме прочих факторов, от выбираемого метода приближения. Чаще других используют метод наименьших квадратов.

Итак, задан некоторый класс функций f(x), накладывающих на выборку одинаковое количество связей I. Число связей I равно числу неопределенных коэффициентов, входящих в аналитическое выражение для этой функции (обычно многочлен различной степени). Наилучшее приближение регрессии дает та функция Ф из рассматриваемого класса, для которой сумма квадратов имеет наименьшее значение:

n

Φ = ( yi − f (xi ))2 .

i=1

3

Полагаем, что уравнение истинной регрессии выражает формула my = φ(x), а экспериментальные точки от этой зависимости отклоняются вследствие случайных ошибок измерения. Полагаем, что ошибки измерения подчиняются нормальному закону распределения, тогда результат i-го опыта есть случайная величина yi, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием myi = φ(xi) и средним квадратичным отклонением σi, характеризующим ошибку воспроизводимости.

Все эксперименты равноточны, т.е. σ1, σ2, … , σi, σn = σi. Нормальный закон, по которому распределена величина yi,

можно записать следующим образом:

При заданном σ2 максимум вероятности Р получится в случае, когда стоящая в показателе степени сумма минимальна:

n ( yi − ϕ (xi ))2 = min .

i=1

Определение коэффициентов уравнения регрессии по методу наименьших квадратов сводится практически к определению минимума функции многих переменных. Если функция y = f(x, b0, b1, b2, …, bk) дифференцируемая и требуется выбрать b0, b1, b2, … так,

чтобы Φ = n ( yi − f (xi ,b0 ,b1,b2 ,...,bk ))2 = min ,

i=1

необходимым условием минимума этого выражения является выполнение следующих равенств:

Если система уравнений содержит столько же уравнений, сколько неизвестных коэффициентов b0, b1, b2, …, bk входит в уравнение регрессии, то такую систему в математической статистике называют системой нормальных уравнений.

4

Функция Ф ≥ 0 при любых b0, b1, b2, …, bk, следовательно, у нее должен существовать хотя бы один минимум, поэтому если система нормальных уравнений имеет единственное решение, то оно и является минимумом функции Ф.

Для нахождения коэффициентов аппроксимируемого уравнения можно воспользоваться одной из программ ПЭВМ, реализующих методнаименьших квадратов, например программойEUREKA.

При работе с EUREKA необходимо аналитически задать вид аппроксимируемой функции в окне редактирования (Edit), переход в которое возможен с помощью верхнего меню (клавиша Escape, затем E). Для возможности нахождения неизвестных коэффициентов методом наименьших квадратов необходимо задать ряд эталонных (экспериментальных) значений функции при известных аргументах таковой.

Для получения результатов аппроксимации необходимо в верхнем меню программы выбрать пункт Solve (клавиша Escape, затем S). В окне результатов (Solution) при этом отобразятся значения неизвестных коэффициентов и ошибки, полученные при аппроксимации.

При получении неудовлетворительных результатов аппроксимации процесс продолжают, изменяя значения входных данных в рамках доверительного интервала погрешности измерений, до получения минимальной ошибки аппроксимации.

Ошибки, допускаемые при аппроксимации, фиксируются в окне Verify (клавиша Escape, затем С, затем V).

Материалы и оборудование:

–персональные компьютеры с пакетами стандартных программ;

–экспериментальные данные по результатам изучения хими- ко-термической обработки.

Порядок выполнения работы и обработки результатов

1. Получить исходные экспериментальные данные в виде следующих зависимостей: распределение концентрации элемента

5

внедрения – продолжительность ХТО, глубина слоя – время насыщения и других, характерных для того или иного вида обработки при различных температурах.

2. Для определения коэффициента диффузии D по известному распределению концентрации диффундирующего элемента может быть использовано выражение

Таким образом, для нахождения коэффициента пропорциональности между глубиной слоя х и продолжительностью процесса τ рекомендуем использовать параболическую зависимость

табличной величиной, c0 – концентрация элемента на поверхности, c – концентрация элемента на расстоянии от поверхности x.

6

Тогда

Величину ω находят по графикам (рисунок) или по таблице

(табл. 1).

Таблица 1

7

3. Коэффициенты а, вычисленные для различных температур, позволяют определить энергию активации процесса, для чего рекомендуем применять уравнение Аррениуса

−Q

D = D0еRT ,

где D0 – предэкспоненциальный множитель, м2/с; Q – энергия активации процесса, Дж/моль; R – универсальная газовая постоянная

(R = 8,314 Дж/(моль·К)).

4.Вычисленные значения толщины слоя и энергии активации представить в форме таблицы. Проверить прогностические возможности полученных выражений, сравнив расчетные и экспериментально определенные значения h при не вошедших в таблицу температурах или иной продолжительности процесса.

5.Описать полученные результаты.

6.Сделать вывод о применимости метода наименьших квадратов для исследованного процесса насыщения стали. Указать, какие результаты и каким образом получены.

8

Пример выполнения работы

В табл. 2 приведен пример индивидуального задания.

Таблица 2

Пример индивидуального задания

Для нахождения коэффициента пропорциональности между глубиной азотированного при температурах 500 и 550 °С слоя h и продолжительностью процесса t при использовании параболической зависимости воспользуемся программой ЕURЕКА. В окно редактора программы помещаем следующий текст:

Тогда при аппроксимации функции методом наименьших квадратов в окне результатов отобразится значение неизвестного

козффициента k:

k = 1.381 640 1e–12.

Подобным образом найдем 2-й коэффициент для температуры

550°С:

f(x) = (k*x)^0.5

9

f(x1) = 0,42e – 3 f(x2) = 0,41e – 3 x1 = 36*3600 x2 = 30*3600 $substlevel = 0

Полученный результат: k = 1.384 604 8e – 12.

Для нахождения D и Q необходимо воспользоваться уравнением Аррениуса и найденными коэффициентами пропорциональности. Во избежание попадания в локальный минимум среднеквадратичного отклонениязададим пределы значенийэнергииактивации:

f(t) = D*exp(–Q/(8.31*t)); 61 000 < Q < 66 000; f(773) = 1.3816e – 12; f(823) = 1.3846e – 12.

В результате аппроксимации получим значение предэкспоненциального множителя и энергии активации:

D0 = 7.764 992 7e – 09 см2/с; Q = 63 000 Дж/моль.

Длярешениязадачи2-мспособомвоспользуемсяуравнением(2).

Выразим D и найдем D2 для 550 °С:

D2 = 1.022·10–11 м2/с

Для нахождения D0 и Q используем уравнение Аррениуса. В окно редактора программы помещаем следущий текст: 0.8073e – 11 = D*exp(–Q/(8.31*773));

10