Решение геометрических и физических задач с помощью определенного ин

8. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох областей, ограниченных графиками заданных функций:

y2 = x3; y = 0; x =1.

9. Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ох одной арки циклоиды, заданной уравнениями:

х =t −sin t и y =1−cost.

10.Найти момент инерции прямоугольника со сторонами а, b относительно его сторон.

11.Цистерна представляет собой параболический цилиндр, заданный уравнением z = y2; 0 ≤ z ≤ b; 0 ≤ z ≤ a. Найти работу, которую надо затратить, чтобы выкачать всю воду через верх.

Вариант 17

1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций, заданных в прямоугольных координатах:

y = x2 8 − x2 ; y = 0; 0 ≤ x ≤ 2 2.

2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными следующими параметрическими уравнениями:

x = 4cost; y = 4sin t; y = 2 3 ( y ≥ 2 3 ).

3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями в полярных координатах:

4. Вычислить длину дуги кривой, заданной в прямоугольных координатах уравнением

y = 2 −e−x ; ln 3 ≤ ϕ≤ ln 8.

5. Вычислить длину дуги кривой, заданной параметрически:

6. Вычислить длину дуги кривой, заданной в полярных координатах уравнением

7. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями, заданными уравнениями:

z= 4x2 +9 y2 ; z = 6.

8.Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох областей, ограниченных графиками заданных функций:

y = ex ; y = 0; x = 0.

9. Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Оу одной арки циклоиды, заданной уравнениями:

х= 2(t – sint) и у = 2(1 – cost).

10.Найти центр тяжести полуокружности x2 + y2 = 22, расположенной над осью Оx.

32

11. Тело движется прямолинейно по закону х = сt3, где x – длина пути, проходимого за время t = const. Сопротивление среды пропорционально квадрату скорости. Найти работу, производимую сопротивлением, при передвижении тела от x = 0 до x = a.

Вариант 18

1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций, заданных в прямоугольных координатах:

y = x2 −2x; y = x −2.

2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными следующими параметрическими уравнениями:

x =10(t −sin t); y =10(1−cost); y =15; 0 ≤ x ≤ 20π ( у ≥15).

6.Вычислить длину дуги кривой, заданной в полярных координатах уравнением

ρ= 2e2ϕ; 0 ≤ϕ≤ π2 .

7.Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями, заданными уравнениями:

8. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох областей, ограниченных графиками заданных функций:

y2 = 4x, x =1.

9. Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ох параболы у2 = 4х при 0 ≤ х ≤ 6.

10.Найти центр тяжести дуги гипоциклоиды х3 + у3 = 23 , расположенной над осью Ох.

11.Определить массу стержня длиной l, если его линейная плотность меняется по закону ρ(х) = а + bx2, где x – расстояние от одного из концов стержня.

Вариант 19

1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций, заданных в прямоугольных координатах:

7 y = x2 ; y2 = 7x.

34

2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными следующими параметрическими уравнениями:

x = 2 2 cos3 x; y = 2 sin3 x; x =1 (x ≥1).

3.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией, заданной в полярных координатах уравнением

ρ= 4cos 4ϕ.

4.Вычислить длину дуги кривой, заданной в прямоугольных координатах уравнением

7. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями, заданными уравнениями:

8. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох областей, ограниченных графиками заданных функций:

35

x =3 − y2 ; x = y2 +1.

9.Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ох кардиоиды, заданной уравнениями:

х= 2cost – cos2t и y = 2sin t – sin 2t.

10.Найти центр тяжести плоской фигуры, ограниченной половиной кубической параболы y2 = x2 и прямой x = 6.

11.Найти массу круглой пластинки радиусом R, если плотность вещества в каждой ее точке пропорциональна расстоянию от точки до центра и равна a на краю пластинки.

Вариант 20

1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций, заданных в прямоугольных координатах:

y = x2 −2x; y = −x +2.

2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными следующими параметрическими уравнениями:

x = 2 cost; y = 4 2 sin t.

3.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией, заданной в полярных координатах уравнением

ρ= 2sin 4ϕ.

4.Вычислить длину дуги кривой, заданной в прямоугольных координатах уравнением

5. Вычислить длину дуги кривой, заданной параметрически:

6. Вычислить длину дуги кривой, заданной в полярных координатах уравнением

7. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями, заданными уравнениями:

8. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох областей, ограниченных графиками заданных функций:

9.Определить площадь поверхности, образованной вращением лемнискаты ρ = сos2ϕ вокруг полярной оси.

10.Найти центр тяжести плоской фигуры, ограниченной дугой синусоиды и отрезком оси Оx от x = 0 до x = π.

11.Плоское кольцо ограничено двумя концентрическими окружностями радиусами 1 и 3. Зная, что плотность материалов обратно пропорциональна расстоянию от центра окружностей, найти массу кольца. Плотность материала на внутренней окружности равна 1.

37

Вариант 21

1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций, заданных в прямоугольных координатах:

y= x2 , y =32 − x2.

2.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными следующими параметрическими уравнениями:

x =1−sin t; y =1−cost; y =1; 0 ≤t ≤ 2π ( y ≥1).

3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями в полярных координатах:

ρ =3sin ϕ; ρ =5sin ϕ.

4. Вычислить длину дуги кривой, заданной в прямоугольных координатах уравнением

5. Вычислить длину дуги кривой, заданной параметрически: x =(t2 −2)sin t +2t cos t; y =(2 −t2 )cos t +2t sin t; 0 ≤t ≤ π.

6. Вычислить длину дуги кривой, заданной в полярных координатах уравнением

38

7. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями, заданными уравнениями:

8. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох областей, ограниченных графиками заданных функций:

y = x2 ; y = 2 − x2.

9.Определить площадь поверхности, образованной вращением кардиоиды ρ = 4(1 + cosϕ) вокруг полярной оси.

10.Найти центр тяжести тела, образованного вращением во-

круг оси Оу фигуры, ограниченной гиперболой х2 + у2 =1 и пря- 22 32

мыми у = 0, у = 3.

11. Определить время, в течение которого вода выльется из призматического сосуда объемом F через отверстие площадью f.

Скорость течения определяется по формуле v =µ 2gh, где µ – ко-

эффициент вязкости, h – расстояние от отверстия до уровня жидкости, g – ускорение свободного падения.

Вариант 22

1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций, заданных в прямоугольных координатах:

y = x2 −3x; y =3 − x.

2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными следующими параметрическими уравнениями:

39

x =8cos3 t; y =8cos3 t; x =1 (x ≥1).

3.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией, заданной в полярных координатах уравнением

ρ= 2cos 6ϕ.

4.Вычислить длину дуги кривой, заданной в прямоугольных координатах уравнением

5. Вычислить длину дуги кривой, заданной параметрически:

6. Вычислить длину дуги кривой, заданной в полярных координатах уравнением

7. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями, заданными уравнениями:

8. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох областей, ограниченных графиком заданной функции: