Прогнозирование несущей способности композитных фланцев корпусных д
..pdfЛ=1
а предельное число циклов N вычисляется отсюда, учитывая граничные условия
(4.5). В результате получим следующее выражение:
г |
= 1. |
(4.10) |
/7=1 |
|
|
Уравнения (4.8), (4.10) выражают линейное правило суммирования по вреждений для непрерывного и дискретного процессов нагружения соответст
венно. Зависимости Ть[ а ^ при непрерывном нагружении и Ыь{сг^ при дис
кретном определяют из простейших испытаний, называемых базовыми. Таким образом, линейное правило суммирования повреждений позволяет оценивать показатели долговечности для элементарного объёма при произвольных пара метрах напряженного состояния по результатам базовых испытаний. Физическое толкование для линейного правила суммирования повреждений основано на следующих соображениях. При произвольном п решение уравнений (4.4) с пра вой частью, не зависящей от Щп^\, имеет вид
|
п |
= |
(4 -Н) |
|
к=1 |
где Ау/ = -----7~----- г — повреждение, вносимое к-м циклом нагружения. Таким
мо
образом, левая часть в уравнении (4.9) получена суммированием повреждений от каждого цикла в отдельности. При непрерывном времени, когда время до раз рушения Т удовлетворяет уравнению (4.8), получаем аналогичное толкование.
dr
При этом величина — -------- - равна повреждению, накапливаемому на отрезке
ъ Ы * - ) )
[г,г + </г].
Если уровень напряжений в элементарном объёме в течение времени Д^
или числа циклов нагружения rij равнялся <т/7;, а затем в течение времени Д/ 2
или числа циклов нагружения п2 равнялся сг{/ 2\ после чего последовало его раз
рушение, то линейное правило суммирования повреждений (4.8) и (4.9) будет иметь при непрерывном времени следующий вид:
Д*1 |
д ь |
(4.12) |
|
= 1 |
|
^И'>) |
М 4 !>) |
|
при дискретном времени
где N c - база испытаний, обычно 106-10 8 циклов, S - предел выносливости.
Уравнение (4.18) используют для четко выраженного предела выносливости, а уравнение (4.19) для условного предела выносливости S на базе испытаний N c . Указанные зависимости соответствуют критерию Коффина [24]
cr = A N $ , |
(4.20) |
использованного для оценки предварительной усталостной долговечности флан ца в разделе 2.4. Покажем это следующим образом. Считая, что N = N e при на грузке а = S , из уравнения (4.20) выразим константу А в следующем виде:
А = |
(4.21) |
тогда
(4.22)
Преобразуя последнее уравнение, получим
(4.23)
Отсюда видно, что показатель степени b в критерии Коффина (4.20) связан с
показателем степени т в уравнениях (4.18), (4.19) равенством
т = - |
(4.24) |
|
В |
4.2. Постановка задачи расчета напряженно-деформированного состояния композитных фланцев с учетом разрушения слоев
Математическая постановка задачи расчета НДС композитных фланцев в упругом варианте приведена в разделе 2 .1. Для учета разрушения слоев необхо
димо в данную систему включить кинетические уравнения накопления повреж дений и установить зависимости механических характеристик материалов от значений функции поврежденности. Тензор модулей упругости, входящий в уравнение (3.1), представим в виде
Суи{Г. ^ . СТт я ) = Х СЧШР)(N ' a mn |
( Г)> |
/>=1
где р — индекс, соответствующий типу слоя, Л(р)(г) — индикаторные функции,
определяемые уравнениями
г e F (/,),
(4.26)
r i V (p)
В отличие от упругой постановки п.2.1, компоненты тензоров C iJkl(p ){N ,< J mn) в
данном случае не являются постоянными, а зависят от числа циклов наработки конструкции N и характера напряженного состояния в рассматриваемом элементарном объёме /?-го слоя конструкции. Эту зависимость в соответствии с работами [12, 33], будем описывать уравнением, включающим индикаторную
функцию P^P\ N , а„м), которая принимает значение 0 в не разрушенных эле
ментарных объёмах и 1 в объёмах, где вследствие накопления повреждений при
наработке N циклов нагружения конструкции при некотором уровне напряжений
ат1 возникли разрушения
C.(p ){ N , a mn) = e {p )( \ - P {p){ N , a mn) ) . |
(4.27) |
Компоненты тензора упругих модулей неповреждённых слоев Cijk^ p) опреде
ляются в осях симметрии слоя через технические константы по соотношениям (2.5).
