Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Решение геометрических и физических задач с помощью определенного ин

..pdf
Скачиваний:
9
Добавлен:
15.11.2022
Размер:
759.07 Кб
Скачать

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Пермский национальный исследовательский политехнический университет»

Кафедра «Высшая математика»

РЕШЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ И ФИЗИЧЕСКИХ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ

ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

Методические указания

Издательство Пермского национального исследовательского

политехнического университета

2014

Составители: канд. физ.-мат. наук М.А. Макагонова, старший преподаватель кафедры «Высшая математика» И.В. Тонкоева

УДК 517.38(076.2)(072.8) Р47

Рецензент старший преподаватель Н.В. Рогова

(Пермский национальный исследовательский политехнический университет)

Решение геометрических и физических задач с помощью Р47 определенного интеграла : метод. указания / сост. М.А. Макагонова, И.В. Тонкоева. – Пермь : Изд-во Перм. нац. исслед.

политехн. ун-та, 2014. – 67 с.

Приведены задания для самостоятельной работы студентов по теме «Геометрические и физические приложения определенного интеграла», необходимые методические рекомендации по их выполнению, пример решения заданий.

Предназначено для студентов всех направлений подготовки.

УДК 517.38(076.2)(072.8)

© ПНИПУ, 2014

2

СОДЕРЖАНИЕ

 

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ .......................................................

4

ЗАДАНИЯ ...........................................................................................

5

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ.............................

55

ПРИЛОЖЕНИЕ. Вариант решения контрольных заданий.............

56

3

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

Приведенные ниже задания предназначены для индивидуальной работы студентов по теме «Геометрические и физические приложения определенного интеграла». По выбору преподавателя задание выполняется в полном объеме или частично. Для выполнения заданий необходимо ознакомиться с соответствующим теоретическим материалом по учебно-методическому пособию «Приложения определенного интеграла» или по учебнику (см. список рекомендуемой литературы) и разобрать решения аналогичных задач, приведенные в приложении.

Перед решением задач необходимо самостоятельно рассмотреть следующие теоретические вопросы:

1.Определение и свойства определенного интеграла.

2.Вычисление определенного интеграла, формула Ньютона – Лейбница.

3.Интегрирование с помощью замены переменной.

4.Интегрирование по частям.

5.Геометрический и физический смысл определенного инте-

грала.

6.Геометрические приложения определенного интеграла:

площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривыми, заданными в прямоугольных координатах;

площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой, заданной параметрически;

площадь криволинейного сектора;

длина дуги кривой, заданной в прямоугольных координатах;

длина дуги кривой, заданной в параметрическом виде;

длина дуги кривой, заданной в полярных координатах;

вычисление объема тела по площадям параллельных сечений;

объем тела вращения;

площадь поверхности вращения.

7.Физические приложения определенного интеграла:

работа переменной силы;

4

– путь, пройденный точкой;

– статические моменты и моменты инерции плоских дуг

ифигур;

координаты центра тяжести.

Решение каждой задачи обязательно должен сопровождать схематический чертеж.

ЗАДАНИЯ

Вариант 1

1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций, заданных в прямоугольных координатах:

x = ey 1; x = 0; y = ln 2.

2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными следующими параметрическими уравнениями:

x = 4 2 cos3 t; y = 2 2 sin3 t; x = 2 (x 2).

3.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями в полярных координатах:

ρ= 4cos3ϕ; ρ = 2 (ρ≥ 2).

4.Вычислить длину дуги кривой, заданной в прямоугольных координатах уравнением

y= ln x; x 34 ; 2,4 .

5.Вычислить длину дуги кривой, заданной параметрически:

x =t sin t; y =1cost; 0 t 2π.

5

6.Вычислить длину дуги кривой, заданной в полярных координатах уравнением

ρ=3e34ϕ; π2 ≤ ϕ≤ π2 .

7.Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями, заданными уравнениями:

z = 4e2 +9 y2 ; z = 6.

8. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох областей, ограниченных графиками заданных функций:

y = −x2 +1; y = 0.

9. Найти площадь поверхности «веретена», которое получается в результате вращения одной полуволны синусоиды y =sin x

вокруг оси Ох.

