Дискретно-полевые модели электрических машин Часть 1. Численные метод

УДК 621.313 Б43

Рецензенты: академик АЭН РФ, доктор технических наук, профессор Ф.Н. Сарапулов

(Уральский государственный технический университет); кандидат технических наук, доцент А Д Коротаев (ГОУ ВПО

«Пермский государственный технический университет»)

Беляев, Е.Ф.

Б43 Дискретно-полевые модели электрических машин: учеб, пособие: в 2 ч. Ч. 1. Численные методы расчета магнитных полей / Е.Ф. Беляев. - Пермь: Изд-во Перм. гос. техн. ун-та, 2006.- 165 с.

ISBN 5-88151-529-3

Рассмотрены численные методы расчета магнитных полей электрических машин. Представлена система уравнений, описывающая электромагнитные процессы электрических полей,

иее редукция к краевым задачам. Приведены прямые и итерационные методы решения краевых задач для стационарных

инестационарных процессов в электрических машинах, а также примеры расчета и анализа полученных результатов.

Рекомендовано студентам специальности 180100, изучаю­ щим курс «Математическое моделирование электрических ма­ шин», аспирантам специальности 050901, а также инженерамэлектромеханикам, занимающимся проектированием электриче­

ских машин.

3.1.Разностная аппроксимация дифференциальных

Одним из современных методов исследования электромаг­ нитных процессов электрических машин (ЭМ) является матема­ тическое моделирование. Этот метод позволяет рассчитать ха­ рактеристики и предсказать характер протекания электромаг­ нитных процессов на стадии проектирования ЭМ без изготовле­ ния опытных образцов.

Математическое моделирование включает в себя следую­ щие этапы:

-математическое описание электромагнитных процессов, протекающих в ЭМ;

-выбор рациональных методов решения полученной сис­ темы дифференциальных уравнений;

-решение системы уравнений, описывающей электромаг­ нитные процессы ЭМ с учетом допущений и вариацией пара­ метров модели;

-анализ полученных результатов и выдачу необходимых рекомендаций.

В своем развитии методы математического моделирования

прошли два этапа. На первом этапе система дифференциальных уравнений основывалась на анализе электрических цепей ЭМ, эквивалентных цепям исследуемой ЭМ [1-11]. В основу мате­ матических моделей ЭМ было положено априорное положение об известном характере распределения магнитного поля в воз­ душном зазоре, которое определяется распределением токовой нагрузки статора. В простейшем случае токовая нагрузка может рассматриваться как единственная пространственная гармоника, при более строгом подходе - как спектр пространственных гар­ моник [9]. Если магнитное поле машины рассматривать как плоскопараллельное, а ее ротор считать симметричным, то ре­ шение дифференциального уравнения, описывающее это поле, тоже будет представлять набор пространственных гармоник со­ ответствующих частот. Для стационарного режима при гармо­ ническом изменении исследуемых величин пространственные дифференциальные операторы могут быть заменены алгебраи­ ческими выражениями. Амплитуда и фаза каждой из гармоник

исследуемой величины в этом случае рассчитываются через со­ ответствующие параметры токовой нагрузки и параметры ЭМ при помощи простейших алгебраических выражений. Необхо­ димость решения дифференциальных уравнений в этом случае отпадает, так как потокосцепления машины легко выражаются через ее фазные токи.

Для нестационарных режимов дифференциальные уравне­ ния для каждой из пространственных гармоник магнитного поля записываются в виде обыкновенных дифференциальных урав­ нений с временной независимой переменной. Таким образом, зная гармонический состав токовой нагрузки статора, можно всегда определить соответствующие потокосцепления, рассчи­ тать индуктивности обмоток и, воспользовавшись системой уравнений Кирхгофа, рассчитать динамический режим работы ЭМ. На этом этапе были получены весьма важные результаты, позволяющие судить о свойствах как самих ЭМ, так и систем, включающих ЭМ в свой состав.

Недостатком математических моделей, построенных на ос­ нове электрических цепей, является необходимость знать пара­ метры схем замещения, которые определяются либо в процессе эксперимента, либо путем дополнительных расчетов, либо при­ ближенно на основании практического опыта. Другой недоста­ ток этих моделей - приближенное определение дифференциаль­ ных параметров, таких как магнитная индукция в элементах магнитопровода ЭМ, плотность тока в электропроводных эле­ ментах, распределения электромагнитных потерь, определяю­ щих нагрев отдельных частей машины, и т.д. При моделирова­ нии в данном случае используются и рассчитываются инте­ гральные величины: магнитные потоки, токи, ЭДС, мощно­ сти и т.п.

Более совершенными являются современные методы мате­ матического моделирования, основанные на решении уравнений электромагнитного поля ЭМ [22, 30, 32, 33]. При таком подходе область существования этих полей рассматривается как сплош­ ная среда, обладающая определенными магнитными и электри­ ческими свойствами. Если в каждой точке исследуемой области задано значение физической величины, то говорят, что задано поле этой физической величины. Следовательно, исследование

магнитных и электрических полей связано с определением зна­ чений этих величин в каждой точке исследуемой области.

Эти методы не требуют знания параметров ЭМ, более того, они могут быть рассчитаны в процессе моделирования по ре­ зультатам расчетов магнитных и электрических свойств элемен­ тов ЭМ. По результатам расчета магнитных и электрических полей могут быть определены дифференциальные параметры машины, пространственное интегрирование которых позволяет легко рассчитать интегральные параметры, определяющие свой­ ства ЭМ.