Индикаторную функцию Р^р) (N ,а тп) можно определить через функ
цию Хевисайда h(y) |
|
|
|
h(y) = |
'1, |
у > 0, |
(4.28) |
|
у< О |
||
|
|
|
|
и скалярную функцию повреждений |
|
отражающую процесс нако |
|
пления повреждений в элементарном объёме при наработке конструкцией N |
|||
циклов нагружения, следующим образом: |
|
|
|
P (p\ N , a mn) = h [ ^ p\ N , a mn) - \ ) . |
(4.29) |
||
Кинетическое уравнение накопления повреждений, определяющее значение
V'(p)(^,cymn), запишем в соответствии с линейным правилом суммирования
(4.9)
1
к=1 К ьР)(<?тп{к))'
здесь сгтп(к) — напряжения в рассматриваемом объёме на к-м цикле нагруже
ния, N[p) — число циклов до разрушения материала /?-го слоя конструкции при
заданном уровне нагружения. Последний параметр можно определить из реше ния критериального уравнения для каждого материала, которое в общем случае записывается в следующем виде:
Ф(/7)(°тл > |
, S j j j=0, |
(4.31) |
St® —материальные константы критерия.
Предельным значением функции |
,<Ту), имеющим физический |
смысл и соответствующим разрушению элементарного объёма, будет единица, что отражено в уравнении (4.29). Система уравнений (2.1)-(2.4), (4.25)-(4.31) описывает нелинейную задачу расчета НДС многослойной конструкции при за данных граничных условиях и числе циклов нагружения N.
Решение поставленной нелинейной задачи расчета НДС и оценки ресурса конструкции осуществлялось с помощью МКЭ. Для линеаризации определяю щих соотношений (4.25) использовался численный алгоритм переменных пара метров упругости [17].
4.3. Разрушения матричных композитов и тензорная функция поврежленности
Кинетические уравнения накопления повреждений, использующие ска лярную функцию y/(t), не всегда адекватно описывают процессы, происходящие
в структуре композиционных материалов. Например, появление и постепенное развитие усталостной трещины в матрице однонаправленного слоя еще не озна чает полной потери его несущей способности. В этом случае представляется бо лее правильным полагать, что соответствующий слой обладает несущей способ ностью в направлении волокон и не сопротивляется поперечной на!рузке и сдвигу. Полностью разрушенным данный слой можно считать лишь после ис черпания несущей способности волокон. Таким образом, выработка ресурса из делия из композиционного материала происходит поэтапно и отражает различ ные механизмы накопления и развития повреждений в структуре материала.
Различные варианты моделей изменения параметров слоев при статиче ском деформировании предложены в работе /38/. В статье /2/ одна из моделей редукции констант однонаправленного слоя используется для оценки долговеч ности слоистого композита при циклическом нагружении.
Для описания этих механизмов недостаточно одного параметра у/ , а в ка
честве функции поврежденности следует использовать тензор 2-го или 4-го ран га. А.А Ильюшиным была сформулирована теория длительной прочности, в ко
торой параметр, характеризующий повреждение, есть тензор 2-го ранга П зависящий от истории нагружения [21]:
t
Пи = j ° ( ? - т)5 <у(тУ т |
(4.32) |
о |
|
Предполагалось, что разрушение наступает тогда, когда некоторая мера тензора
Пц принимает фиксированное значение. Для однонаправленных и слоистых
матричных композитов данная теория приобретает следующий физический смысл. Можно сказать, что тензор Я ;у описывает процессы накопления повреж
дений в различно ориентированных структурных элементах, которые приводят к различным модам разрушения композиционных материалов. Соответственно, после разрушения композита по той или иной моде у него остается способность сопротивляться определенной внешней нагрузке. Полное исчерпание несущей способности возможно лишь после разрушения по нескольким модам.
Рассмотрим подробнее характер разрушения однонаправленного волокни стого композиционного материала (ОВКМ) и композита на основе тканого препрега. Будем использовать локальную декартовую систему координат слоёв О Х ^ Х з , введенную в п.2.1 (см. рис. 2.5). Для однонаправленного композита в выбранной системе координат направление волокон совпадает с осью 0 Х Ь ось ОХг расположена в плоскости слоя, а ось 0Х 3 перпендикулярна плоскости слоя.
