Управление организацией

•возможные варианты действий игроков;

•объем информации каждой стороны о поведении другой;

•результат (исход) игры, к которому приводит каждая данная со­ вокупность ходов.

Игра называется игрой с нулевой суммой, если один ее участник вы­ игрывает ровно столько, сколько проигрывает другой, то есть сумма выигрышей равна нулю. В игре с нулевой суммой интересы противни­ ков прямо противоположны. Ниже описываются только такие игры.

Обозначим буквой а выигрыш игрока А, а буквой Ь - выигрыш иг­ рока В в игре с нулевой суммой.

Так как а = -Ь , то при анализе такой игры нет необходимости рас­ сматривать оба этих числа, достаточно рассматривать выигрыш одно­ го из игроков. Пусть это будет игрок А. Условимся в дальнейшем назы­ вать сторону А «мы» , а сторону В - «противник».

Развитие игры во времени будем представлять состоящим из ряда последовательных этапов (или ходов). Ходом в теории игр называют выбор одного из предусмотренных правилами игры действий и его осу­ ществление. Ходы бывают личные и случайные. Личным ходом назы­ вается сознательный выбор игроком одного из возможных вариантов действий и его осуществление. Случайным ходом называют выбор из ряда возможностей, осуществляемый не игроком, а каким-либо меха­ низмом случайного выбора (например, бросанием монеты и др.). Для каждого случайного хода правила игры определяют распределе­ ние вероятностей возможных исходов.

Теория игр занимается анализом только тех игр, которые содержат личные ходы. Такие игры строятся на основании стратегий игрока. Стратегией игрока называют совокупность правил, определяющих вы­ бор варианта действий при каждом личном ходе этого игрока в зави­ симости от ситуации, сложившейся в ходе игры. В зависимости от чис­ ла возможных стратегий игры делятся на конечные и бесконечные.

Игра называется конечной, если у каждого игрока имеется только конечное число стратегий, и бесконечной, если хотя бы у одного из иг­ роков имеется бесконечное число стратегий.

Оптимальной стратегией игрока называется такая стратегия, кото­ рая при многократном повторении игры обеспечивает данному игро­ ку максимально возможный средний выигрыш (или минимально воз­ можный средний проигрыш). При выборе оптимальной стратегии основой рассуждений является предположение, что противник по меньшей мере так же разумен, как и мы сами, и делает все для того, чтобы помешать нам добиться своей цели.

В теории игр не учитываются неизбежные в каждой конфликтной ситуации:

1)просчеты и ошибки игроков;

2)риск и азарт.

Кроме того, важнейшим из ограничений математической теории игр является то, что выигрыш искусственно сводится к одному-един- ственному числу (реально —это некоторый набор параметров эффек­ та: завоевание большей доли рынка, рост престижа марки и т. д.). Стра­ тегия, оптимальная по одному показателю, необязательно будет оптимальной по другим.

Модель игры

Обычно рассматривают конечную игру, в которой игрок А имеет т стратегий, а игрок В —п стратегий. Такая игра называется т х п . Стра­ тегии соответственно обозначим следующим образом: Av Av ..., Ат- для игрока A; Bv Bv ..., Вп —для игрока В. Если игра состоит только из личных ходов, то выбор стратегий А. и В. игроками однозначно опре­ деляет исход игры —наш выигрыш а... Известные а для всех сочета­ ний стратегий образуют платежную матрицу размером т х п, где т - число строк матрицы, п —число столбцов.

Если игра содержит наряду с личными и случайные ходы, то выигрыш при паре стратегий А{и В. есть величина случайная, зависящая от исходов всех случайных ходов. Здесь естественной оценкой возможного выигры­ ша является математическое ожидание случайного выигрыша.

Нижняя и верхняя цена игры

Поставим задачу: определить наилучшую среди наших стратегий Аг А2, ..., Ат. Условимся рассматривать только чистые стратегии. За­ тем проанализируем последовательно каждую из них от Ахдо Ат.

Выбирая Аг следует рассчитывать, что противник ответит на нее той из стратегий В, для которой наш выигрыш минимален. Найдем минимальное из чисел а в /-й строке и обозначим его а.:

а,- = mintffy.

Естественно, что осторожный игрок должен выбрать ту стратегию, для которой число ос,максимально. Обозначим это максимальное зна­ чение а:

а i = max aVj,

Принимая во внимание формулу для а., можно записать

а = max min

Величина ос называется нижней ценой игры, максиминным выигры­ шем, или максимином. Соответствующая стратегия называется максиминной стратегией.

Очевидно, что аналогичное рассуждение можно провести и за сто­ рону Вукоторая заинтересована в том, чтобы обратить наш выигрыш в минимум, то есть максимизировать свой выигрыш. Поэтому будут вы­ делены максимальные значения выигрыша по столбцам:

Вj - max aV}

Затем ищется минимальное значение В' В'= гл ю ч ­

или

В '- min max aV]

Величина в' называется верхней ценой игры, иначе —минимаксным

выигрышем, или минимаксом. Соответствующая выигрышу в' стра­ тегия называется минимаксной стратегией.

