Элементы математической физики
..pdfМинистерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Пермский национальный исследовательский политехнический университет»
Г.Б. Лялькина
ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Утверждено Редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного пособия
Издательство Пермского национального исследовательского
политехнического университета
2013
elib.pstu.ru
УДК 517.946 (075.8) ББК 22.311
Л97
Рецензенты:
д-р физ.-мат. наук, профессор В.И. Яковлев (Пермский государственный национальный исследовательский университет);
канд. физ.-мат. наук, доцент Т.А. Осечкина (Пермский национальный исследовательский политехнический университет)
Лялькина, Г.Б.
Л97 Элементы математической физики: учеб. пособие / Г.Б. Лялькина. – Пермь : Изд-во Перм. нац. исслед. политехн.
ун-та, 2013. – 106 с.
ISBN 978-5-398-01041-1
В краткой форме изложены основные понятия математической физики, связанные с решением задач безопасности жизнедеятельности. Выведены простейшие уравнения колебаний и теплопроводности. Приведены классические постановки начальных и краевых задач для базовых уравнений гиперболического, эллиптического и параболического типов. В качестве примера рассмотрены метод Даламбера решения задачи Коши для одномерного волнового уравнения, метод Фурье решения краевых задач для волнового уравнения и уравнения теплопроводности, а также постановка и решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона и свойства гармонических функций.
Предназначено для студентов направления «Техносферная безопасность». Может быть полезно студентам и аспирантам технического университета.
УДК 517.946 (075.8) ББК 22.311
ISBN 978-5-398-01041-1 |
ПНИПУ, 2013 |
2
elib.pstu.ru
ОГЛАВЛЕНИЕ |
|
Введение.................................................................................................. |
5 |
1. Краткие сведения из теории обыкновенных |
|
дифференциальных уравнений....................................................... |
10 |
1.1. Понятие решения обыкновенного |
|
дифференциального уравнения................................................ |
10 |
1.2. Структура общего решения линейного |
|
дифференциального уравнения второго порядка................... |
12 |
1.3. Постановка простейшей задачи Штурма–Лиувилля |
|
на собственные значения.......................................................... |
13 |
2. Понятие уравнений в частных производных................................. |
19 |
2.1. Дифференциальные уравнения в частных |
|
производных первого порядка.................................................. |
19 |
2.2. Примеры решения простейших дифференциальных |
|
уравнений в частных производных второго порядка............. |
21 |
3. Классификация дифференциальных уравнений |
|
с частными производными.............................................................. |
25 |
3.1. Классификация уравнений с частными |
|
производными второго порядка............................................... |
25 |
3.2. Канонические формы линейных уравнений |
|
с постоянными коэффициентами............................................. |
29 |
3.3. Краевые и начальные условия для уравнений |
|
в частных производных. Понятие корректности |
|
постановки краевой задачи....................................................... |
32 |
4. Уравнения гиперболического типа................................................. |
35 |
4.1. Простейшие задачи, приводящие к уравнениям |
|
гиперболического типа.............................................................. |
35 |
4.2. Постановка краевых задач для волнового уравнения. |
|
Теорема единственности........................................................... |
41 |
4.3. Метод распространяющихся волн. |
|
Формула Даламбера .................................................................. |
44 |
|
3 |
elib.pstu.ru
4.4. Метод разделения переменных |
|
для однородного волнового уравнения................................... |
48 |
4.5. Метод разделения переменных |
|
для неоднородного волнового уравнения............................... |
52 |
4.6. Решение общей первой краевой задачи |
|
для волнового уравнения.......................................................... |
56 |
5. Уравнения параболического типа................................................... |
59 |
5.1. Простейшие задачи, приводящие |
|
к уравнениям параболического типа....................................... |
59 |
5.2. Начальные и краевые условия |
|
для уравнения теплопроводности............................................ |
66 |
5.3. Постановка краевых задач для уравнения |
|
теплопроводности...................................................................... |
67 |
5.4. Принцип максимума и теоремы единственности................... |
70 |
5.5. Метод разделения переменных для однородной |
|
первой краевой задачи .............................................................. |
72 |
5.6. Функция источника. Решение первой краевой |
|
задачи с нулевыми краевыми условиями................................ |
76 |
5.7. Решение общей первой краевой задачи.................................. |
78 |
5.8. Решение задачи о распространении тепла |
|
на бесконечной прямой............................................................. |
80 |
6. Уравнения эллиптического типа..................................................... |
83 |
6.1. Задачи, приводящие к уравнениям Лапласа и Пуассона....... |
83 |
6.2. Постановки краевых задач для уравнения Лапласа............... |
86 |
6.3. Уравнение Лапласа в криволинейных координатах.............. |
87 |
6.4. Гармонические функции и их свойства.................................. |
88 |
6.5. Единственность и устойчивость решений |
|
первой и второй краевых задач................................................ |
90 |
6.6. Решение задачи Дирихле для круга......................................... |
91 |
Заключение ........................................................................................... |
94 |
Список литературы............................................................................... |
96 |
Приложения .......................................................................................... |
97 |
4
elib.pstu.ru
ВВЕДЕНИЕ
Уравнения математической физики – это уравнения в частных производных второго порядка гиперболического, параболического и эллиптического типов. Постановка задач математической физики с необходимостью включает в себя дополнительные – начальные и краевые условия.
