Пусть на к-й итерации получен план со значением критерия Т<к\ Оно может быть уменьшено, если освободить клетку с ttJ - Т<к\ С этой целью на клетке строится разгрузочный цикл так, чтобы в нечетных вершинах вы­ полнялось неравенство ty< 1 ^к), а в четных - ху> 0 (исходная вершина - четная). Очевидно, что такие правила позволяют в общем случае строить более одного цикла на выбранной клетке. В цикле вычисляется 90 как ми­ нимальная перевозка в четных вершинах. Вычитая 0Ов четных вершинах и прибавляя в нечетных, получаем новый план. Если клетка с максималь­ ным временем была единственной и перевозка в ней стала равна нулю, но­ вый план улучшил значение критерия. Если клетка не обнулилась, то на ней строится другой разгрузочный цикл. В случае нескольких клеток со временем 7*А) для улучшения критерия необходимо разгрузить все. Реше­ ние завершается, когда нельзя разгрузить клетку (клетки), определяющую значение критерия.

Естественно, что рассмотренный метод не гарантирует получение оп­ тимального решения.

5.6. Транспортные задачи в сетевой постановке (транспортные сети)

Транспортную задачу можно представить в виде ориентированного графа с одним истоком (в него не входит ни одна дуга) и с одним стоком (из него не выходят дуги), который называют в этом случае сетью. Верши­ нам графа ставятся в соответствие пункты отправления, назначения и про­ межуточные пункты. Основной параметр вершины - количество груза. Ду­ ги отображают коммуникации. Им могут быть приписаны такие парамет­ ры, как количество груза, затраты на перевозку, пропускная способность.

Исходный граф транспортной задачи легко сводится к сети с одним стоком и одним истоком путем введения фиктивных пунктов t (исток) и s (сток). Фиктивным дугам приписываются значения параметров: d„ = а„ djS= bj, C,t = CJS= 0. Пример сети транспортной задачи без промежуточных

d{А)=

УбР(А)

Пример 5.5. Построим один из разрезов сети, приведенной на рис. 5.8. Если А = {t, 1, 2, 3}, то разрезом сети будет множество дуг Р(А)= {1,4; 1,6; 2,5; 3,6}, и его величина определяется как d{А) = du + + d\6 + d2s + die- Дуги, составляющие

этот разрез, выделены жирными ли­ ниями. А

Разрез сети, имеющий минималь­ ную пропускную способность, назы­ вается минимальным разрезом.

Можно показать, что задачи мак­ симизации потока и минимизации ве­ личины разреза являются двойственной парой. Из этого факта следует теоре­ ма Форда-Фалкерсона.

Величина потока сети (от истока к стоку) не превосходит пропускной способности минимального разреза, и существует максимальный поток, величина которого равна пропускной способности минимального разреза.

Методы решения задачи о максимальном потоке основаны на после­ довательном увеличении потока при соблюдении условий (5.35)-(5.37). При этом легко увидеть аналогию с перемещением по циклу в методах ре­ шения транспортных задач.

Аналогом цикла пересчета является увеличивающая цепь. Это цепь, соединяющая исток и сток, все дуги которой допустимые. Дуга является допустимой увеличивающей, если ее направление совпадает с направлени­ ем потока и поток на ней меньше пропускной способности, то есть ху < dtj. Дуга считается допустимой уменьшающей, если направление дуги проти­ воположно ПОТОКУ И Х у > 0.

На увеличивающей дуге поток может возрасти на величину Qy= d y -xip а на уменьшающей дуге возможно снижение потока, равное 0У= ху. Следо­ вательно, максимальное допустимое изменение величины потока по уве­

Таким образом, максимальный поток сети может бьггь определен по следующему алгоритму:

1. Задать начальную величину потока, обеспечиваемую потоками ду при выполнении условий (5.35)-(5.37).

Примечание. Очевидно, что в качестве начального всегда можно взять нулевой поток.

Третья итерация. Новая цепь состоит из увеличивающих дуг /,3 и 4,5 и уменьшающей дуги 4,3 (см. рис. 5.11). 0о= min(4-2, 1, 5-2) = 1. Изменя­ ем потоки: на дугах /,3 и 4,5 увеличиваем, а на дуге 4,3 уменьшаем на ве­ личину 0о. Тогда получаем 7р^- ТР*+ Go =10+1 = 11 (рис. 5.12).

Так как увеличивающую цепь построить нельзя, последнее решение является оптимальным. Максимальный поток сети равен 11.