Характер симметрии упругих свойств ОВКМ является трансверсально изотропным, при этом введенная система координат совпадает с главными ося ми симметрии материала, а плоскость ОХ1Х2 является плоскостью изотропии. В
данной системе координат упругое поведение материала описывается пятью константами в качестве которых выберем: Ец — модуль Юнга в продольном на правлении, Gj2,G23 — модуль продольного и поперечного сдвига, v12 — про
дольно-поперечный коэффициент Пуассона, характеризующий деформацию слоя в направлении оси ОХ2 при нагружении его в направлении OXi , К2з — модуль объемного сжатия при плоской деформации в плоскости ОХ2Х3. Послед
няя константа может быть выражена через модуль Юнга в трансверсальной плоскости Е22 и остальные величины соотношением
к 2Ъ=- |
E-nG |
(4.33) |
|
22^23 |
|||
4G23 |
22 |
4^12 |
G23^E 22 |
|
|
||
Ml
Для оценки характера напряженного состояния трансверсально-изотропного ма териала используем следующие инварианты тензора напряжения , введённые в
работе [31] для группы вращений системы координат вокруг оси 0 Х[:
А а 22 + ст33» ^2 ~ сг32 а33а22' ^4 “ &\Ь
L3 = СГззО^з +СГ2 2 с г 12 +^ СГ13СГ12СГ32^ ^ 5 = а \2 +<713- (4.34)
Будем считать, что в исходной системе координат компонента Пп тензора П у,
рассматриваемого для ОВКМ с эффективными свойствами, характеризует нако пление повреждений в волокнах. В начальный момент времени повреждения отсутствуют — Пи = 0 , в момент разрыва волокон П и = 1. Соответствующая
мода разрушения показана на рис.4Л,б. Можно предположить, что композит, разрушенный таким образом, обладает несущей способностью при растяжении и сжатии вдоль осей ОХ2 и ОХз , сдвиге в плоскости ОХ2Х3 и при сжатии в на
правлении OXj , но не сопротивляется растягивающей нагрузке в направлении ОХ,, а также сдвигу в плоскостях ОХ1Х3 и OXjX2. Таким образом, после разру шения по данному механизму константы К23 ,G23 не меняются, GJ2равняется ну лю, а Ец , V72 равняются нулю лишь при положительных значениях инварианта L4 (4.34):
£ ц |
, L4 < 0, |
^ _ | У\2 ’ |
~ |
|
О, |
Ц > 0, |
Vl2 ~ 1 о, |
Ц > о, |
(4.35) |
G12 - о, К22 - К21, G23 - G23.
На рис.4.1,в показана вторая мода, соответствующая разрушению матри цы вдоль волокон. Характер разрушения определяется компонентами тензора повреждений П22 и П33 , которые в момент разрушения равны единице. После
разрушения такого вида однонаправленный композит, очевидно, способен вос принимать нагрузку в направлении ОХь а также двухосное сжатие в плоскости ОХ2Хз, но не способен сопротивляться сдвигу и растяжению в этой плоскости, а
также сдвигу в плоскостях, включающих направление армирования. Поэтому после разрушения по второй моде предлагается следующее условие корректи ровки упругих констант материала:
ЕП =Е |
11’ |
УП = V, |
|
|
|
М2 |
12 |
|
|
К „ = Г 23’ |
Ll й0г |
(4.36) |
||
[ о, |
L2 > 0 , |
|
||
Упругие константы корректируются по указанной схеме в том случае, если хотя бы одна из компонент П 3 3 либо П22равна единице.
Компоненты П32, П/з к П21 соответствуют третьей моде разрушения од нонаправленного композита. Характер разрушения показан на рис.4.1,г-е. Будем
считать, что разрушение происходит по матрице, следовательно, материал со храняет несущую способность при растяжении и сжатии вдоль оси OXi, а также при сжатии в трансверсальной плоскости, но не сопротивляется продольному и трансверсальному сдвигу и трансверсальному растяжению. В этом случае усло вия корректировки упругих констант материала после разрушения соответству ют уравнениям (4.36).
Для композита на основе тканого препрега в локальной декартовой систе ме координат, введенной в п.2. 1, ось OXi соответствует направлению нити ос новы, ось ОХ2 уточной нити и ось ОХ3 перпендикулярна плоскости слоя. Мате
риал является ортотропным, при этом выбранная система координат соответст вует его главным осям симметрии. Упругое поведение ортотропного материала на макроуровне можно описать с помощью девяти независимых технических констант:
E n ,E n ,E22,Gn fGl3,G22, У\2, ^ 23» v 3i*
Инвариантами тензора напряжений являются шесть его независимых ком понент в главных осях симметрии [31]:
° ,l l » ° ,22»C733»(JI2>0,13>(J23-
На рис.4.2 показаны шесть независимых мод разрушения ортотропного материа ла. Первая мода (рис.4.2,а) соответствует разрыву волокон основы, компонента тензора повреждений Пц=1. Будем считать, что композит, имеющий поврежде
ние данного вида, сохраняет несущую способность при растяжении, сжатии и сдвиге в плоскости ОХ2Х з, а также при сжатии в направлении OXi и не сопро тивляется растягивающей нагрузке в направлении OXi и сдвигу в плоскостях OX3Xi и ОХ2Хь Таким образом, после разрушения по данному механизму упру гие константы Е22 у£33 >G23*v23 не меняются, а для остальных используются
следующие уравнения редукции:
(4.37)
Вторая мода разрушения (рис.4.2,6) соответствует разрыву уточной нити, при этом компонента тензора повреждений П22-Е Рассматривая аналогичные меха
низмы потери несущей способности, можно вывести следующее правило изме нения упругих технических постоянных слоя
0*22 < О» |
(4.38) |
|
О22 > 0 . |
||
|
Третья мода разрушения (рис.4.2,в) отвечает поперечному расслоению, при этом Пзз=1, а уравнение редукции упругих постоянных имеет вид
(4.39)
д |
е |
Рис. 4.2. Моды разрушения тканого композита: разрыв волокон основы (а) , разрыв волокон утка (б) , разрушение матрицы вдоль волокон (в), разрушение матрицы вследствие сдвига (г, д, е)