Основы научных и инженерных исследований

Пример 1. Провести статистические расчеты состава насыщенного осветленного щелока, подаваемого в вакуумкристаллизационную установку производства хлорида калия (за период с января по конец ноября) с помощью пакета «Описательная статистика». Состав щелока приведен в табл. 5.6.

Таблица 5.6

Состав насыщенного осветленного щелока в галургическом производстве КС1, %

Окончание табл. 5.6

Для решения задачи выделим приведенную таблицу

ископируем все данные таблицы в программу Microsoft Excel (ячейки А1-G34), сохраним файл в Microsoft Excel

под определенным именем. Далее в меню Microsoft Excel с помощью мыши выбираем «Сервис», в котором обращаемся к команде «Анализ данных». В появившемся диалоговом окне «Инструменты анализа» выбираем «Описательная статистика» и команду ОК.

После вхождения в пакет «Описательная статистика»

ипоявления диалогового окна указываем входной интервал (ячейки В2:G34). Их можно указать путем написания номеров ячеек в виде: $В$2:$G$34 или путем выделения мышью

или клавишами клавиатуры (Shift + →) столбцов непосредственно на электронной таблице (не указывая левый столбец с указанием месяцев года). Далее выбираем группирование «По столбцам», ставим флажок напротив «Метки

впервой строке» (чтобы буквенные обозначения столбцов вывести в итоговой таблице), отмечаем флажками адрес и параметры вывода данных: Новый рабочий лист, Итоговая таблица, Уровень надежности (95 %), нажимаем команду ОК. Результаты расчета выводим на новый рабочий лист

ввиде таблицы.

182

В отредактированном редактором Microsoft Excel (после удаления повторяющихся столбцов обозначений статистических параметров) и в более компактном виде (после сокращения числа знаков после запятой в ячейках таблицы) результаты статистических расчетов представлены в табл. 5.7.

Таблица 5.7

Статистические характеристики состава насыщенного щелока

В итоговой табл. 5.7 результатов статистических расчетов уровень надежности – это доверительный интервал,

183

интервал – разность между максимальным и минимальным значениями выборки, счет – число значений (размер) выборки, сумма – сумма всех значений выборки.

5.6. Корреляционный анализ

Корреляция – связь между двумя или несколькими исследуемыми событиями, явлениями или величинами. Так, в химической технологии достаточно продуктивно используется корреляционный анализ для установления влияния состава исходного сырья, руд, потоков на технологические

итехнико-экономические показатели производства (степень превращения в продукт, степень извлечения ценных компонентов из руд, качество продукта, себестоимость получения продукта и т.п.). Он позволяет также выявить влияние условий работы оборудования, технологических коллективов и факторов, изменяющихся случайным образом (содержание примесей, колебания расходов потоков, переходные режимы работы оборудования, аварийные остановки и т.п.), на основные показатели, что необходимо для оптимизации режимов производства.

Корреляционный анализ используется, когда отсутствуют теоретические зависимости, когда связь между явлениями только предполагается и носит вероятностный характер. Методами корреляционного анализа исследуют наличие случайных связей между независимыми переменными, сам факт существования или статистическую гипотезу о наличии или отсутствии связи. Результат корреляционного анализа также носит вероятностный характер, так как заключение о наличии или отсутствии связи принимается с некоторой наперед заданной доверительной вероятностью.

Корреляционный анализ заключается в определении

ианализе коэффициентов корреляции, путем сравнения найденных коэффициентов корреляции с критическими значениями, указывающими на существование значимой корреляционной связи.

184

сутствует случайное рассеяние точек (рис. 5.3). Такой график описывается уравнением

где а – свободный коэффициент;

b – коэффициент – тангенс угла наклона прямой линии

Х2 к оси Х1.

Наличие вероятностной линейной зависимости Х2 от Х1, носящей случайный характер, можно представить в виде совокупности точек, лежащих вблизи прямой линии (рис. 5.4; 5.5). Величина отклонения экспериментальных точек от прямой линии указывает на величину корреляции между величинами Х1 и Х2. Чем сильнее корреляционная связь между Х1 и Х2, тем меньше отклонения точек от прямой линии. Отсутствие корреляционной связи между Х1 и Х2 можно представить в виде области, имеющей форму круга (рис. 5.6). В этом случае между точками можно провести бесчисленное количество прямых линий.

185

Количественной оценкой корреляционной связи между величинами Х и Y является коэффициент корреляции rxy. Он измеряет силу линейной связи между Y и X и может принимать значения от –1 до 1. При положительной величине коэффициента корреляции (положительная корреляционная связь) росту величины Х соответствует возрастание величины Y. При отри-

цательной величине коэффициента корреляции (отрицательная корреляционная связь) росту величины Х соответствует уменьшение величины Y. Если величины X и Y независимы, то коэффициент корреляции rxy = 0.