Минимальный разрез рассмотренной сети соответствует множеству вершин А = {/,1,2,3,5,6}, то есть Р(А) = {1,4; 5,5; 6,5}. Его пропускная спо­ собность d(А) = d\A + dis + “ 3 + 2 + 6 = 11 равна величине максимально­ го потока, что согласно теореме Форда-Фалкерсона также является при­ знаком оптимальности найденного решения.

5.7.Задания для самостоятельной работы I. Следующие Т-задачи решить методом потенциалов.

II. Методом потенциалов решить Т>задачи.

Глава 6. БЛОЧНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

При решении задач большой размерности значительная часть времени тратится на обращения к внешней памяти, и это является главным препят­ ствием на пути увеличения размерности задач. Уменьшить число обраще­ ний к внешней памяти можно, если удается задачу большой размерности заменить рядом задач существенно меньшей размерности. Приемы и мето­ ды, позволяющие выполнять такие преобразования, составляют предмет блочного программирования.

Одним из эффективных методов блочного программирования приме­ нительно к линейным задачам является метод декомпозиции ДанцигаВулфа. По данным авторов, метод позволяет решать задачи с размерно­ стью и~10б, /я~105

6.1. Метод декомпозиции Данцига-Вулфа

Сначала рассмотрим математические преобразования, приводящие к разбиению исходной задачи, а затем покажем, в каких случаях это дает

Условия (6.2), (6.3) определяют допустимое множество задачи D. Представим матрицу А и вектор В в виде двух подматриц:

А (°)

А =

I » )

в (0)1

Условие (6.4), включающее в себя то равенств, порождает допустимое множество Do, а система (6.5) содержит т\ равенств и вместе с (6.6) задает множество D\. Очевидно, что т = то + т\, D = Do п D\. При этом выделе­ ние подматриц выполняется так, что w i» m 0.

Далее будем полагать, что множество Д ограниченное и, значит, явля­ ется выпуклым многогранником. Заметим, что неограниченное множество легко сделать ограниченным добавлением ограничений сверху на перемен­ ные так, что они не повлияют на исходное множество D.

Предположим, что нам известны вершины множества Д . Обозначим их координаты через X1, X2,..., Хы, где N - число вершин. Поскольку Д - выпуклый многогранник, то любую его точку можно представить в виде линейной комбинации вершин:

Так как все решения X, определяемые по (6.7)-(6.9), принадлежат Д , то описание (6.7)-(6.9) эквивалентно (6.5), (6.6).

Подставим X в виде (6.7) в (6.1) и (6.4):

В этой модели неизвестными являются zw число которых равно числу вер­ шин многогранника Д . Последнее равенство модели можно объединить со всеми остальными, используя обозначения расширенных векторов

Задача (6.13)—(6.15) называется координирующей или основной. Глав­ ное отличие этой задачи от исходной - несравнимо меньшее число условий

(то+\«т).

Если мы сможем ее решить, то есть найти Z , то, воспользовавшись (6.7), получим решение и исходной задачи:

плекс-метод. Начальное решение можно построить, не зная ни одной вер­ шины, с помощью искусственных переменных z^+i.

Согласно модифицированному методу после получения очередного базисного решения вычисляются относительные оценки. В подразд. 4.10 получены формулы:

Мы не можем вычислить все оценки, так как нам не известно даже их число. Но этого и не требуется, достаточно только определить, есть среди них отрицательные или нет. Для ответа на этот вопрос будем ис­ кать наименьшую оценку. Если она отрицательная, текущее решение ко­ ординирующей задачи может быть улучшено введением переменной с этой оценкой. В противном случае констатируется выполнение при­ знака оптимальности.

Итак, задача состоит в определении Av—>min. Отбросив в (6.18) кон­

xv

Решение задачи (6.19) проблематично, так как минимум ищется на дискретном множестве вершин многогранника D \. Однако эта трудность преодолима. Минимизируемая функция линейная, поэтому решение можно искать не на вершинах, а на всем многограннике. Известно, что

если решение существует, то оно будет достигаться в вершине. Поэтому решение на всем (непрерывном) множестве D\ совпадет с решением задачи (6.19).