10. Найти статические моменты относительно осей координат отрезка прямой линии ax + by =1, заключенного между осями коор-

динат.

11. Бесконечная прямая равномерно заряжена положительным электричеством (линейная плотность электричества равна σ). Найти силу, с которой действует эта прямая на единичный заряд, находящийся в точке А на расстоянии α от нее. Применить закон Ку-

лона F = k q1r2q2 .

6

Вариант 2

1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций, заданных в прямоугольных координатах:

y = x 9 x2 ; y = 0; 0 x 3.

2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными следующими параметрическими уравнениями:

x = 2 cost; y = 2 2 sin t; y = 2 ( y 2).

3.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией, заданной в полярных координатах уравнением

ρ= cos 2ϕ.

4.Вычислить длину дуги кривой, заданной в прямоугольных координатах уравнением

y =1ln cos x;

 

π

x 0;

4

.

 

 

 

5. Вычислить длину дуги кривой, заданной параметрически:

x = 2cost; y = 2sin t;

0 t

π.

 

 

3

6. Вычислить длину дуги кривой, заданной в полярных координатах уравнением

ρ = 2 eϕ;

π

≤ ϕ≤

π.

 

2

 

2

7

 

 

 

7. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями, заданными уравнениями:

z =9x2 +4 y2 ; z = 6.

 

8.

Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг

оси Ох областей, ограниченных графиками заданных функций:

 

 

πx

 

 

y =sin

; y = x.

 

 

2

 

 

9.

Найти площадь поверхности, образованной вращением во-

круг оси Ох части тангенсоиды

y = tg x в пределах от x = 0 до

x =

π.

 

 

 

4

 

 

10.Найти статические моменты прямоугольника со сторонами a и b относительно его сторон.

11.Найти силу, с которой полукольцо радиусом R и массой M действует на материальную точку массой m, находящуюся в его

центре. Использовать закон Ньютона F = k m1 2m2 . r

Вариант 3

1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций, заданных в прямоугольных координатах:

y = 4 x2 ; y = x2 2x.

2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными следующими параметрическими уравнениями:

x = 4(t sin t); y = 4(1cost); y = 4; 0 x 8π ( y 4).

8

3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями в полярных координатах:

ρ = 3 cos ϕ; ρ =sin ϕ; 0 ≤ϕ≤

π.

 

2

4. Вычислить длину дуги кривой, заданной в прямоугольных координатах уравнением

y =

1

(3 x) x;

x [0;3].

 

3

 

 

5. Вычислить длину дуги кривой, заданной параметрически:

x = cos3 t; y =sin3 t; 0 t ≤ π.

6. Вычислить длину дуги кривой, заданной в полярных координатах уравнением

12

ϕ;

π

 

π.

ρ =6e 5

≤ ϕ≤

 

 

2

 

2

7. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями, заданными уравнениями:

z = 2x2 +8y2 ; z = 4.

8.

Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг

оси Ох областей, ограниченных графиками заданных функций:

 

y = x2 ;

y = x.

9.

Найти площадь поверхности, образованной вращением во-

круг оси Ох дуги кривой y = ex

в пределах от x = 0 до x = +∞.

 

 

9

10.Найти статические моменты относительно осей и

икоординаты центра тяжести треугольника, ограниченного пря-

мыми: x + y = a, x =0, y = 0.

11.Тонкая однородная проволока массой М согнута в полуокружность радиусом R и вращается с постоянной угловой скоростью ω вокруг оси, проходящей через ее концы. Найти кинетическую энергию вращения.

Вариант 4

1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций, заданных в прямоугольных координатах:

y = 4 x2 ; y = 0; x = 0; x =1.

2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными следующими параметрическими уравнениями:

x =16cos3 t; y = 2sin3 t; x = 2 (x 2).

3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями в полярных координатах:

ρ = 4sin 3ϕ; ρ = 2 (ρ≥ 2).

4. Вычислить длину дуги кривой, заданной в прямоугольных координатах уравнением

y = −ln cos x;

 

π

x 0;

6

.

 

 

 

5. Вычислить длину дуги кривой, заданной параметрически: x = 2cost cos 2t; y = 2sin t sin 2t; 0 t 2π.

10

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]