Компьютерные технологии в машиностроении. Основы работы в системе Mathca

4. ВЕКТОРЫ, МАТРИЦЫ И ОСНОВНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ

Одиночное число в Mathcad называется скаляром. Столбец чисел называется вектором, а прямоугольная таблица чисел − матрицей. Общий термин для вектора и матрицы − массив.

Благодаря наличию в системе Mathcad операторов задания векторов и матриц, операции над ними выполняются так же просто, как и с обычными переменными. Практически все операции могут проводиться над векторами и матрицами как с действительными, так и с комплексными элементами.

Элементами массива могут быть числа, константы, переменные и даже математические выражения. Соответственно, матрицы могут быть численными и символьными.

Для создания матрицы необходимо вызвать диалоговое окно (рис. 4.1, а) с помощью нажатия мышью в строке меню на Insert и далее в падающем меню на Matrix, либо использованием сочетания клавиш

[Ctrl + M], либо нажатием на кнопку на панели математических инструментов.

Рис. 4.1. Окно диалога определения размеров матрицы (а)

ишаблон матрицы, появляющийся в рабочем документе (б)

Впоявившемся меню устанавливается количество строк Rows и количество столбцов Columns. После нажатия либо на OK, либо на Insert

врабочем документе появится шаблон матрицы (рис. 4.1, б). Шаблон содержит обрамляющие скобки и темные маленькие прямоугольники, обозначающие места ввода значений элементов вектора или матрицы (числовых или символьных). Один из прямоугольников можно сделать ак-

41

тивным, отметив его курсором мыши, при этом он заключается в синий уголок. Это указывает на то, что в него будут вводиться значения соот-

ветствующего элемента . Перемещаться по массиву можно либо стрелками, либо при помощи клавиши Tab. Пока идет ввод элементов вектора или матрицы, пустые шаблоны отображаются без каких-либо комментариев. Однако если закончить ввод до полного заполнения шаблона, система выведет сообщение об ошибке и незаполненные шаблоны приобретут красный цвет. Вывод несуществующей матрицы или ошибочное указание ее индексов также отображается красным цветом.

В системе Mathcad можно задавать матрицу не более чем из 100 зна-

чений (10×10).

Размеры уже выведенного шаблона матрицы можно изменять (вставлять или удалять стоки и столбцы) следующим образом:

− для вставки или удаления сток в поле Columns наберите 0, а в поле Rows, число необходимых строк; вставляются стоки ниже выделенного элемента, а удаляются строки по выделенному элементу и вниз от него;

− для вставки или удаления столбцов в поле Rows наберите 0, а в поле Columns – число необходимых столбцов; вставляются столбцы справа от выделенного элемента, а удаляются по выделенному элементу

исправа от него. При вставке строк и столбцов в диалоговом окне используются клавиши OK или Insert, при удалении − клавиша Delete.

Каждый элемент матрицы можно представить в виде индексированной переменной, и его положение в матрице обозначается двумя индексами: один указывает номер строки (i), другой – номер столбца (j). Для вывода какого-либо элемента матрицы необходимо после имени матрицы указать индексы этого элемента, для чего нажимается клавиша [

инабираются номера индексов. Сначала указывается индекс строки, а за ним через запятую – индекс столбца.

По умолчанию массивы Mathcad нумеруются с нулевого элемента. Чтобы изменить этот порядок, необходимо изменить значение встроенной переменной ORIGIN. Задав в рабочем документе команду ORIGIN := 1, устанавливаем, что нумерация сток и столбцов в матрице начинается с 1, а не с 0.

Ниже приведены основные векторные и матричные операции; мат-

рицы обозначены буквой М, векторы − V, скалярные величины − z. Здесь же представлены основные сочетания клавиш, с помощью которых мож-

42

но вызвать эти операции, и показаны соответствующие кнопки панели матричных операций, которая открывается при нажатии на кнопку, находящуюся на панели математических инструментов (табл. 4.1).

Система Mathcad имеет также ряд векторных и матричных функции. Часть функций общего назначения представлена ниже:

matrix(m,n,f) − создает и заполняет матрицу размерности m×n, элементы которой, расположенные в i-й строке, j-м столбце, равны значениям f(i,j) функции f(x,y);

43

rows(M) − определяет число строк в массиве; cols(M) − определяет число столбцов в массиве; length(V) − определяет число элементов в векторе;

last(V) − определяет индекс последнего элемента в векторе; max(M) − находит элемент в массиве с наибольшим значением; min(M) − находит элемент в массиве с наименьшим значением; Re(M) − создает массив, состоящий из элементов, которые являются

вещественной частью элементов M;

Im(M) − создает массив, состоящий из элементов, которые являются мнимой частью элементов M;

diag(V) − создает диагональную матрицу, элементы главной диагонали которой хранятся в векторе V;

identity(n) − создает единичную матрицу (n×n), все диагональные элементы которой равны 1, а все остальные элементы равны 0;

tr(M) − вычисление следа квадратичной матрицы М (след матрицы равен сумме ее диагональных элементов);

augment(M1,M2) − создает массив, формирующийся расположением матриц М1 и М2 бок о бок; матрицы М1 и М2 должны иметь одинаковое число строк;

stack(M1,M2) − создает массив, формирующийся расположением матриц М1 и М2 друг над другом; матрицы М1 и М2 должны иметь одинаковое число столбцов.