Эта задача называется вспомогательной.Если она неразрешима, то и исходная задача не имеет решения. Пусть оптимальное решение вспомо­ гательной задачи (6.20)-(6.22) достигается в вершине г. Это означает, что

нам становятся известны координаты вершины Хг и оптимальное значение

*

критерия Твсп. Тогда согласно формуле (6.18) вычисляем минимальную оценку

Д, - m in i, = (»ТА « -Ст)х' + = О * - . . , - ( « 3 )

Очевидно, что если Аг> 0, то и все оценки неотрицательны и решение координирующей задачи завершено. При отрицательной Дг решение про­ должается. В базис основной задачи вводится вектор Р г, определяемый по формуле

А(0)ХГ

(6.24)

1 Направляющий столбец находим разложением этого вектора по текущему базису:

После определения направляющего элемента и симплекспреобразования получаем новое решение основной задачи. Коэффициент критерия (6.13) при переменной, введенной в базисное решение, вычисля­

Теперь по формуле (6.17) находим новый вектор ят, снова решаем вспомогательную задачу и по полученной минимальной оценке делаем вывод о дальнейших действиях. Найдя решение координирующей задачи, то есть Z*, определяем решение исходной задачи по формуле (6.16).

Таким образом, решение исходной задачи заменяется многократным решением основной и вспомогательной задач. При этом порядок размерности вспомогательной задачи такой же, как у исходной. Поэтому естественен вопрос: в каких случаях такой метод эффективен? Ответ

очевиден: в тех случаях, когда сложность решения вспомогательной задачи намного ниже, чем исходной. Такие случаи имеют место, когда матрица условий задачи (после упорядочения строк и столбцов) оказывается почти блочно-диагональной, как показано на рис. 6.1. Примером может служить задача планирования производства продукции в крупной фирме или холдинге, когда у каждого предприятия своя номенклатура продукции,

по общим ресурсам. Такие условия называют связующими. Их относят к основной задаче.

V.

Рис. 6.1

Остальные условия образуют вспомогательную задачу. При этом подматрица А(,) имеет блочно-диагональную структуру, что позволяет разбить вспомогательную задачу нар независимых задач:

L=СТХ ;

гi i

А(1)Х =В(1)

/ / i

X >0, i = \,p.

После решения этих задач определяется критерий вспомогательной задачи по очевидной формуле

L* = Ц * .

всп /

Таким образом, решение вспомогательной задачи существенно упро­ щается, если структура матрица условий может быть приведена к блочно­ диагональной.

В следующем разделе декомпозиция вспомогательной задачи будет показана на примере решения транспортной задачи.

Применение рассмотренного метода может быть целесообразно и тогда, когда вспомогательная задача имеет особенности, позволяющие решать ее специальными методами.

6.2. Решение транспортной задачи методом Данцига-Вулфа

Применим метод декомпозиции к Т-задаче:

Использование этого метода целесообразно, если т « п или т » п . Оба варианта решаются идентично. Они отличаются только распре­ делением условий между основной и вспомогательной задачами.

Рассмотрим случай, когда т « п . Тогда основная задача формируется по условиям пунктов отправления. Следовательно, множество Д> описы­ вается ограничениями (6.28), a D\ - условиями (6.29) и (6.30).

Очевидно, что множество D\ представляет собой выпуклый многогран­ ник (ограниченность вытекает из условий). Поэтому, как и в общем случае, любую точку в D\ можно представить в виде линейной комбинации его вершин:

Для сбалансированной задачи условие (6.38) вьшолняется автоматиче­ ски. Действительно, суммируя (6.37) и используя подстановки (6.35) и (6.29), получаем:

в левой части

E/ Zу V , = I /'E vE у* ; z , “ Sv Sу I ;* » * , = 2v 2 , 1 у* , ;

откуда для сбалансированной задачи следует

lz , = i.

V

Поэтому при решении основной задачи условие (6.38) из модели ис­ ключается.

Для определения статуса текущего базисного решения основной зада­ чи необходимы относительные оценки. Как и в предыдущем разделе, на­ хождение оценок связано с решением вспомогательной задачи. Для по­ строения вспомогательной задачи сделаем ряд преобразований:

Так как основная задача решается на минимум, то оптимальному ста­ тусу соответствуют неположительные оценки Д v. Поэтому нужно искать максимальную оценку. Если она окажется меньше или равна нулю, то все оценки неположительны и признак оптимальности выполнился. В против­ ном случае необходимо продолжить решение основной задачи.

Таким образом, для определения статуса текущего решения основной задачи необходимо решить новую задачу:

Ду = ЕЕ (Я1-С ц ) Х $ -» шах. j i

Вместо поиска максимума на дискретном множестве вершин Xv пе­ рейдем к эквивалентной задаче поиска на всем непрерывном множестве D\\