Недостатком этого способа математического моделирова­ ния является его трудоемкость, обусловленная сложностью ре­ шения систем уравнений в частных производных. Правда, бур­ ное развитие вычислительной техники и методов вычислений значительно уменьшает этот недостаток.

Современные методы математического моделирования от­ крывают широкие возможности не только для исследования су­ ществующих ЭМ, но и для проектирования новых конструкций ЭМ и их оптимизации путем варьирования геометрических раз­ меров и физических свойств используемых материалов. Тем не менее, целесообразно сочетать оба способа моделирования ЭМ, используя схемы замещения для участков, незначительно влияющих на свойства и характеристики машин, и детально ис­ следуя электромагнитные поля, определяющие основные харак­ теристики и показатели машин.

Разработка математических моделей ЭМ оказалась бы не­ возможной без фундаментальной научной базы - трудов ино­ странных ученых: Р. Рюденберга, К. Адкинсона, Г. Вудсона,

В.Гиббса, Э. Кларка, К. Ковача, Г. Крона, В. Лайона, Р. Парка,

Р.Рихтера, Г. Стэнли, Д. Уайта и многих других.

Большой вклад в разработку математической теории и по­ строение математических моделей внесли отечественные уче­ ные: Г.Н. Петров, М.П. Костенко, Л.М. Пиотровский, А.А. Го­ рев, А.И. Вольдек, Е.Я. Казовский, А.И. Важное, И.А. Глебов, И.П. Копылов, А.В. Иванов-Смоленский, Я.Б. Данилевич, Г.А. Сипайлов, А.А. Янко-Триницкий, В.Я. Беспалов, К.С. Де­ мирчян, Е.В. Кононенко, Е.М. Синельников, Н.С. Сиунов,

М.М. Соколов, Р.В. Фильц, В.В. Хрущев, И.М. Серый, Ф.Н. Сарапулов, А.Т. Пластун и многие другие.

Математическая теория специальных ЭМ создана трудами отечественных и иностранных ученых, среди них: А.И. Вольдек, Г.И. Штурман, Б.И. Петленко, Ф.Н. Сарапулов, М.Г. Резин, А.П. Ращепкин, Х.А. Тийсмус, Е.Р. Лайгвайг, С.А. Насар, К. Оберретль, И.С. Сабоннадье, С. Ямамура и другие.

Теоретические положения и математические модели, разра­ ботанные на основе теории электромагнитного поля, отражены в трудах отечественных и иностранных ученых: И.П. Копылова, А.В. Иванова-Смоленского, В.Я. Беспалова, Г.А. Сипайлова, К.А. Хорькова, Я.Б. Данилевича, В.В. Домбровского, К.С. Де­ мирчяна, О.В. Тозони, Ф.Н. Сарапулова, А.А. Пульникова, а также Е. Andutsen, Н.А. Anwari, J.P. Bastos, R. Goyet, S. Car,

W.Kunze, A. Binner и многих других.

1.МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

1.1.Математические функции

Наряду с хорошо известными и широко применяемыми на практике аналитическими функциями при математическом мо­ делировании эффективно использование некоторых специаль­ ных математических функций. Для описания магнитных полей и электромагнитных процессов ЭМ чаще всего будут использо­ ваны указанные ниже математические функции [12].

Периодические временные и пространственные функции -

это функции, значения которых повторяются через определен­ ный временной промежуток Т или пространственный интер­ вал L, называемые периодами.

Периодические временные функции получили широкое распространение для исследования электрических цепей пере­ менного тока. Периодические пространственные функции ис­ пользуются для математического описания пространственных распределений магнитных полей в круговых машинах.

Эти функции широко применяются для описания магнитных полей, затухающих в пространстве. В качестве примера исполь­ зования финитной функции можно привести математическое описание распределения магнитного поля ЭМ вдоль ее оси, за­ тухающего при удалении от магнитопровода. На некотором рас­ стоянии (теоретически равном бесконечности) от магнитопро­ вода магнитное поле машины можно считать затухшим. Говорят, что в этом случае носителем финитной функции явля­ ется вся числовая ось. В реальных условиях магнитное поле можно считать затухшим на расстоянии, равном величине деся­

ти воздушных зазоров. Поэтому но­ сителем будет являться интервал ко­

Е(х), нечной величины.

При решении краевых задач, свя­ занных с расчетами магнитного поля широкое распространение получили единичная функция Хевисайда и дельта-функция Дирака.

Единичная функция Хевисайда (рис. 1.1) определяется сле­ дующим образом:

Эта функция может быть записана для любой точки цифро­ вой оси:

J5(x)dt = 1.

-оо

Так как Ь(х) =0 при х Ф0, то произведение 8(х) F(x) равно нулю всюду за исключением интервала - е < х < г при е —>• 0. В

-оо

С помощью дельта-функции удобно описывать плотность сосредоточенных в точке величин. Если, например, к точке дг0 приложена сосредоточенная сила величиной Р, а в других точ­ ках числовой оси сила отсутствует, то плотность силы в функ­ ции пространственной координаты q(x) может быть записана в виде

При расчетах магнитных полей часто используется величи­ на AS, называемая линейной токовой нагрузкой статора. Под этой величиной обычно подразумевают суммарный ток, сосре­ доточенный в узком слое на поверхности магнитопровода с ко­ ординатой z0. Линейную токовую нагрузку статора в функции пространственной координаты в этом случае можно записать следующим образом: