Промышленные системы водоснабжения и водоотведения. Ресурсосберегаю

Математическая постановка и методы решения

Таким образом, мы имеем следующую задачу поиска оптимальной дозы реагента:

найти: x R ,

Данная задача представляет собой многокритериальную, однопараметрическую задачу нелинейной оптимизации. Поскольку в данной задаче происходит оптимизация по нескольким критериям, то сложность ее заключается в построении множества решений, являющихся подмножеством допустимого множества, то есть множества, удовлетворяющего всем ограничениям.

Рассмотрим постановку задачи (4.5) – (4.8) как задачи многокритериальной оптимизации. В качестве параметра оптимизации выступает переменная x, которая определяет характеристики процесса очистки воды. Критериями оптимальности данной задачи выступают критерии (4.5) – (4.6).

Вводятся критериальные ограничения – данные ограничения определяются экспертами и указывают максимальное значение каждого из критериев, которое приемлемо при решении

Заметим, что такие ограничения не всегда могут быть однозначно определены. Иногда удобнее ограничения физического характера записать в виде функциональных ограничений

92

Обозначим через G множество, состоящее из точек x, удовлетворяющих ограничениям (4.10) и (4.11),

Получаем следующую задачу многокритериальной оптимизации:

найти x R , такой, при котором критерии оптимальности (качества)

где Ji(x) определяются соотношениями (4.2) и выполняются критериальные и параметрические ограничения:

Таким образом, задача многокритериальной оптимизации заключается в решении (4.12) при x D .

Если множество D не пусто, то решение такой задачи всегда существует и устраивает инженера, решающего задачу.

Определим теперь, что мы будем понимать под решением данной задачи. Пусть в замкнутом множестве D заданы непрерывные функции J1(x), J2(x). Точка x ' считается безусловно

лучшей, чем точка x, если при всех i =1, 2 имеем Ji (x ') ≤ Ji (x) ,

и хотя бы при одном i имеет место строгое неравенство. В этом случае можно сказать, что точка x безусловно хуже, чем точка x ' .

Если не существует точки x ' D безусловно лучшей, чем x, то точка x называется неулучшаемой или паретовской.

Под решением задачи многокритериальной оптимизации будем понимать множество Парето-оптимальных или паретовских точек. Рассмотрим механизм получения Парето-оптималь- ного множества. Для этого, то есть для решения многокритериальных задач, существует несколько методов. Рассмотрим основные из них.

93

Методы решения задач многокритериальной оптимизации

В практическом применении при решении многокритериальной задачи необходимо найти какое-либо одно решение, поэтому существуют методы решения многокритериальных задач, которые основываются на сведении их к однокритериальным задачам. Например: выбор главного критерия; построения обобщенного критерия; метод исследовательских уступок; метод ограничений или метод сеток. Рассмотрим последний.

Заметим, что допустимое множество D может быть задано как дискретно, так и непрерывно. В случае непрерывности допустимого множества для решения задачи оптимизации берутся пробные точки из пространства параметров, которыми аппроксимируется непрерывное множество D. Дискретизация множества из пространства параметров, т.е. выбор пробных точек, может быть произведена несколькими способами. Широко распространена аппроксимация допустимого множества случайной сеткой (метод Монте–Карло) или ее модификациями. При подобной аппроксимации большое значение имеет проблема равномерного расположения точек сетки, чтобы, используя наименьшее количество пробных точек, получать наибольшую информацию о рассматриваемой области. Количество точек, необходимое для получения наиболее полной информации, чаще всего определяется экспериментальным путем. Затем перебором всех точек полученного дискретного множества и нахождением в каждой точке значений критериев строится Парето-множество – набор Парето-оптимальных точек, не улучшаемых ни по одному из критериев. Рассмотрим применение этогометода длянашей задачи более подробно.

Метод решения

Пусть при фиксированных условиях среды и загрязнении на отрезке Ak [ Аk- , Аk+ ] экспериментально были получены наборы точек для критериев:

94

Используя методы аппроксимации, как, например методы Ньютона или Лагранжа, мы можем на отрезке [ Ak- , Ak+ ] по-

строить гладкие функции f(Ak), g(Ak), pH(Ak), Що(Ak), Щм(Ak), проходящие через соответствующие наборы точек (4.14) – (4.18), азатем, добавив ограничения на критерии оптимизации, как задачи многокритериальнойоптимизациив виде(4.12) – (4.13).

Если множество D не пусто, то решение такой задачи всегда существует. Поэтому следующим нашим шагом будет отыскание множества D, которое в нашем конкретном случае является одномерным и может быть представлено в виде одного или нескольких отрезков. После того как множество D будет найдено, можно приступить к отысканию Парето-фронта. Для этого:

–на множестве D построим случайную сетку из N точек;

–длякаждойточкинаходим значениякритериев Ji(x), i=1,2;

–фиксируем первую точку x1 из D и проверяем, есть ли безусловно лучшая точка среди оставшихся N–1 точек. Если нет, то точка x1 принадлежит множеству Парето;

–затем берем вторую точку x2 из D и проверяем, есть ли безусловно лучшая точка среди N–2 точек (x1 уже не рассматриваем). Еслинет, то точка x2 принадлежит Парето-множеству ит.д.;

–перебрав все точки, мы получим искомое Паретомножество.

Большинство реальных задач, как и наша, требует нахождения единственного решения. Чаще всего, когда решение задачи легко представить визуально, выделение единственного решения предоставляется эксперту. В сложных ситуациях, или

95

когда эксперта нет, можно выбирать точку, которая находится

n – число точек в Парето-множестве, любая точка, для которой сумма критериев минимальна, либо минимален более значимый критерий.

4.3.2. Нахождение рационального режима очистки

Рассмотрим использование данной методики на примере нахождения рационального режима очистки моечных вод.

В качестве критериев были выбраны:

– концентрация загрязнения Cм (Cм → min),

– моющая способность моечных вод Котм (Котм → max). Также идет отслеживание параметров:

–рН – рН моечных вод,

–Щм – щелочность общая,

–Щф – щелочность бикарбонатная моечных вод.

Пусть имеется набор эмпирических данных, на основе которого необходимо подобрать оптимальное качество реагента Аk (табл. 4.3). На рис. 4.25 изображены функции, полученные аппроксимацией имеющихся точек.

Т а б л и ц а 4 . 3

Данные процесса очистки моечных вод

96

вым был предложен способ очистки сточных вод с последовательным использованием по мере роста солесодержания. Предлагается использование вод в контурах моечных машин с концентрацией солей до 33000−70000 мг/л. Учитывая возможность корректировки нормативов в процессе эксплуатации, специальных исследований коррозионной активности растворов СМС не проводили. Коррозионная активность раствора снижается за счет больших концентраций сильных ингибиторов коррозии, особенно синтетических, и отсутствия свободного кислорода.

Рис. 4.28. Кривые влияния солей на моющее действие моечных вод: 1 – Na 2SO4; 3 – NaNO 3; 2 – NaCl

Рис. 4.29. Кривые влияния солей на моющее действие моечных вод: 1 – Na 2SO4; 2 – NaCl; 3 – NaNO 3

4.4.2. Влияние солей поливалентных металлов

Современные СМС имеют высокую эффективность действия в водах средней, повышенной и даже высокой жесткости. Отрицательное влияние солей щелочно-земельных металлов на СМС проявляется в связывании компонентов СМС, особенно

99

полифосфатов. На рис. 4.30, 4.31 даны зависимости эксплуатационных характеристик растворов СМС от дозы соли. Активность солей можно записать в виде формулы

CaSО4 < MgSО4 < CaCl2 < Al2 (SО4) 3 < CaSО4 · CaCl2 · MgSО4.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ПО ГЛАВЕ 4

1.Приведите классификацию способов очистки загрязненных моечных вод.

2.В чём преимущества и недостатки каждого из приведенных способов очистки?

3.Объясните, в чем отличие моделирования процессов очистки сточных вод в оборотных системах и какова роль введения второго параметра оптимизации?

4.Расскажите о процессах соленакопления в оборотных системах водопользования.

100