Аппарат уравнений математической физики позволяет описать многие природные и техногенные явления, связанные с безопасностью человека в современном мире.
На основе уравнений гиперболического типа моделируются разнообразные колебательные процессы. Передача электроэнергии описывается системой так называемых «телеграфных» уравнений с начальными и краевыми условиями (прил. 1, рис. П1, П2). Нарушения баланса электрических колебаний в электрических сетях приводят к скачкам напряжений. Пробои и замыкание электрических проводов и соединений – одна из частых причин не только бытовых пожаров, но и более крупных техногенных аварий, в том числе на электростанциях. Изменение начальных условий может произойти из-за внезапного перераспределения и незапланированного превышения допустимой нагрузки на электрические сети. Расчеты позволяют избегать перегрузки электрических сетей и возможных аварий на электростанциях. Несоблюдение требований расчетных технологических режимов приводит к аварийным ситуациям, связанным не только с пожарами и взрывами. Аварии на электростанциях могут породить внезапные наводнения, связанные с разрушением гидротехнического оборудования и гибелью людей. Авария на СаяноШушенской ГЭС в России в 2009 г. привела к гибели 76 человек.
Течения водных и воздушных масс описываются с помощью уравнений гидро- и аэродинамики, сопровождаемых начальными и краевыми условиями (прил. 1, рис. П4, П5, П6, П7). Расчетные краевые условия, обеспечивающие свободный сток воды вниз по течению в пределах поймы, подразумевают регулярный осмотр и про-
5
elib.pstu.ru
филактические чистки русла рек и дренажных систем. Несоблюдение этого правила в 1931 г. привело к катастрофическим последствиям – наводнению на реках Янцзы и Хуанхэ в Китае, вызванному ливневыми дождями, при котором погибло несколько сотен тысяч человек.
Опасным колебательным процессам под действием ветровой нагрузки подвержены ретрансляционные вышки систем передачи информации и высотные опоры линий электропередач. Механические колебания проводов могут быть описаны как колебания струн, закрепленных на концах, то есть с помощью краевой задачи для одномерного волнового уравнения – уравнения гиперболического типа. При обледенении нагрузка на провода увеличивается, что может приводить к обрывам и нарушениям процесса передачи электроэнергии. Это, в свою очередь, причина многочисленных аварий, последствия которых особенно опасны в зимнее время в России.
Значительным периодическим ветровым нагрузкам подвергаются высотные здания и сооружения. Ветер вызывает колебания двумерных, в том числе плоских поверхностей, таких как стены, кровли, остекления оконных проемов. При расчете ветровой нагрузки на рекламные щиты необходимо учитывать возможность резкого изменения его скорости при порывах ветра. Небрежное закрепление рекламных щитов, как следствие отсутствия расчетов при проектировании, часто приводит к их обрушению, травмам и гибели людей.
Известны случаи опасных колебательных процессов поверхностей мостовых перекрытий (прил. 1, рис. П3). Зафиксированный на видео в 2012 г. процесс волновых колебаний автодорожного моста через реку Волгу произошел под действием ветровой нагрузки. Как показывают расчеты, основанные на решении серии классических краевых задач для волнового уравнения, это следствие нарушения расчетных технологических условий закрепления моста на его опорах. В частности, при жестком закреплении мостового перекрытия на береговых опорах на его поверхности неизбежно возникают вынужденные волновые колебания, амплитуда которых зависит от силы ветра.
6
elib.pstu.ru
Колебания земной коры при землетрясении математически также можно описать с помощьюуравнений в частных производных.
Особый тип задач математической физики возникает в случае, когда процесс распространяется в неограниченной области пространства и определяется только начальными условиями. К примеру, зарождение волны цунами происходит в начальный момент времени при резком опускании или поднятии дна океана при землетрясении. Проблема распространения волны в открытом океане сводится к решению задачи Коши для двумерного волнового уравнения. Но поведение волны вблизи берега требует учета краевых условий, в том числе на дне океана. Своевременное предупреждение населения основано на решении соответствующих начальных и начально-краевых задач для волнового уравнения, позволяющих оценить степень и момент наступления опасности.
Задачи Коши возникают при описании колебаний в длинных электрических проводах (прил. 1, см. рис. П1), акустических колебаний в атмосфере и т.п. Математическая модель пожара в сплошном лесном массиве (прил. 2, рис. П3) на начальном этапе может быть представлена задачей Коши, но развитие пожара неизбежно приводит к необходимости учета разнообразных краевых условий, которые существенно влияют на его распространение. Последнее обстоятельство чаще всего и используется при разработке профилактических мероприятий по предупреждению распространения огня (сооружение водных преград, пропашка полос, прорубка просек и т.п.).
Обеспечение безопасности человека при проектировании объектов техносферы требует инженерных расчетов на основе моделей математической физики с использованием методов теории надежности, сопротивления материалов и т.п. С их помощью разрабатываются системы защиты на стадии их проектирования.
Расчет характеристик напряженно-деформированного состояния горных пород при добыче полезных ископаемых основан на использовании аппарата механики сплошной среды, то есть на использовании систем уравнений в частных производных с разнообразными краевыми условиями. Несоблюдение расчетных технологических параметров при проектировании выработок приводит к
7
elib.pstu.ru
обрушению пород, в том числе из-за изменения их прочностных характеристик. Достаточно вспомнить крупный провал на калийном руднике в г. Березники Пермской области, который продолжает развиваться в настоящее время из-за продолжающегося растворения калийных солей в подземных водах.
Гидродинамические процессы перекачки нефти также основаны на решении систем уравнений в частных производных, включающих уравнения движения жидкой среды, реологические уравнения, характеризующие ее свойства, и уравнения неразрывности.
Колебательный характер имеют многие биологические процессы, в том числе процессы распространения опасных вирусных и иных заболеваний. Часть опасных инфекций переносится комарами, грызунами и другими мелкими животными. Их численность определяется сложными биологическими процессами гибели и размножения. В ряде случаев для их описания удается использовать системы обыкновенных дифференциальных уравнений, однако часто эти процессы зависят от многих переменных и скоростей их изменения, то есть приводят снова куравнениям в частных производных.
Технологические химические процессы, как и процессы горения (например, лесные пожары (прил. 2, см. рис. П3)), часто происходят с выделением тепла и моделируются с помощью нестационарного уравнения теплопроводности. Существенную роль при расчетах технологических процессов играют начальные и краевые условия. Нарушение химических технологий чревато возникновением пожаров, взрывов и аварийными выбросами опасных для человека веществ в атмосферу и гидросферу.
Процессы распространения опасных и вредных химических веществ при аварийных выбросах в атмосферу и гидросферу описываются с помощью уравнений диффузии (прил. 2, см. рис. П4). Расчеты позволяют оценивать вероятность и прогнозировать масштаб последствий чрезвычайных происшествий, что позволяет своевременно разрабатывать средства и методы защиты.
Металлургические процессы и процессы изготовления изделий из металла происходят при значительных изменениях температуры во времени, и с физической точки зрения также описываются уравнениями параболического типа. Расчеты позволяют не только по-
8
elib.pstu.ru
высить качество и снизить процент бракованных изделий, но также избегать возникновения аварийных ситуаций.
Процессы продвижения фронта горения и распространения пожаров описываются системами уравнений математической физики, включающими уравнение теплопроводности как уравнение параболического типа. Устоявшиеся распределения температурных полей, например, внутри жилых помещений представляют собой стационарные тепловые процессы и описываются уравнениями эллиптического типа. Постановка таких задач в ограниченных частях пространства требует указания соответствующих краевых условий.
Одна из многочисленных проблем техносферной безопасности тесно связана с расчетами безопасных полетов летательных аппаратов, в том числе полетов в космическом пространстве, то есть с решением систем уравнений движения, уравнений газовой динамики и т.п. Даже проблема утилизации космического мусора связана с расчетом движения совокупности тел в пространстве, а с учетом сил трения на входе в атмосферу и возникновения процессов горения требует совокупных расчетов на основе систем уравнений математической физики различных типов.
Построение общей теории уравнений математической физики базируется на классификации и раздельной постановке и решении задач для уравнений гиперболического, эллиптического и параболического типа с учетом соответствующих начальных и краевых условий, обеспечивающих однозначную определенность развивающихся процессов.
Контрольные вопросы
1. Приведите примеры использования уравнений математической физики для решения проблем техносферной безопасности в химической, строительной, горнорудной и других отраслях промышленности.
2. Приведите примеры использования уравнений математической физики для решения различных проблем природной безопасности.
9
elib.pstu.ru
1. КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Основные положения теории обыкновенных дифференциальных уравнений в достаточном объеме изложены, например, в учебниках И.С. Пискунова по дифференциальному исчислению для технических вузов. Приведем краткую сводку сведений, необходимых для постановки и решения простейших краевых задач математической физики.
1.1. Понятие решения обыкновенного дифференциального уравнения
Обыкновенное дифференциальное уравнение n-го порядка – это уравнение, содержащее независимую переменную, искомую функцию этой переменной и ее производные (дифференциалы) до n-го порядка включительно, то есть это уравнение вида
F (x, y(x), y′(x), …, y(n) (x)) = 0, |
(1.1) |
где F – это заданная функция (n + 2) переменных; x – свободная (независимая) переменная; y(x) – неизвестная (искомая) функция этой переменной.
К примеру, обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка, разрешенное относительно старшей производной, может быть записано в виде
y′′(x) = f (x, y(x), y′(x)), |
(1.2) |
где f – заданная функция трех переменных.
Решение обыкновенного дифференциального уравнения (1.2) – это любая функция y(x), обращающая его в тождество. Общее решение дифференциального уравнения второго порядка, как правило, зависит также от двух произвольных постоянных c1 и c2:
y = y(x, c1, c2). |
(1.3) |
10
elib.pstu.ru