Математические основы теории систем. Методы оптимизации

5. ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ

Оптимальное управление – это частный случай задач вариационного исчисления. Решением этих задач является оптимальная функция управления объектом [6].

5.1. Постановка задачи

Дано:

1. Объект, описывающийся системой дифференциальных уравнений в фазовых координатах:

3.Начальные и граничные условия (всего 2n условий, n – порядок системы дифференциальных уравнений).

4.Ограничения на фазовые переменные: Bj(y1, y2,…,yп) ≤ 0,

j= 1,…,m.

5.Ограничение на управление: |u| ≤ 1, u – приведенный параметр управления.

131

Рис. 5.1. Графическая иллюстарция задачи с закрепленными концами

Рис. 5.2. Графическая иллюстарция задачи с закрепленными концами

На рис. 5.1 А = (у1(0), у2(0)) – начальная точка, В = (у1(Т), у2(Т)) –

конечная точка. Задача заключается в нахождении такого управления, чтобы система перешла из А в В оптимальным образом (начальная точка считается левой, а конечная – правой).

Если конец подвижный, то граничные условия записываются следующим образом: уi(0) = у0i – координата начальной точки, φi(уi(T)) = 0 – конечное условие – поверхность, i = 1, …, п.

5.3. Принцип максимума Понтрягина

Принцип максимума Понтрягина позволяет найти оптимальное управление объектом.

Постановка задачи та же (5.1):

T

Q = ∫G(Y ,t,u)dt → min.

0

Требуется найти u(t) – функцию управления объектом. Алгоритм принципа максимума Понтрягина

1. Введем переменную

Добавим полученное дифференциальное уравнение к системе, описывающей объект:

2. Составляем функцию Гамильтона

n

H = ψ0 f0 + ψ1 f1 + ... + ψn fn = ∑ψi fi ,

i=0

где ψi – неизвестные функции времени.

3. Находим ψi из системы дифференциальных уравнений:

4.Найденные ψi подставляем в Н.

5.Находим оптимальное управление u(t), исходя из следующего определения:

Принцип максимума Понтрягина: оптимальным является та-

кое управление u(t), при котором функция Гамильтона достигает максимума.

134

Ограничение на управление |u| ≤ 1. Цель управления – максимальное быстродействие:

T

Q = ∫dt → min.

0

Требуется найти u(t) – функцию управления объектом. Решение будем проводить для объекта второго порядка. Поло-

жим, объект описывается следующим дифференциальным уравнени-

ем: a0 &&y + a1 y& + y = u.

Составим характеристическое уравнение:

Запишем систему дифференциальных уравнений в фазовых координатах:

137

Составим характеристическое уравнение:

Ранее было показано, что A ≥ B , следовательно, p1,2 ≥ 0 и функция ψ2 будет выглядеть следующим образом:

ψ2 (t) = C1ep1t + C2ep2t .

Если С1 и С2 положительны, то график ψ2 (t) пройдет выше оси абсцисс, если С1 и С2 отрицательны, график пройдет ниже оси абсцисс, если С1 и С2 имеют разные знаки, то график ψ2 (t) пересечет ось один раз. Таким образом, график ψ2(t) пересечет ось абсцисс не более одного раза, следовательно, функция управления сменит свой знак не более одного раза (количество переключений функции управления ≤ 1). По аналогии количество переключений функции управления объектом п-го порядка не превысит (п–1).

Теорема Фельдбаума об n интервалах

Для объекта n-го порядка, имеющего неположительные вещественные корни, оптимальное по быстродействию управление представляет собой кусочно-постоянную функцию, имеющую на интервале управления не более (n–1) переключения с одной границы допустимой области до другой.

Пример

Дан объект второго порядка, имеющий два нулевых корня. Найти оптимальное по быстродействию управление, при котором объект из любой точки фазовой плоскости переходил бы в начало координат за минимальное время.

Решение:

139

1.Уравнения в фазовых координатах:

2. Функция Гамильтона: H = ψ0 + ψ1 y2 + ψ2u .

u – кусочно-постоянная функция, которая переключается не более одного раза, т.е. либо и = 1, либо и = – 1.

Предположим, и = 1, тогда:

= 0,5(t + K1 )2 + S1 = 0,5y22 + S1.

Произвольно изменяя S1, можно построить семейство фазовых траекторий, соответствующих и = 1 (рис. 5.3). Стрелки на графиках указывают направление движения по траектории во времени. На-

правление определяется следующим образом: dy2 = u > 0 , следова- dt

тельно, с увеличением времени растет и значение координаты y2.

140