Метрология стандартизация и сертификация.-1

Решение

1.Предел допускаемой относительной погрешности вольтметра на отметке 0,9 В составляет

x СИ UUn 0,5 1,50,9 0,83 %.

2.При подсоединении вольтметра исходное напряжение Ux (см. рис. 1.1) изменится из-за наличия Rv и составит

Uv R RRv Ux .

Тогда методическая погрешность, обусловленная конечным значением Rv , в относительной форме составит

3. Данная методическая погрешность является систематической составляющей погрешностью измерения и должна быть внесена в результат в виде поправки q = – м 0,4 % или в абсолют-

ной форме на отметке 0,9 В:

qa 100Uq 0,9 0,4 10 2 0,004 В.

4. Поскольку основная и дополнительные погрешности заданы своими граничными значениями, то они могут рассматриваться как неисключенные систематические погрешности. Тогда границы неисключенной погрешности можно вычислить так:

где i – границы i-й составляющей неисключенной составляющей

погрешности; K – коэффициент, определяемый принятой доверительной вероятностью.

11

5. Ввиду того, что q, окончательный результат измерения записывается в виде

x 0,90 В; 0,01 В; p 0,95.

Контрольные вопросы

1.Назовите основные виды измерений.

2.Назовите основные методы измерений.

3.Что такое класс точности средства измерений?

4.Что такое качество измерений?

5.В чем заключается методика выполнения измерений в случае с однократными измерениями?

6.Когда необходимо переходить от однократных измерений к многократным?

7.Когда учитываются дополнительные погрешности?

8.Охарактеризуйте основные виды погрешностей.

9.Каксуммируютсяслучайныеисистематическиепогрешности?

10.Дайте характеристику способов исключения систематической погрешности.

13

РАБОТА № 2. ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

Прямые многократные измерения

Прямые многократные измерения делятся на равно- и неравноточные. Теоретические основы и методика объединения результатов неравноточных измерений подробно рассмотрены в [2]. Равноточными называются измерения, которые проводятся средствами измерений одинаковой точности по одной и той же методике, неизменных внешних условиях. При равноточных измерениях СКО результатоввсехрядовизмеренийравнымеждусобой.

Перед проведением обработки результатов измерений необходимо удостовериться в том, что данные из обрабатываемой выборки статистически подконтрольны, группируются вокруг одного и того же центра и имеют одинаковую дисперсию. Устойчивость изменений часто оценивают интуитивно на основе длительных наблюдений. Однако существуют математические методы решения поставленной задачи – так называемые методы проверки однородности. Применительно к измерениям рассматривается однородность групп наблюдений, необходимые признаки которой состоят в оценке несмещенности средних арифметических дисперсий относительно другдруга.

Проверка допустимости различия между оценками дисперсий нормально распределенных результатов измерений выполняется с помощью критерия Р. Фишера при наличии двух групп наблюдений и критерия М. Бартлетта, если групп больше.

Задача обработки результатов измерений заключается в нахождении оценки измеряемой величины и доверительного интервала, в котором находится ее истинное значение. Обработка должна проводиться в соответствии с ГОСТ 8.207-76 «ГСИ. Прямые измерения с многократными наблюдениями. Методы обработки результатов наблюдений. Общие положения».

Исходной информацией для обработки является ряд из n (n > 4) результатов измерений x1, x2, x3, …, хn, из которых исключены известные систематические погрешности, – выборка. Число n

14

зависит как от требований к точности получаемого результата, так и от реальной возможности выполнять повторные измерения.

Последовательность обработки результатов прямых многократных измерений состоит из ряда этапов.

Определение точечных оценок закона распределения результатов измерений

На этом этапе определяются:

• среднее арифметическое значение x измеряемой величины по формуле

При любом законе распределения оно является состоятельной и несмещенной оценкой, а также наиболее эффективной по критерию наименьших квадратов.

• СКО результата измерения Sx по формуле оценки отдельных наблюдений

Иногда оказывается удобнее использовать следующие формулы для расчета оценок СКО отдельных наблюдений и результата измерения:

В соответствии с критериями грубые погрешности и промахи исключаются, после чего проводится повторный расчет оценок среднего арифметического значения и его СКО. В ряде случаев для более на-

15

дежной идентификации закона распределения результатов измерений могут определяться другие точечные оценки: коэффициент асимметрии, эксцессиконтрэксцесс, энтропийныйкоэффициент.

Определение доверительных границ случайной погрешности.

Если удалось идентифицировать закон распределения результатов измерений, то с его использованием находят квантильный множитель Zр при заданном значении доверительной вероятности p. В этом случаедоверительныеграницыслучайнойпогрешности ZрSx .

Определение границ неисключенной систематической погреш-

ности θ результата измерений. Под этими границами понимают найденные нестатистическими методами границы интервала, внутри которого находится неисключенная систематическая погрешность. Она образуется из ряда составляющих: как правило, погрешностей метода и средств измерений, а также субъективной погрешности. Границы неисключенной систематической погрешности принимаются равными пределам допускаемых основных и дополнительных погрешностей средств измерений, если их случайные составляющие пренебрежимо малы.

Доверительная вероятность при определении границ θ принимается равной доверительной вероятности, используемой при нахождении границ случайной погрешности.