Коэффициент корреляции rxy вычисляют по величине ковариации:

где ковариация cov (X, Y) = ∑(Хi – X)(Yi – Y)/(n – 1);

Sx – среднее квадратическое отклонение величин Х; Sy – среднее квадратическое отклонение величин Y. Коэффициент корреляции является случайной величи-

ной, поскольку вычисляется из случайных величин. Две случайные величины X и Y являются коррелированными, если их коэффициент корреляции отличен от нуля. Допустим, что выборочный коэффициент корреляции, найденный по выборке, оказался отличным от нуля. Так как выборка отобрана случайно, то отсюда еще нельзя заключить, что коэффициент корреляции генеральной совокупности также отличен от нуля. Возникает необходимость проверить гипотезу о значимости (существенности) выборочного коэффициента корреляции (или о равенстве нулю коэффициента корреляции генеральной совокупности). Если гипотеза о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции будет отвергнута, то выборочный коэффициент корреляции

186

значим, а величины X и Y коррелированные; если гипотеза принята, то выборочный коэффициент корреляции незначим, а величины X и Y некоррелированные.

Для того чтобы при заданном уровне значимости α проверить гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции нормально распределенной случайной величины, необходимо вычислить наблюдаемое значение критерия tнабл:

где rxy – значение коэффициента корреляции, вычисленное по формуле (5.21).

По таблице критических точек распределения Стьюдента, по заданному уровню значимости и числу степеней свободы f = n – 2 найти критическую точку tкр(α; f) для двусторонней критической области. Затем производится срав-

нение абсолютной величины |tнабл| и tкр. Если |tнабл|<tкр – коэффициент корреляции незначим, а если |tнабл|>tкр – выборочный коэффициент корреляции значимо отличается от

нуля и случайные величины коррелированны.

Значимость коэффициента корреляции также можно определить [21] по формуле

значением коэффициента Стьюдента t(Р = 0,95; f = ∞) = = 1,96. Если тестовая статистика ξ больше табличного зна-

чения коэффициента Стьюдента t, то коэффициент корреляции значимо отличается от нуля.

Значимость отличия между двумя коэффициентами корреляции определяют по тестовой статистике [21]:

187

Вычисленную величину ξ сравнивают с табличным

значением коэффициента Стьюдента t(Р = 0,95; f = ∞) = = 1,96. Если статистика ξ больше табличного значения ко-

эффициента Стьюдента t, то коэффициенты корреляции значимо отличаются.

Пример корреляционного анализа. При получении

98%-го хлорида калия важно знать, между какими компонентами существует корреляционная связь, с какими примесями в сильвинитовой руде ассоциируется бромид-ион. В связи с этим проводят корреляционный анализ и выявляют корреляционные связи содержания компонентов в составе сильвинитовой руды. Состав сильвинитовой руды Березниковского калийного рудоуправления № 1 приведен в табл. 5.8.

Таблица 5.8

Состав компонентов сильвинитовой руды ствола № 3, БКРУ-1 (данные за 2006 г.)

Окончание табл. 5.8

П р и м е ч а н и е. Н.о. – нерастворимый в воде остаток.

Для проведения корреляционного анализа используем прикладной пакет «Анализ данных» программы Microsoft Excel. Для этого копируем данные табл. 5.8 в программу Microsoft Excel, сохраняя в памяти компьютера файл под определенным именем. Далее, в меню программы Microsoft Excel выберем кнопку «Сервис», после нажатия на которую выберем кнопку «Анализ данных».

Если пакет «Анализ данных» не установлен в программе Microsoft Excel, то для его установки выполняют операции, указанные в разделе «Статистический анализ».

189

В пакете «Анализ данных» выбирают инструмент «Корреляция» и нажимают ОК. В программе появляется окно запроса входного интервала анализируемых данных. С помощью мышки выделяют входной интервал анализируемых данных (имя и содержание столбцов, начиная с первого столбца «Н.о.»). В меню «Корреляция» указывают группирование (по столбцам или по строкам), выбирают группирование «По столбцам». Для идентификации столбцов в выводимой таблице ставим метку в строке «Метки в первой строке». В параметрах вывода данных ставят метку напротив строки – «Новый рабочий лист». При этом данные расчетов коэффициентов корреляции выведутся на новый рабочий лист программы Microsoft Excel в виде табл. 5.9.

Таблица 5.9

Значения коэффициентов корреляции компонентов сильвинитовой руды БКРУ-1

Для оценки значимости вычисленных коэффициентов корреляции используем выражение

tí àáë = rxy1−nr−2 2 . xy

Для приведенного примера n = 33. Вычисленные по этой формуле величины tнабл приведены в табл. 5.10.

190