5.3.3.3. Линейное приближение

Решение уравнений (5.41) может быть легко получено в линейном приближении. В этом случае сами уравнения принимают вид

где Qi = K b2a2l2q2 + К Ь12 (г = 1,2); q — волновой вектор; w — частота, ¥oi и ¥02 — амплитуды. Из формулы (5.57) найдем значения квадрата частот w2

в предыдущей главе. И мы также можем сделать вывод, что кру­

Такая же картина обнаруживается и в общем («несимметричном») случае. Действительно, если подставить q = 0 в уравнение (5.58), полу­ чим

Рис. 5.5. Две ветви крутильных колебаний ДНК, вычисленные в рамках линей­ ного приближения У-модели

Этот результат говорит о том, что и в общем случае колебательный спектр модели двойного упругого стержня состоит из двух ветвей: аку­ стической и оптической. Давайте теперь сравним этот результат с ре­ зультатами расчетов частот крутильных колебаний, полученными в рам­ ках модели одинарного упругого стержня (см. раздел 4.2). В том слу­ чае была получена только акустическая ветвь. Таким образом, можно заключить, что появление второй (оптической) ветви в спектре ДНК объясняется двухцепочечным характером У-модели.

5.3.3.4. Первый интеграл

Общее решение модельных уравнений (5.41) пока не найдено. Одна­ ко, первый интеграл может быть легко получен при помощи следующего алгоритма.

(I)Предположим, что решение уравнений (5.41) имеет вид бегущих волн

где v — скорость этих волн. (II) Подставим (5.61) в (5.41)

Wyip" - К Ь12 [2siny>i - sin (cpi + if2)] = 0;

(5.62)

W 2tp'{ —K bl2 [2siny>2 —sin (tpi + ip2)] = 0.

Здесь

W f = h v 2 - K |a 2/2; <p" = d2ipi/d42-, £ = z - v t \ * = 1,2.

(III) Умножим первое из уравнений (5.62) на у?!, а второе уравнение — на (р2.

(IV) Сложим полученные результаты.

(V)Проинтегрируем полученное уравнение.

Врезультате мы получим первый интеграл в виде

W 2<p'2/ 2 + W 2( p —K bl2 [2cos(/?i + 2 COS<£>2 —cos(tpi + (P2)] = const. (5.63)

Выражение (5.63) можно интерпретировать как закон сохранения энергии.

5.3.3.5. Решения в виде кинков, полученные методом Ньютона

Чтобы решить уравнения (5.41) при помощи метода Ньютона, пред­ положим, что их решения имеют вид (5.61), и перепишем соответству­ ющие уравнения (5.62) следующим образом

Уравнения (5.64) можно легко интерпретировать как уравнения, описывающие крутильные колебания двух связанных нелинейных ма­ ятников. В рамках такой «механической» модели переменная £ играет роль «времени», а переменные и ^ - роль угловых смещений маят­ ников из положений равновесия.

Уравнения (5.64) допускают еще одну интерпретацию. Если пере­ менная £ является «временем», а поля и ^ являются «координатами», то уравнения (5.64) могут рассматриваться как обычный закон Ньюто­ на, который описывает двумерное движение механической частицы под действием некоторого потенциала V (^ 1,^ 2)-

Действительно, легко переписать уравнения (5.64) в виде уравнения

Здесь С является произвольной константой. Удобно выбрать эту кон­ станту таким образом, чтобы функция V являлась неположительной и равнялась нулю в точках абсолютного максимума. Тогда потенциал V примет вид

V , р>2) = ^ [1 —cos (ср1± <Р2)] —2а (1 —cos срi ) —2а (1 —cos )

Для корректной постановки «механической» задачи уравнения^ьютона (5.65) должны быть дополнены граничными условиями. Эти усло­ вия легко найти из требования локализации в пространстве плотности энергии солитонной волны e(z, t). Поскольку мы используем перемен­ ную £ вместо переменных z и t, это требование можно сформулировать следующим образом: е(£) должно быть ограниченной функцией в неко­ тором интервале на оси и стремиться к нулю при £ —►±оо. Отсюда следует, что

при £ —►±оо.

Обозначая положения максимумов потенциальной функции V((pi,cp2) при помощи пар «координат» {gitn]92,m} и используя условие (5.69), мы

Формулы (5.68) и (5.70) полностью определяют граничные условия для «механической» задачи.

Интегрирование уравнений Ньютона (5.65) с потенциалом (5.67) и граничными условиями (5.68), (5.70) является довольно сложной зада­ чей. Пока никому не удалось преуспеть в нахождении общих решений. Однако некоторые частные решения вполне можно найти при помощи метода траекторий [268]. Давайте проиллюстрируем этот метод.

Для этого, прежде всего, необходимо смоделировать функцию которая определяет так называемое уравнение траекторий,

Принимая во внимание вид потенциала (5.67), естественно предпо­ ложить, что функция G является линейной комбинацией из функций cos</?i и cos <р2. Тогда уравнение (5.71) можно представить в виде

где A and В — произвольные константы.

Давайте рассмотрим более простой вариант формулы (5.71). А имен­ но предположим, что А + В —0. Тогда вместо (5.72) получим уравнение

Полученные механические траектории показаны на рис. 5.6. Черньн ми кружочками обозначены «координаты» максимумов потенциальной функции V

Предположим теперь, что при £ = —оо аналог механической части­ цы находится в точке А. Он может продолжить затем движение вдоль одной из четырех траекторий (АВ\, А В 2, АВ% или АВ4), чтобы достичь одну из ближайших соседних точек максимумов при £ = +оо. В то же самое время функции <pi и <£>2будут изменяться от нуля (когда £ = —оо) до 27г и л и —27г (когда £ = +оо). Таким образом, мы можем сделать вывод о том, что уравнения (5.65) имеют по крайней мере четыре пары кинк-

а•Pi

27Г /

/

/

0 е

<Р1

2тг /------

/

0 е

СЧ>1

\0

\

—27Г \____

<Р2

А 0 £

\

—2тг \____

Рис. 5.7 Солитоноподобные решения, соответствующие траекториям (a) ABi,

( b ) А-В2, ( с ) АВз и ( d ) АВа

(антикинк-) подобных решений. Они показаны на рис. 5.7 Сплошные линии показывают ассимптотическое поведение решений при £ —>±оо. Поведение этих решений в окрестности точки £ = 0 показано достаточно условно пунктирными линиями. Точное решение в окрестности нулевой точки может быть найдено из уравнений (5.64), дополненными одним из двух условий: — ф2 или <pi = —ip2. В первом случае уравнения (5.64) преобразуются в двойное синус-уравнение Гордона

Во втором случае уравнения (5.64) преобразуются в обычное синус­