Определение доверительных границ погрешности результата измерения p

Данная операция осуществляется путем суммирования СКО случайной составляющей Sx и границ неисключенной системати-

ческой составляющей θ в зависимости от соотношения / Sx .

Запись результата измерения. Результат измерения записывается в виде х x р при доверительной вероятности р = рд. При

отсутствии данных о виде функции распределения составляющих погрешности результаты измерений представляют в виде x , Sx , n, θ при доверительной вероятности р = рд.

16

Задание

Провести обработку результатов измерений. Найти суммарную погрешность измерений.

Решение

Цифровым измерителем иммитанса E7-14 проводились прямые многократные измерения сопротивления магазина сопротивлений марки РЗЗ, номинальное значение которого равно 0,1 Ом. Измерения проводились в диапазоне рабочих температур измерителя иммитанса. Получены следующие результаты измерения Ri: 145,44; 145,36; 145,43; 145,38; 145,44; 145,42; 145,41; 145,39; 145,40; 145,41; 145,45; 145,43; 145,46; 145,37; 145,48 мОм. Прове-

денные измерения характеризуются неисключенной систематической погрешностью, задаваемой пределом допускаемого значения:

• основной погрешности измерения измерителя Е7-14. Формулы для расчета этого значения приведены в табл. 2.1. При этом для данного магазина сопротивлений добротность Q = 0;

• дополнительной погрешности измерения в диапазоне рабочих температур. Он равен удвоенному допускаемому значению основной погрешности.

Для устранения влияния соединительных проводов и переходных сопротивлений контактов был проведен ряд измерений при нулевом значении магазина сопротивлений. Получены следующие результаты измерений R0i: 45,30; 45,29; 45,28; 45,29; 45,28; 45,29; 45,29; 45,28; 45,30; 45,30; 45,30; 45,30; 45,31; 45,32; 45,30 мОм.

17

Суммарная погрешность измерения сопротивления складывается из случайной и систематической погрешностей. Систематическая погрешность измерения сопротивления состоит из трех составляющих, обусловленных:

ненулевым значением сопротивления соединительных проводов и переходных контактов зажимов используемых средств измерений;

основной и дополнительной погрешностями измерителя иммитанса Е7-14.

Первая из них может быть оценена исходя из данных измерений нулевого сопротивления магазина. Полученный ряд данных характеризуетсясреднимарифметическимзначениемиоценкойегоСКО:

R0 1 15 R0i 45,295 мОм, 15 i 1

Сопротивление проводов постоянно присутствует в результатах измерений и по своей сути является систематической погрешностью, которая может быть исключена из результатов измерений путем введения поправки, равной – 45,295 мОм.

Доверительный интервал погрешности измерения сопротивления проводов, равный 0,95 R0 tp S0 2,15 0,0029 0,0062мОм, можно рассматривать двояко: как неисключенную систематическую погрешность и как составляющую случайной погрешности. В любом случае, как это будет видно далее, ее значение столь мало, что согласнокритериюничтожномалойпогрешностиеюможнопренебречь.

После введения поправки получается исправленный ряд зна-

чений сопротивления Rиi: 100,145; 100,065; 100,135; 100,085; 100,145; 100,125; 100,115; 100,095; 100,105; 100,115; 100,155; 100,135; 100,165; 100,075; 100,185 мОм. Составляющая системати-

18

ческой погрешности, обусловленная основной погрешностью измерителя иммитанса Е7-14, рассчитывается по формулам.

Для заданного диапазона измерений

Здесь Rn – среднее арифметическое значений ряда неисправ-

ленных показаний измерителя иммитанса, равное 145,418 мОм. Следовательно, систематическая погрешность, обусловленная основной погрешностью Е7-14,

осн Rn10 3 3 10 4 0,145418 10 3 0,3 10 30,4454 мОм.

Систематическая погрешность, обусловленная дополнительной погрешностью средства измерений:

θдоп 2θосн 2 0,4454 0,8908 мОм.

Суммарная систематическая погрешность

i 1

1,10 0,9959 1,0955 мОм.

при условии, что коэффициент k в формуле суммирования элементарных систематических погрешностей при равномерном законе распределения.

где – границы i-й элементарной случайной погрешности; k – поправочный коэффициент, зависящий от числа слагаемых m, их со-

19

отношения и доверительной вероятности. При р < 0,99 он мало зависит от числа слагаемых и может быть представлен усредненными значениями, приведенными в табл. 2.2.

Коэффициент k определяется из табл. 2.2 для р = 0,95 и m = 2. Характеристики случайной составляющей находятся посредством статистической обработки исправленного ряда наблюдений. Среднее арифметическое значение сопротивления и его СКО, соот-

ветственно, равны:

R 1 15 Rиi 100,123 мОм, 15 i 1

Считая распределение результатов Ri нормальным, по таблице из приложения 5 находим коэффициент Стьюдента для числа измерений n = 15 и p = 0,95, он равен tp = 2,15.

В этом случае доверительная граница случайной составляющей погрешности измерений

0,95 R tp SR 2,15 0,0088 0,0189 мОм.

Случайные погрешности измерений исследуемого сопротивления и сопротивления подводящих проводов можно считать некоррелированными, так как измерения проводились в равное время. Поэтому суммарная случайная погрешность определится в соответствии со вторым уравнением в выражениях для суммирования соответственно коррелированныхинекоррелированныхсоставляющихпогрешностей.

20