На рис. 4.2 показан фрагмент рабочего документа Mathcad, где используются некоторых из перечисленных функций.

Также к функциям работы с матрицами можно отнести функции сортировки массивов:

sort(V) − сортирует элементы вектора в порядке возрастания; csort(A,n) − сортирует строки матрицы таким образом, чтобы распо-

ложить элементы в столбце n в порядке возрастания. Результат имеет тот же самый размер, что и А;

rsort(A,n) − сортирует столбцы матрицы таким образом, чтобы расположить элементы в строке n в порядке возрастания. Результат имеет тот же самый размер, что и А;

reverse(V) или reverse(A) − обращает порядок элементов вектора V или строк матрицы A.

44

6. Найдите значения выражений:

X 8; M/4; V 3; V/9.

7. Найдите:

−сумму векторов V и вектора, состоящего из 4-го столбца матрицы X;

−разницу векторов V и вектора, состоящего из 2-го столбца матрицы X;

−произведение векторов V и вектора, состоящего из 3-го столбца матрицы X.

8.Создайте новый массив V1 и M1 с помощью транспонирования вектора V и матрицы M соответственно.

9.Найдите сумму двухматриц(Х+ М1) и произведениематриц(Х М).

10.Создайте новую матрицу с помощью:

−деления числа 4 на каждый элемент массива Х,

−возведя в 3-ю степень каждый элемент массива Х,

− извлекая квадратный корень из каждого элемента массива М (в этом случае используйте векторизацию массива).

11.Определите длину вектора V и детерминант квадратичной матрицы, полученной произведением двух матриц (Х М).

12.Используя функции augment и stack, создайте массив А из X и V, массив А1 из X и М1. Для массива А1 с помощью матричных функций определите количество строк и столбцов, наибольшие и наименьшие значения массива.

13.Используя функцию matrix, создайте матрицу 4×5, значения элементов матрицы определяются функцией f(x,y)=3 x-y/2.

14.Для нижеприведенного массива HB определите:

−наибольшие и наименьшие значение;

−сумму векторов, состоящих из 2 и 9 столбцов;

−составьте новую матрицу HB1 из 7 и 4 столбцов;

−составьте вектор Н из диагональных элементов и найдите произведение этого вектора с вектором, состоящим из 1 столбца;

−составьте новую матрицу, разделив число 4000 на квадратный корень из каждого элемента массива НВ.

46

5.ФУНКЦИИ В СИСТЕМЕ MATHCAD

5.1.Встроенные функции и функции пользователя

Система Mathcad содержит множество встроенных функций, которые можно разделить на элементарные и специальные, функции статистики, регрессии, сглаживания и пр. Особенностью функций является то, что в ответ на обращение к ним по имени с указанием аргумента (или списка аргументов) они возвращают некоторое значение − символьное, числовое, вектор или матрицу.

Элементарные функции в системе Mathcad можно подразделить на тригонометрические, гиперболические и алгебраические. Все они, кроме функции angle(x,y), вычисляющей угол (в радианах) радиус-вектора точки (x,y), могут иметь аргумент в виде как действительных чисел, так и комплексных. К широко распространенным функциям относятся также функции выделения действительной Re(Z) и мнимой Im(Z) частей комплексного числа, а также функция вычисления аргумента arg(Z). Аргу-

ментом является угол θ в выражении r e jθ , лежащий в пределах [–3,14…+3,14]. К специальным математическим функциям относятся: функция Бесселя, гамма-функция, функции ошибок и др.

Чтобы просмотреть список всех встроенных функций, необходимо вызвать диалоговое окно вставки функции (рис. 5.1). Это можно сделать

либо нажатием мышью на кнопку на панели инструментов, либо одновременным нажатием клавиш Ctrl и F, либо выбрав в меню команду Insert (вставка) и далее в ниспадающем меню команду Function.

Функции могут быть вставлены в рабочий документ с помощью диалогового окна, также функции можно набирать с клавиатуры. Имена встроенных функций не чувствительны к штифту, но чувствительны к регистру. Поэтому имена функций должны быть напечатаны с использованием прописных или строчных букв точно так, как показано в табл. 5.1, где также приведена часть элементарных и специальных функций, встроенных в систему, вид обращения к ним и примеры.

48

Наряду со встроенными функциями могут задаваться и функции пользователя с помощью конструкции:

Имя (Список аргументов) := Выражение.

Функция пользователя может иметь один или несколько аргументов, образующих список. Аргументы в списке разделяются запятыми. В выражение могут входить как переменные из списка аргументов, так и переменные, используемые в других блоках документа. Функция пользователя воспринимает также значения других переменных, которые были им присвоены или доопределены.

5.2. Статистические функции

Система Mathcad позволяет проводить наиболее распространенные статистические расчеты над данными, заданными в виде вектора. Имеющиеся в наличии встроенные функции позволяют проводить статистический анализ данных, регрессионный анализ, интерполяцию, сглаживание временных рядов, генерировать случайные величины, подчиняющиеся различным законам распределения и т.д.

Так, для вычисления основных статистических характеристик случайных совокупностей используются следующие функции (в последующих описаниях m и n представляют число рядов и столбцов рассматриваемых массивов A и V, переменная ORIGIN по умолчанию принята равной нулю):

mean(V) или mean(А) − вычисляет среднее значение элементов массива согласно формуле

50