Принцип осторожности, диктующий игрокам выбор соответству­ ющих стратегий (максиминной и минимаксной), является в теории игр основным принципом и называется принципом минимакса.

В платежной матрице игры существует элемент, являющийся одновременно минимальным в своей строке и максимальным в своем столбце. Такой элемент называют седловой точкой. Седловая точка в игре имеет место тогда, когда наблюдается равенство а = В' - При этом значение а = в ' = V называют чистой ценой игры. В этом случае реше­ ние игры (совокупность оптимальных стратегий игроков) обладает сле­ дующим свойством: если один из игроков придерживается своей оп­ тимальной стратегии, то для другого не может быть выгодным отклоняться от своей оптимальной стратегии. Поэтому для игры с сед­ ловой точкой минимаксные стратегии обладают устойчивостью.

Критерий Вальда. Критерием Вальда («рассчитывай на худшее» — критерий крайнего пессимизма) называют критерий, предписываю­ щий обеспечить значение параметра эффекта, равного а, то есть

а = max min atj

Этот критерий ориентирует лицо, принимающее решение, на наи­ худшие условия и рекомендует выбрать ту стратегию, для которой вы­ игрыш максимален. В других, более благоприятных условиях исполь­

зование этого критерия приводит к потере эффективности системы или операции.

Критерий минимаксного риска Сэвиджа. При использовании этого критерия обеспечивается наименьшее значение максимальной вели­ чины риска:

S = min max ru ,

возможный выигрыш игрока при состоянии природы П (или страте­ гии противника с номером j), то есть

В . = max ai}

Критерий Сэвиджа, как и критерий Вальда, - это критерий край­ него пессимизма, однако здесь пессимизм проявляется в том, что ми­ нимизируется максимальная потеря в выигрыше по сравнению с тем, чего можно было бы достичь в данных условиях.

Критерий пессимизма —оптимизма Гурвица. Этот критерий реко­ мендует при выборе решения в условиях неопределенности не руко­ водствоваться ни пессимизмом («всегда рассчитывай на худшее»), ни оптимизмом («все будет наилучшим образом»). Оптимальным счита­ ется некое среднее решение. Этот критерий имеет вид

Н = т а x[h min azy + (1 - h) max afy ],

где h - некий коэффициент, выбираемый экспертно из интервала меж­ ду 0 и 1. Использование этого коэффициента вносит дополнительный субъективизм в принятие решений с использованием критерия Гур­ вица.

В целом теория игр может рассматриваться как своеобразный ме­ тодический инструмент для анализа ситуаций, характеризующихся конфликтом сторон и неопределенностью.

Однако в связи с отмеченными выше существенными ограничени­ ями, лежащими в основе формализации игры, далеко не все реальные ситуации допускают такую формализацию, а выводы, полученные в реальных ситуациях, выглядят зачастую банальными (например, на­ править все ресурсы на наиболее эффективные операции) и могут тре­ бовать корректировки с позиций здравого смысла, диверсификации видов деятельности и т. д. Это снижает практическую эффективность игрового подхода в реальной деятельности.

8.Произвести предварительные отсечения по качеству. На шкалах кри­ териев определяется уровень качества. Если хотя бы одна оценка альтер­ нативы ниже этого уровня, альтернатива исключается из рассмотрения.

9.Определить «диапазоны нечувствительности». На шкале крите­ риев определяется такой интервал значений, что оценки двух альтер­ натив, находящиеся внутри данного интервала, рассматриваются как одинаковые.

10.Определить функции полезности для каждого из критериев.

11.Определить полезность каждой из альтернатив по формуле

N

/=1

где U. —полезность оценки по /-му критерию.

Методы порогов несравнимости

Данная группа методов характеризуется оригинальным подходом к сравнению альтернатив, предложенным впервые во Франции профес­ сором Б. Руа и его сотрудниками. Здесь связь между любой парой аль­ тернатив определяется последовательностью бинарных отношений. «Сильным» бинарным отношениям соответствуют большие требова­ ния к превосходству одной альтернативы над другой и, следовательно, бьльшее число несравнимых альтернатив. Самым сильным является требование полного доминирования одной альтернативы над другой. Более «слабые» бинарные отношения определяют условия, при кото­ рых, несмотря на противоречивые оценки, одна альтернатива опреде­ ляется лучшей по сравнению с другой.

Бинарные методы. В методах ЭЛЕКТРА бинарные отношения между альтернативами строятся следующим образом. Каждому из N критериев, имеющих числовые шкалы, ставится в соответствие целое число р, характеризующее важность критерия. Б. Руа предлагает рассматривать р как «число голосов» жюри, голосующих за данный критерий.

Выдвигается гипотеза о превосходстве альтернативы а над альтер­ нативой Ь. Множество /, состоящее из N критериев, разбивается на три подмножества:

Г (а, Ъ) - подмножество критериев, по которым а предпочтитель­

нее Ь\

/=(а, Ь) —подмножество критериев, по которым а равноценно b;

/ ' (а, Ь) —подмножество критериев, по которым b предпочтительнее а.

Далее формулируется индекс согласия с гипотезой о превосходстве а над Ь. В методе ЭЛЕКТРА I этот индекс определяется как отношение суммы весов критериев подмножеств / + и / = к общей сумме весов:

/=1

Наряду с этим в методе ЭЛЕКТРА I определяется индекс несогла­ сия с гипотезой о превосходстве а над Ь. Для критериев подмножества / ' определяются dab - разности оценок альтернатив b и а. Эти разно­ сти для удобства выражаются в долях L —наибольшей (по длине) чис­ ловой шкалы критериев. Индексы несогласия dabупорядочиваются по величине. Очевидно, что 0 < см< 1, 0 < dag< 1 . В методе ЭЛЕКТРА I би­ нарное отношение превосходства задается уровнями индексов согла­ сия и несогласия. Если сгв> су и dag< dx(где cv dj —заданные уровни), то альтернатива а объявляется превосходящей альтернативу Ь. Уровни с,, dxпозволяют выделить ядро, в которое входят доминирующие и не­ сравнимые элементы.

После выделения ядра —множества Парето — элементы этого ядра объявляются несравнимыми. Однако эта несравнимость имеет времен­ ный характер. После первого бинарного отношения задается второе, бо­ лее слабое. Ядро, соответствующее второму отношению, содержит в об­ щем случае меньшее число несравнимых элементов. Далее задается треть6 отношение и т. д.; процесс получения ядер с уменьшающимся числом элементов продолжается до тех пор, пока количество элементов в ядре Не достигнет требуемого значения. Эти элементы вместе с последним би­ нарным отношением предъявляются лицам, принимающим решения (ЛПР), как решение задачи. Наряду с этим ЛПР получают информаций о промежуточных этапах: о последовательности бинарных отношений, 0 совокупности ядер, об элементах, входящих в ядра (если их число неве­ лико). Полученные в качестве решения элементы последнего ядра дол#' ны рассматриваться ЛПР двояко: это и «лучшие» элементы в смысЛе последнего бинарного отношения, но они «крайне непохожи».

Однако существует проблема, когда необходимо выбрать подмнсг жество лучших альтернатив. Если взять безусловно лучший вариант Я вариант, незначительно отличающийся от него в худшую сторону П° одному критерию, то второй из них не войдет в множество Парет^ Между тем в ряде ситуаций логика выбора требует его включения $ группу лучших, а непохожее не всегда является лучшим.

В1998 г., сопоставляя ситуацию на российском рынке с развитыми рынками западных стран, на предприятии пришли к выводу, что тради­ ционный рынок тяжелых мотоциклов как транспортных средств для на­ селения сельской местности и малых городов является неперспектив­ ным. Наиболее же привлекательным сегментом для рынка тяжелых мотоциклов в России должен стать рынок мотоциклов для развлечений.

Во многих странах мира на мотоциклетном рынке были отмечены следующие тенденции:

•чем теплее климат, тем больше совокупный мотопарк;

•чем суровее и холоднее климат, тем выше доля тяжелых мото­ циклов; чем меньше плотность населения, тем выше доля тяжелых мотоциклов;

•чем более склонно население той или иной страны к «быстрой езде», «размаху» и «основательности», тем выше доля тяжелых мотоциклов;

•чем больше национальных производителей и чем «старее» мотоциклетные традиции, тем выше спрос на мотоциклы.

Всвязи с этим в 1998 г. руководство компании приняло следующие решения:

•изменить приоритеты развития компании: ставка - на мото- циклы-одиночки;

•быстро разработать новую модель мотоцикла-одиночки, ориен­ тированного на «богатого» покупателя и байкеров;

•остановить разработки вездеходов;

•постепенно отказаться от ряда производств (в первую очередь заготовительных) и сократить площади завода.

В1998—1999 гг. новой команде управленцев удалось:

•освоить выпуск новых мотоциклов-одиночек —«Вояж» и «Волк»;

•сократить долю бартера в выручке за мотоциклы с 90 до 0,5%;

•разработать новый стиль и начать создание бренда «Урал - Русский мотоцикл»;

•провести ряд успешных PR-акций по раскрутке новых моделей;

•начать разработку системы качества на соответствие междуна­ родным стандартам ISO 9001;

•за счет вывода неиспользуемых площадей сократить террито­ рию завода с 68 до 42 га.